J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

E3A Mathématiques MP 2021

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Polynômes et fractionsProbabilités finies, discrètes et dénombrementRéductionSuites et séries de fonctions
Logo e3a
🔗 Explorer
Banque
E3A
Année
2021
Filière
MP
Matière
Maths
E3A MPE3A 2021MP MathsMaths 2021
2025_08_29_a63fb2f7f6a043fa8c54g

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

Exercice 1

Dans tout l'exercice, est le segment et la fonction définie sur par : .
On considère la suite de fonctions définies sur par :
  1. Montrer que et toutes les fonctions sont continues sur .
  2. On considère la série de fonctions .
Démontrer que cette série de fonctions converge simplement sur vers une fonction que l'on déterminera.
3. Étudier les variations de la fonction continue sur , définie pour tout .
4. Représenter graphiquement la fonction sur en précisant les tangentes aux bornes.
5. Démontrer que la série de fonctions converge normalement sur .
6. On pose pour tout réel et lorsque cela est possible .
6.1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction .
6.2. Soit . Calculer .
7. Soit . Calculer l'intégrale . On pourra effectuer le changement de variable .
8. On pose . Montrer que l'on a : .
9. Trouver un rang pour lequel la somme partielle d'ordre sera une valeur approchée de à près.

Exercice 2

Soient un entier naturel supérieur ou égal à 2 et un espace euclidien de dimension dont le produit scalaire est noté ( ) et la norme .
On note id l'endomorphisme identité de et l'endomorphisme nul de .
  1. Soit un endomorphisme symétrique de que l'on suppose non inversible et non nul.

1.1. Citer le théorème spectral.

1.2. Montrer que 0 est valeur propre de et que admet au moins une valeur propre non nulle.
1.3. Montrer que les sous-espaces et sont orthogonaux.
Sont-ils supplémentaires? On justifiera la réponse.
On suppose désormais et jusqu'à la fin de l'exercice que admet exactement valeurs propres deux à deux distinctes avec :
Pour tout , on note le sous-espace propre associé à la valeur propre et le projecteur orthogonal sur .
1.4. Montrer que .
1.5. Prouver que l'on a pour tout couple de tels que .
1.6. Démontrer que : .
1.7. Soit le projecteur orthogonal sur . Montrer que l'on a : .
On note alors l'endomorphisme de défini par : , appelé inverse généralisé de .

2. Quelques propriétés de l'inverse généralisé

2.1. Montrer que l'on a : .
En déduire que : .
2.2. Soit un vecteur de .
Montrer que l'on a : .

3. Application à un exemple

On prend un espace euclidien de dimension 4 et une base orthonormale de .
Soit l'endomorphisme de dont la matrice dans est :
3.1. Justifier que est un endomorphisme symétrique, non nul et non inversible.
3.2. Montrer que 2 est valeur propre double de la matrice .
3.3. En déduire que admet exactement 3 valeurs propres : .
On note pour tout la matrice de dans la base .
3.4. Justifier que l'on peut écrire sous la forme : .
3.5. Montrer que est de dimension 1 et déterminer un vecteur de tel que .
3.6. Démontrer que: .
3.7. Déterminer la matrice .
4. En déduire la matrice associée à relativement à la base .

Exercice 3

Soient et deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans définies sur un même espace probabilisé ( ).
Pour , on définit les fonctions génératrices de et de respectivement par :
  • ,
  • .
  1. Déterminer le développement en série entière de la fonction .
  2. Donner le terme d'ordre du développement en série entière de la fonction .
  3. En déduire le développement en série entière de la fonction .
  4. Pour tout , calculer et .
  5. Soient et . Déterminer .

6. Calculs d'espérances et de variances

6.1. Justifier que la variable aléatoire suit une loi géométrique dont on déterminera le paramètre.
6.2. En déduire l'espérance et la variance de la variable aléatoire .
6.3. Déterminer à l'aide de la fonction génératrice l'espérance des variables aléatoires et .
6.4. En déduire la variance de la variable aléatoire .
6.5. Déterminer l'espérance et la variance de la variable aléatoire .

Exercice 4

Dans tout l'exercice, est un entier naturel non nul.
Soit l'application qui à tout polynôme de associe .
  1. Démontrer que est une base de .
  2. Généralités sur
    2.1. Démontrer que est une forme linéaire sur .
    2.2. Déterminer et la dimension du noyau de .
  3. On considère alors l'application qui à tout polynôme de associe le polynôme tel que:
3.1. Justifier que l'application est linéaire.
3.2. Démontrer que .
3.3. Démontrer que : .
3.4. Donner alors une base de .
4. On note .
4.1. Donner la dimension de .
4.2. Pour , soit la forme linéaire sur qui à tout polynôme de associe .
Démontrer que la famille est une base de .
4.3. Déterminer les composantes de dans cette base.

FIN

E3A Mathématiques MP 2021 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa