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E3A Mathématiques B PSI 2010

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Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales à paramètresNombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsIntégrales généralisées
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Banque
E3A
Année
2010
Filière
PSI
Matière
Maths
E3A PSIE3A 2010PSI MathsMaths 2010
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Épreuve de Mathématiques B PSI

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

Exercice I.- Dans cet exercice les deux parties sont indépendantes. Le candidat pourra aborder la partie B en admettant le résultat de la question (b)
Soit un entier naturel non nul. On notera l'ensemble des matrices de dimension à coefficients dans . On note respectivement et la matrice identité et la matrice nulle de . Le déterminant d'une matrice est noté , sa trace et son polynôme caractéristique est désigné par .

Partie A

(1) Soient et et quatre matrices de .
(a) Justifier brièvement les relations suivantes entre les déterminants de matrices de définies par blocs et les déterminants de leurs blocs:
et .
(b) En déduire .
(c) De la question précédente, déduire .
(2) Dans toute la suite de cette partie, et sont quatre matrices de telles que . Soit la matrice définie par blocs
A l'aide du produit , montrer que, si la matrice est inversible, alors on a
(3) Pour tout , on pose et .
(a) Montrer que pour tout nombre complexe où est un sous-ensemble fini de .
(b) En déduire que l'on a en toute généralité.

Partie B

Dans cette partie, désigne un nombre complexe différent de 0 et de 1 . On considère l'espace vectoriel des matrices à coefficients complexes. On rappelle que la base canonique de est où
Soit la matrice non nulle . On pose .
On définit les deux endomorphismes de suivants :
(1) Déterminer les matrices de et dans la base .
(2) Montrer que la matrice de l'endomorphisme dans la base est la matrice définie par blocs
(3) Montrer que l'on a successivement les égalités suivantes
(a) ,
(b) ,
(c) .
(4) On suppose à présent que le polynôme caractéristique de se décompose en le produit où .
(a) Montrer que l'on a .
(b) A l'aide des questions précédentes, montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes :
  • Il existe une matrice non nulle de telle que .
  • On a ou ou .
    (5) Soit un matrice de telle qu'il existe une matrice non nulle dans avec où . Montrer que est semblable à une matrice de l'un des trois types suivants
ù
Exercice II .-Dans cet exercice, la partie C peut-être traitée indépendamment des parties A et B.

Partie A

Soit un réel positif ou nul. On considère les suites réelles et définies par
(1) Montrez que pour tout entier on a
(a) et ,
(b) .
(2) En déduire que, pour tout entier , on a
(3) Montrer que, pour tout entier , on a
puis que, pour tout , on a
(4) En déduire que les suites et sont convergentes et convergent vers la même limite.

Partie B

Désormais et désignent les suites de fonctions définies sur en posant
(1) Déduire de la partie A que les suites de fonctions et convergent simplement sur vers une fonction .
(2) (a) Déterminer et .
(b) Montrer qu'on a pour tout positif.
(3) Soit un réel strictement positif. Montrer que les suites de fonctions et convergent uniformément sur vers . (On pourra utiliser la question .
(4) En déduire que la fonction est continue sur .

Partie C

(1) Soient et deux réels strictement positifs. Montrer que la fonction
est intégrable sur .
(2) Soit la fonction définie sur .
Montrer que est de classe sur .
(3) (a) Montrer que, pour tout réel strictement positif, la fonction définie par est une bijection de classe de dans .
(b) Soient et deux réels strictement positifs. En utilisant le changement de variable , démontrer que l'on a
(c) En déduire l'égalité

Partie D

(1) Montrer que l'on a
(2) Pour et , on définit la fonction
(a) Montrer que, pour et , on a .
(b) Démontrer l'inégalité où et .
(c) En déduire où .
(d) En déduire que, pour tout , on a et que est de classe sur l'intervalle .

FIN DE LEPREUVE

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