E3A Mathématiques B PSI 2009

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

On considère une matrice carrée d'ordre 4 à coefficients réels. On suppose que le rang de est égal à 3, que la somme des coefficients de chaque ligne de est égale à 1 , que -1 est valeur propre double de .
Prouver que 0 est valeur propre de .
Prouver que 1 est valeur propre de .
Déterminer le polynôme caractéristique noté de la matrice .
Pour entier naturel, , déterminer le reste, noté , de la division euclidienne de par .
Pour entier naturel, , démontrer que est combinaison linéaire de et déterminer cette combinaison linéaire.

Soit et deux réels, avec . Soit et deux applications de vers , continues sur . On note ( ) l'équation différentielle suivante :

Dans cet exercice on appelle solution de toute application de vers de classe vérifiant sur .
Soit une solution de sur . On suppose que admet une infinité de zéros dans . Le but de l'exercice est d'établir que est l'application nulle sur .
Pour cela on considère une suite de zéros de , deux à deux distincts, appartenant à .
Dans cette question on suppose que la suite converge vers un réel .
a) Prouver que appartient à . En déduire que .
b) Montrer que pour tout entier naturel , il existe au moins un zéro de , noté , strictement compris entre et .
c) Calculer .
d) Conclure.
Prouver que est aussi l'application nulle sur lorsque la suite n'est pas convergente.
Prouver à l'aide d'un contre-exemple que le résultat établi dans cet exercice est faux si l'on remplace par .

est l'ensemble des nombres réels et et sont des entiers naturels.
Cet exercice comporte deux parties. Dans la première partie, on établit un résultat général appelé : Règle de Raabe-Duhamel. Dans la deuxième partie on applique, sans omettre les justifications nécessaires, ce résultat à l'étude de plusieurs séries particulières.
Soit une suite réelle.
On rappelle que la relation signifie que .

Soit une suite de réels strictement positifs telle qu'il existe un réel vérifiant:

Prouver que si , alors la série diverge.
Soit un réel quelconque et . Montrer que : où est un réel, indépendant de , à déterminer.
On suppose que . On se propose de démontrer que la série converge.
On choisit tel que : .
a) Justifier l'existence d'un entier naturel tel que, pour , on ait : .
b) Déterminer un réel positif , indépendant de , tel que pour , on ait : .
c) Prouver que la série converge.
On suppose que . Démontrer par un raisonnement analogue à celui fait à la question précédente que la série diverge ( on choisira de manière à ce que la série diverge et que ceci implique la divergence de la série ).
Pour , on pose : et .
Déterminer la nature des séries et et en déduire que le cas est un cas douteux de la Règle de Raabe-Duhamel.

Partie B Les trois questions qui suivent sont indépendantes les unes des autres et sont des applications directes ou partielles de la Règle de Raabe-Duhamel.
Pour , on pose . Déterminer la nature de la série .
Pour , on considère l'intégrale généralisée .
a) Montrer que cette intégrale généralisée converge. On note sa valeur.
b) Etablir que : .
c) En déduire la nature de la série .
Soit un réel donné, n'appartenant pas à l'ensemble des entiers naturels. On pose:
, pour et pour réel, .
a) Indiquer (sans démonstration) le rayon de convergence de la série entière , et, pour élément de [, la valeur de .
b) Utiliser la Règle de Raabe -Duhamel pour montrer que la série est absolument convergente si et seulement si .
c) Montrer que si est continue sur et établir que et .
d) Montrer que si , la série diverge.
e) On suppose que : .
i) Prouver que : .
ii) Montrer que la série converge.
iii) Calculer .

est un espace euclidien de dimension . Le produit scalaire sur est noté . et sont deux familles de vecteurs de telles que :

Le but de cet exercice est d'établir la propriété ( ) suivante :
Il existe un automorphisme orthogonal de vérifiant :

un élément de . Prouver que .
En déduire que si sont linéairement indépendants dans alors sont aussi linéairement indépendants dans .
Dans cette question, on suppose que sont linéairement indépendants dans et que . Etablir la propriété ( ).
Dans cette question, on suppose que sont linéairement indépendants dans et que . On note le sous espace vectoriel de engendré par la famille et le sous espace vectoriel de engendré par la famille désigne le sous-espace de orthogonal à désigne le sous-espace de orthogonal à .
a) Justifier l'inégalité ; préciser les dimensions des sous espaces vectoriels , .
b) Donner une condition sur l'entier naturel pour assurer l'existence d'une famille orthonormale de vecteurs de et d'une famille orthonormale de vecteurs de .
Pour tout élément de , comparer et .
c) Etablir la propriété .
Dans cette question, on suppose que sont linéairement dépendants dans . Etablir la propriété .