CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE
Épreuve de Mathématiques B PC
Durée 3 h
Si , au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de calculatrices est interdit.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Exercice :
Cet exercice a pour but d'étudier la décomposition de Cholesky d'une matrice symétrique réelle définie positive.
Pour , on note :
l'espace vectoriel des matrices réelles carrées d'ordre n .
le groupe des matrices inversibles de désigne la matrice identité.
le sous-groupe de constitué des matrices orthogonales.
le sous-espace vectoriel de constitué des matrices symétriques réelles.
Si est un -espace vectoriel et une famille de vecteurs de , désigne le sous espace vectoriel engendré par la famille .
Pour désigne l'ensemble des valeurs propres réelles de et la transposée de A .
l'ensemble des matrices symétriques réelles définies positives.
Par définition, si et seulement si et .
l'ensemble des matrices réelles triangulaires supérieures à coefficients diagonaux strictement positifs.
sera identifié à ensemble des matrices réelles avec lignes et 1 colonne.
Lorsque est muni de sa structure euclidienne canonique, . euclidienne associée au produit scalaire canonique : .
Les candidats seront amenés à utiliser le théorème suivant: Théorème d'orthonormalisation de Schmidt: Si (E, ( . . . . )) est un espace préhilbertien réel, et une famille libre de E , alors il existe une unique famille orthonormale telle que pour tout :
La famille s'appelle alors l'orthonormalisée de Schmidt de .
I. Etude d'un exemple numérique:
On considère, dans cette question I uniquement, la matrice .
Enoncer le théorème qui permet de justifier qu'il existe une matrice telle que où est une matrice diagonale.
Déterminer et telles que et où puis justifier que .
Démontrer qu'il existe une unique matrice telle que . On explicitera la matrice .
II. Résultats préliminaires:
On considère , montrer que :
Proposition: est un sous-groupe de .
Démontrer cette proposition pour . Dans la suite, on admettra le résultat pour tout .
III. Une caractérisation des matrices symétriques réelles définies positives:
Soit , on pose .
Montrer que .
Montrer que si et est un vecteur propre associé à , alors
En déduire que si, et seulement si, .
IV. Décomposition de Cholesky:
Le but de cette question est de montrer le théorème suivant :
Théorème: si, et seulement si, il existe une unique matrice telle que . Cette décomposition s'appelle décomposition de Cholesky de S .
On considère .
Montrer que s'il existe telle que alors .
On suppose qu'il existe deux matrices de telles que .
a) Montrer que est une matrice diagonale à coefficients diagonaux strictement positifs. (utiliser II.2) )
b) En déduire, en utilisant , que .
c) En déduire que .
On suppose et on considère le produit scalaire de défini en II.1). Soit la base canonique de et l'orthonormalisée de Schmidt de b pour le produit scalaire . On note la matrice de passage de la base b' à la base b.
a) Montrer .
b) Montrer que .
Exercice :
Dans cet exercice, désigne la fonction définie sur par .
Enoncer le théorème de dérivation pour les fonctions définies par : où et sont des intervalles de .
Etude de g:
a) Montrer que est continue sur .
b) Montrer que a un développement limité en 0 à l'ordre 1. En déduire que est dérivable sur et préciser .
c) Déterminer le signe pour de .
d) Dresser le tableau de variations de et tracer le graphe de .
e) i) Donner le développement en série entière au voisinage de 0 de la fonction , préciser le rayon de convergence de la série entière.
ii) Montrer que est de classe sur et préciser pour tout (énoncer le (ou les) théorème(s) utilisé(s)).
On considère la fonction définie par .
a) Montrer que l'intégrale impropre converge (on pourra utiliser une intégration par parties).
On notera alors la valeur de cette intégrale et on pourra écrire
b) En déduire que est définie sur . Que vaut ?
c) Montrer que est dérivable sur tout intervalle de la forme . En déduire que pour tout .
d) Montrer que pour tout .
e) En déduire que pour tout .
f) En déduire que pour tout .
g) Montrer que est continue sur et que pour tout .
h) En déduire que .
Exercice :
On se place dans le plan affine euclidien et on considère :
un point du plan.
une droite du plan ne contenant pas .
la droite perpendiculaire à passant par et le point d'intersection de et .
la distance .
le milieu du segment .
Le but de cet exercice est l'étude de la parabole de foyer et de directrice .
Par définition est l'ensemble des points équidistants de et de : si, et seulement si, où est le projeté orthogonal de sur .
On considère le repère orthonormé direct où .
1)
a)Donner les coordonnées dans de et une équation de la droite .
b) On considère de coordonnées dans , montrer que ssi .
2) est alors paramétrée par . On considère et le point de de paramètre .
a)Donner une équation de la tangente à en et de la normale à en .
b)On note le projeté orthogonal de sur .
i) Donner la nature du triangle .
ii) Vérifier que est la médiatrice du segment .
3)
a)Déterminer en le repère de Frenet de noté .
b) Déterminer en le rayon de courbure de noté .
c) On appelle centre de courbure en à noté le point défini par , déterminer dans les coordonnées de .
4) On considère la courbe paramétrée (C) définie sur par .
a)Etudier la symétrie de (C).
b) Dresser le tableau de variations des fonctions et .
c) Etudier avec précision le point stationnaire de (C).
d) Etudier la branche infinie de (C) lorsque tend vers .
e) Tracer la courbe et la courbe (pour ) sur une même figure.
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