On note l'ensemble des nombres complexes, l'ensemble des nombres réels et un entier naturel, .
Soient des nombres complexes.
On note le déterminant de la matrice carrée d'ordre telle que, pour ( ) élément de , le coefficient situé dans la -ème ligne et la -ème colonne vaut (on rappelle que ).

Pour , montrer que : .
Etablir l'égalité : .
Les questions et qui suivent sont indépendantes l'une de l'autre.
On désigne par E l'espace vectoriel des polynômes en , à coefficients complexes et de degré inférieur ou égal à . Soient des nombres complexes 2 à 2 distincts .
Démontrer que est une base de E .
Soient des nombres réels non nuls, 2 à 2 distincts et des nombres complexes.
On considère l'application de vers telle que : .
a) Montrer qu'il existe un réel strictement positif tel que les nombres complexes soient 2 à 2 distincts.
b) Pour réel, on pose : et
i) Déterminer une matrice carrée d'ordre à coefficients complexes telle que : .
ii) Montrer que la matrice est inversible.
c) On suppose que admet une limite dans quand tend vers .
i) Démontrer que admet une limite quand tend vers .
ii) En déduire que pour élément de .

est le corps des nombres réels, et est un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On note E le R-espace vectoriel des matrices carrées d'ordre à coefficients dans l'ensemble des matrices orthogonales de E et la matrice unité de E . Pour élément de et désignent respectivement la matrice transposée de et la trace de .
Pour élément de , on note la matrice de E dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé dans la -ème ligne et la -ème colonne qui vaut 1 .

Soient et deux éléments fixés de E et l'endomorphisme de E défini par :

Soit un élément de E . Calculer et .
On suppose que pour tout élément de . Prouver qu'il existe dans tel que : .
Pour et appartenant à E , on pose : . Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur E .

Dans la suite de l'exercice, E est muni de ce produit scalaire.
On note l'endomorphisme adjoint de . Montrer que :

Dans cette question on veut déterminer une condition nécessaire et suffisante sur et pour que soit un endomorphisme orthogonal de E .
a) On suppose que est un endomorphisme orthogonal de E .
i) Prouver que les matrices et sont inversibles et que l'une est l'inverse de l'autre.
ii) Démontrer qu'il existe un réel a strictement positif tel que .
b) Démontrer que est un endomorphisme orthogonal de E si et seulement s'il existe un réel strictement positif et deux matrices et appartenant à vérifiant : et .

Dans cet exercice, est l'ensemble des nombres réels et est un entier naturel.
Soit la fonction numérique de la variable réelle suivante : .
a) Montrer que l'ensemble de définition de est .

On rappelle que : . En déduire : .
Dans la suite de la question désigne un réel strictement positif.
b) Pour , on considère l'application de vers définie par :

i) Etablir, pour tout réel , l'inégalité : .
ii) Montrer que : .
c) On pose : .

Prouver que pour , on a : et .
d) En déduire : .
Soit un entier naturel non nul et .
a) Prouver que pour , on a : .
b) En déduire une expression de en fonction de et de ne comportant pas de signe d'intégrale.
c) Etablir l'équivalence : .
d) Soit un élément de . On pose : .

Prouver que : . En déduire l'équivalence : .
Soit une application de vers continue, décroissante telle que :

où est un entier naturel non nul, un élément de et où .
On pose : .
a) Soit deux réels tels que : .
i) Justifier l'existence d'un réel élément de vérifiant :

ii) En déduire que : .
iii) Prouver que : .
b) Cette question est plus technique et pourra être admise afin d'aborder directement la question .
Etablir l'équivalence :
Pour , on considère : .
a) Justifier l'existence de .
b) Déterminer un équivalent de lorsque tend vers .