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E3A Mathématiques B PSI 2012

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Algèbre linéaireIntégrales à paramètresAlgèbre généralePolynômes et fractions
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Banque
E3A
Année
2012
Filière
PSI
Matière
Maths
E3A PSIE3A 2012PSI MathsMaths 2012
2025_08_29_bab063568aef98e45578g

Épreuve de Mathématiques B PSI

Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non encadrés et non justifiés ne seront pas pris en compte.

Exercice 1

  1. Étudier la convergence de l'intégrale .
  2. Pour tout et on pose si et sinon.
    2.1 Donner, sur un même schéma, l'allure des représentations graphiques de et .
    2.2 Etudier la convergence simple sur de la suite de fonctions .
    2.3 Montrer que si et si est un réel strictement supérieur à alors .
    2.4 Prouver l'existence de .
    2.5 Montrer que la suite converge vers une limite que l'on exprimera sous la forme d'une intégrale.
  3. On pose, pour tout .
    3.1 Calculer .
    3.2 Trouver une relation de récurrence reliant et .
    3.3 Montrer que:
    3.4 En déduire une expression de faisant intervenir et !.
    3.5 Rappeler la formule de Stirling et déduire de ce qui précède un équivalent de lorsque .
  4. À l'aide d'un changement de variable donner, pour tout , une relation simple entre et .
  5. En déduire la valeur de .

Exercice 2

  1. Dans euclidien orienté usuel, on note l'endomorphisme dont la matrice canoniquement associée est .
Donner la nature géométrique de et ses éléments caractéristiques.
2. Soient et . Déterminer les valeurs de telles que le polynôme soit scindé sur .
3. Soit dont on note et les racines dans .
3.1 Exprimer les coefficients et à l'aide des racines et .
3.2 Déterminer tous les triplets tels que la matrice soit la matrice d'une rotation de euclidien orienté usuel.

Exercice 3

Soit une suite de nombres réels.
On dit que la suite vérifie la propriété si à la fois : éé
On note alors :
Dans tout l'exercice, on utilisera sans le démontrer la propriété suivante, notée :
Soient et deux suites réelles à termes strictement positifs.
é
  1. Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 , on pose .
En utilisant les séries de terme général et et la propriété ( ), prouver que :
  1. 2.1 De façon analogue, montrer que:
2.2 En déduire la nature de la série de terme général .
2.3 Retrouver ce résultat sans utiliser la propriété ( ).
3. Etude de deux exemples.
3.1 On prend dans cette question: .
  • Vérifier que la suite ( ) ainsi définie satisfait à la propriété ( ).
  • Déterminer .
    3.2 On prend dans cette question: .
  • Vérifier que la suite ( ) ainsi définie satisfait à la propriété ( ).
  • En utilisant la propriété et la série , déterminer .
  1. On revient au cas général et on considère une suite qui satisfait à la propriété .
    4.1 Montrer que
    4.2 Prouver que:
4.3 Déterminer alors la nature de la série : .
4.4 A l'aide de la propriété et des questions précédentes, déterminer alors .
5. Soit ( ) le terme général d'une série à termes strictement positifs divergente.
Montrer qu'il existe une suite à termes positifs tels que : é
6. Soit une suite vérifiant la propriété .
Donner le rayon de convergence de la série entière .

Exercice 4

Soit un entier naturel supérieur ou égal à 2 et ( ) un sous-groupe de .
On suppose qu'il existe tel que :
où désigne la matrice unité de .
Soit le sous-espace vectoriel de engendré par la partie .
Une matrice est dite nilpotente s'il existe tel que (matrice nulle de ).
  1. Quel est le spectre d'une matrice nilpotente?
  2. Quelles sont les matrices nilpotentes diagonalisables?
  3. Soit .
    3.1 Déterminer deux nombres complexes et tels que : .
    3.2 Prouver l'équivalence :
On admettra dans toute la suite de l'exercice que cette propriété se généralise pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, c'est-à-dire que pour toute matrice :
  1. 4.1 Vérifier que est un espace vectoriel de dimension finie.
    4.2 Montrer qu'il existe et une famille ( ) d'éléments de tels que ( ) soit une base de . On ne cherchera pas à calculer ni à déterminer les matrices .
  2. On note l'ensemble des racines -ièmes de l'unité.
    5.1 Préciser le cardinal de et expliciter ses éléments.
    5.2 Soit une matrice élément de et une valeur propre de . Montrer que .
  3. Prouver que tout élément de est diagonalisable.
  4. Prouver que l'ensemble est fini. Donner un majorant du cardinal de .
On considère alors l'application :
  1. Soient et deux éléments de tels que .
On note .
8.1 Justifier que .
En déduire que est diagonalisable.
8.2 Montrer que :
En déduire que :
8.3 Soit .
En écrivant que ( facteurs) et en utilisant la question précédente, montrer que :
8.4 Calculer alors .
Que peut-on alors dire de la matrice ?
8.5 Montrer que est injective.
9. Montrer que .
10. Que peut-on en déduire pour ?
Fin de l'épreuve
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