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E3A Mathématiques MP 2024

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementSéries entières (et Fourier)Algèbre linéaireRéductionFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Banque
E3A
Année
2024
Filière
MP
Matière
Maths
E3A MPE3A 2024MP MathsMaths 2024
2025_08_29_dcbc2f89f635213118eag
Les calculatrices sont interdites.
Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

EXERCICE 1

Soit un entier naturel non nul. On note et pour tout .

Questions de cours

Soit un réel.
  1. Justifier que la famille est une base de .
  2. Soit un polynôme de .
Donner sans démonstration la décomposition de dans la base à l'aide des dérivées successives du polynôme .
3. On suppose que est une racine d'ordre de .
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de par .
À tout polynôme de , on associe le polynôme défini par :
et on note l'application qui à associe .
4. Soit . Déterminer .
5. Montrer que est un endomorphisme de .
6. Écrire la matrice de dans la base de .
7. On suppose que est une valeur propre réelle de l'endomorphisme et soit un polynôme unitaire, vecteur propre associé à la valeur propre .
7.1. Montrer que est de degré .
7.2. Soit une racine complexe de d'ordre de multiplicité . Prouver que .
7.3. En déduire une expression de .
8. Déterminer les éléments propres de l'endomorphisme .
L'endomorphisme est-il diagonalisable?

EXERCICE 2

Questions de cours

  1. Soient et deux réels avec . Choisir sans justification l'expression correcte de :
  1. Soient et deux réels tels que et un réel de .
Comparer et .
3. Donner, sans démonstration, le développement en série entière de la fonction exponentielle réelle et donner son domaine de validité.
4. On considère la fonction définie par .
On admet que cette fonction est définie sur et que, pour tout réel strictement positif :
Calculer et en déduire, en effectuant un raisonnement par récurrence, la valeur de pour .
  1. Pour , on note, lorsque cela a un sens :
où, comme il est d'usage, .
5.1. Déterminer l'ensemble de définition de .
5.2. Déterminer le sens de variation de .
5.3. Démontrer que pour tout réel positif, on a : .
5.4. Démontrer que est continue sur son ensemble de définition.
5.5. Déterminer et .
Les théorèmes utilisés seront cités avec précision et on s'assurera que leurs hypothèses sont bien vérifiées.
5.6. Dresser alors avec soin le tableau de variations de et donner une allure générale de sa courbe représentative dans un repère orthonormal. On admettra que et on tracera la tangente au point d'abscisse .
6. Soit un réel strictement positif.
Pour tout entier naturel , on note la fonction définie sur ]0, 1] par .
6.1. Démontrer que la série de fonctions converge simplement sur et donner sa somme.
6.2. Démontrer que, pour tout entier naturel .
6.3. Établir enfin que l'on a:

EXERCICE 3

On note l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles continues sur .
Pour tout élément de et tout on pose .
  1. Justifier que est de classe sur et donner pour tout l'expression de .
Soit définie par: .
2. Exprimer, pour tout réel strictement positif, à l'aide de .
3. Justifier que la fonction est continue sur et donner la valeur de .
4. Montrer que est un endomorphisme de .
5. Surjectivité de
Soit .
5.1. Montrer que la fonction est continue sur .
5.2. La fonction est-elle de classe sur ?
5.3. Soit .
Montrer que la fonction est de classe sur .
5.4. A-t-on ?
5.5. Conclure.
6. Montrer que est injective.
7. Recherche des éléments propres de
7.1. Justifier que 0 n'est pas valeur propre de .
Soit . On considère l'équation différentielle ( ) sur :
7.2. Résoudre ( ) sur .
7.3. Déterminer les solutions de ( ) prolongeables par continuité sur .
7.4. Déterminer alors les valeurs propres de et les sous-espaces propres associés.
8. Soit . Pour , on pose :
On note et le sous-espace vectoriel de engendré par .
8.1. On veut montrer que la famille est une base de Soient et des scalaires tels que .
8.1.1. Montrer que .
On pourra simplifier l'expression (*) par x lorsque x est non nul.
8.1.2. Soit . On suppose que .
Démontrer que .
8.1.3. Conclure et déterminer la dimension de l'espace vectoriel .

8.2. Où l'on démontre que induit un endomorphisme sur

8.2.1. Soient et . Montrer que l'intégrale est convergente et la calculer.
8.2.2. En déduire que induit un endomorphisme sur .
8.3. Donner la matrice de l'application dans la base .
8.4. Démontrer que est un automorphisme de .
8.5. Soit .
Après avoir vérifié que , déterminer .

EXERCICE 4

Soit un entier naturel non nul.

Questions de cours

  1. Soit une projection vectorielle de rang .
    1.1. Donner, en fonction de , une matrice de dans une base adaptée.
    1.2. Donner les spectres possibles de .
    1.3. Comparer et .
    1.4. Calculer .
On considère la famille de variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace probabilisé ( ) toutes suivant la loi de Bernoulli de paramètre .
Soit une variable aléatoire discrète de dans telle que pour tout dans est diagonalisable et semblable à .
2. On note la variable aléatoire .
2.1. Déterminer , c'est-à-dire l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire .
2.2. Donner la loi de probabilité de et l'espérance de la variable aléatoire .
3. En déduire la loi de probabilité de la variable aléatoire .
4. On note la variable aléatoire .
4.1. Déterminer .
4.2. Donner la loi de probabilité de et calculer l'espérance de la variable aléatoire .
5. On se propose de déterminer la probabilité de l'évènement :
«les sous-espaces propres de la matrice ont tous la même dimension».
5.1. On note l'évènement : « ne possède qu'une seule valeur propre». Calculer .
5.2. On suppose impair. Déterminer .
5.3. On suppose pair et on pose . Calculer . En déduire .
6. Pour tout , on note et .
6.1. Soit . Déterminer, pour tout couple .
6.2. Donner la loi de probabilité de chaque variable aléatoire .
6.3. Montrer que .
6.4. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire .
6.5. Pour tout dans , donner les valeurs propres de la matrice .
6.6. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire .

FIN

Éléments de correction

EXERCICE 1

Soit un entier naturel non nul. On note et pour tout .

Questions de cours

Soit un réel.
  1. La famille est une famille de polynômes non nuls échelonnés en degré : elle est donc libre. De plus, elle est de cardinal . C'est donc une base de .
  2. C'est la formule de Taylor en . Les composantes de dans la base sont donc .
  3. Comme est une racine d'ordre de et . D'après la formule de Taylor : . Donc le reste de la division euclidienne de par et le polynôme nul et le quotient est .
À tout polynôme de , on associe le polynôme défini par :
et on note l'application qui à associe .
4. . Si , on obtient et si , et si .
5. On vérifie que est linéaire, puis on remarque que pour tout . Comme est une base de , les images des éléments de par sont dans .
6. .
7. On suppose que est une valeur propre réelle de l'endomorphisme et soit un polynôme unitaire, vecteur propre associé à la valeur propre .
7.1. Notons le coefficient dominant de . Alors le coefficient dominant de est encore et celui de est . Donc, si , donc ne peut pas être un vecteur propre. Ainsi, .
7.2. Il existe tel que avec . Donc . En posant , on remarque que . De plus, , donc . En évaluant en , on obtient .
7.3. D'après la question précédente, il existe tel que .
8. D'après la question précédente, les vecteurs propres unitaires de sont de la forme . Alors . Ainsi, les valeurs propres de sont les , pour , avec comme vecteur propre associé. est diagonalisable car il a valeurs propres distinctes.

EXERCICE 2

Questions de cours

  1. Réponse .
  2. Comme , donc .
  3. Pout tout .
  4. .
Montrons par récurrence sur que . L'initialisation est déjà faite. Prenons et supposons que . Alors par hypothèse de récurrence. Donc !. On conclut alors par récurrence.
  1. Pour , on note, lorsque cela a un sens :
où, comme il est d'usage, .
5.1. Soit .
Alors est continue sur .
Lorsque , donc et la fonction se prolonge par continuité en 0 par 0 . De même lorsque .
Lorsque , donc par croissances comparées. Donc la fonction se prolonge encore en 0 par 1 .
Ainsi, la fonction est définie sur .
5.2. Soit deux réels. D'après les questions de cours, pour tout , donc . En intégrant, on obtient , donc est croissante sur .
5.3. On remarque que . Comme est croissante sur , pour tout , .
5.4. Pour tout , la fonction est continue sur . De plus, pour tout et tout qui est intégrable sur . D'après le théorème de continuité sous l'intégrale, la fonction est continue sur .
5.5. Pour tout , la fonction est continue sur ]0, 1] et la domination de la question précédente s'applique encore. D'après le théorème de convergence dominée, . De même, comme pour tout .
5.6. A faire ! Dresser alors avec soin le tableau de variations de et donner une allure générale de sa courbe représentative dans un repère orthonormal. On admettra que et on tracera la tangente au point d'abscisse .
6. Soit un réel strictement positif.
Pour tout entier naturel , on note la fonction définie sur ]0,1] par .
6.1. Soit . La série est une série exponentielle qui converge vers . Donc la série de fonctions converge simplement sur vers la fonction .
6.2. Soit . On peut faire des intégrations par parties successives, ou bien on effectue le changement de variable bijectif , de sorte que , puis le changement , pour obtenir Cette dernière intégrale étant convergente, celle d'origine l'était aussi et de plus, .
6.3. La série converge simplement vers qui est continue sur . De plus, la série
converge car c'est une série à termes positifs de terme général .
On peut donc intervertir la somme et l'intégrale :
Or, pour tout car .
Ainsi, finalement : .

EXERCICE 3

On note l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles continues sur .
Pour tout élément de et tout on pose .
  1. est la primitive qui s'annule en 0 de la fonction continue sur . Le théorème fondamental de l'analyse permet d'affirmer que la fonction est de classe sur .
    Ainsi, pour tout réel positif, on a : .
    Soit définie par : .
  2. Soit .
Le changement de variable affine permet d'écrire que : .
3. D'après la question de cours 1 . la fonction est continue sur .
Étude en 0 : on a, pour tout et donc, .
On en déduit que est continue sur avec .
4. La linéarité de l'intégration donne celle de .
De plus, d'après la question précédente, pour toute de , on a , ce qui achève de prouver que est un endomorphisme de .
5. Surjectivité de
Soit
5.1. Par opérations élémentaires, la fonction est continue sur .
Étude en 0 : On a, pour tout , ce qui prouve que .
Il en résulte que la fonction est continue sur .
5.2. Soit . Étudions la dérivabilité de le fonction en 0 .
On a : .
On considère alors la suite définie par: .
Alors, pour tout entier naturel , ce qui prouve que n'admet pas de limite lorsque tend vers 0 .
Il en résulte que n'est pas dérivable en 0 et donc, ne peut être de classe sur .
5.3. Soit : il existe donc telle que .
Alors, pour tout et .
On en déduit que la fonction coïncide avec la fonction sur .
Conclusion : la fonction est de classe sur .
5.4. En utilisant la question précédente regardons si la fonction est de classe sur :
  • Facilement, puisque pour tout , on a : , la fonction est de classe sur avec .
  • Pour qui tend vers 0 lorsque tend vers la fonction est dérivable sur et .
  • Pour tout qui n'admet pas de limite en 0 puisque la fonction n'en possède pas (On procède comme à la question 5.2)
    Il en résulte que la fonction n'est pas de classe sur , ce qui prouve d'après la question précédente que .
    5.5. On déduit de l'étude précédente que n'est pas surjective.
  1. Soit telle que (fonction nulle)
Ainsi, pour tout , soit .
Comme est continue sur , on en déduit que est nulle sur et par dérivation que est aussi nulle sur .
Conclusion : est injective.

7. Recherche des éléments propres de

7.1. Comme est injective, 0 n'est pas valeur propre de .
Soit . On considère l'équation différentielle ( ) sur :
7.2. Les solutions de (L) sur sont les fonctions où et .
7.3. Pour qu'une solution de soit prolongeable par continuité sur il faut qu'elle possède une limite finie en 0 .
  • Si , la fonction possède une limite finie en 0 .
  • Si , la fonction n'est prolongeable par continuité en 0 que si, et seulement si, et c'est donc la fonction nulle.
    Conclusion : Les solutions de ( ) prolongeable par continuité en 0 sont les fonctions , avec et .
    7.4. Soit une valeur propre de et une fonction non nulle du sous-espace propre associé .
    Ainsi, pour tout .
    Ainsi, est solution de l'équation ( ) dans le cas où .
    Mais comme est continue sur , il faut récupérer les solutions de ( ) prolongeables par continuité sur , ce qui donne : et puis .
    Mais il faut aussi que soit continue sur et donc ce qui donne finalement
    Ainsi, le spectre de est inclus dans et facilement, .
    Réciproquement, soit et .
    On a : .
    Finalement, on a donc démontré que le spectre de est et que pour chaque valeur propre , le sous-espace propre associé est : .
  1. Soit . Pour , on pose :
On note et le sous-espace vectoriel de engendré par .
8.1. On veut montrer que la famille est une base de
Soient et des scalaires tels que .
8.1.1. Soit .
En simplifiant par non nul, on a : .
  • Si , alors et donc .
  • On en déduit que et donc que .
    8.1.2. Soit . On suppose que .
On a toujours et on simplifie (*) par cette fois, ce qui donne :

Par le même raisonnement qu'au-dessus, on obtient alors .
8.1.3. Par récurrence forte, on a donc montré que , ce qui prouve la liberté de la famille et que .

8.2. Où l'on démontre que induit un endomorphisme sur

8.2.1. Soient et .
La fonction est continue sur l'intervalle ]0, .
Par croissances comparées, et donc, on peut prolonger par continuité la fonction sur l'intervalle .
Conclusion : l'intégrale converge.
Comme les fonctions et sont de classe sur , on peut effectuer une intégration par parties :
.
8.2.2. Soit .
Alors, pour tout , on a :
, soit
et , soit .
On en déduit que induit un endomorphisme sur .
8.3. On en déduit la matrice de l'application dans la base :

8.4. est une matrice triangulaire dont aucun des termes diagonaux est nuls : c'est une matrice inversible et donc, est un automorphisme de .
On aurait aussi pu dire que l'injectivité de entraîne celle de et en tant qu'endomorphisme injectif de qui est de dimension finie, c'est un automorphisme de .
8.5. Soit .
On a : .
Puis, on prend et on écrit que , ce qui donne le système :
soit finalement,

EXERCICE 4

Soit un entier naturel non nul.

Questions de cours

  1. Soit une projection vectorielle de rang .
    1.1. Lorsque est la matrice nulle. Lorque . Dans les autres cas, on écrit la matrice par blocs : .
    1.2. Lorsque . Lorsque . Dans les autres cas,
    1.3. On a .
    1.4. Si .
On considère la famille de variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace probabilisé ( ) toutes suivant la loi de Bernoulli de paramètre .
Soit une variable aléatoire discrète de dans telle que pour tout dans est diagonalisable et semblable à .
2. On note la variable aléatoire .
2.1. Comme la trace est invariante par similitude, . Comme sont à valeurs dans est donc à valeurs dans .
2.2. est la somme de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même loi de Bernoulli de paramètre suit donc une loi binomiale de paramètres et .
D'après le cours, .
3. Comme le rangest invariant par similitude, car est une matrice de projection. Donc et suit donc aussi une loi binomiale de paramètres et .
4. On note la variable aléatoire .
4.1. Comme le déterminant est invariant par similitude, . Donc .
4.2. suit donc une loi de Bernoulli de paramètre car les variables sont indépendantes. Donc .
5. On se propose de déterminer la probabilité de l'évènement :
«ê»
5.1. Comme le spectre est invariant par similitude, et les deux évènements sont incompatibles. Donc par indépendance.
5.2. Rappelons que a soit une valeur propre, soit deux valeurs propres distinctes. Comme est impair, si a deux valeurs propres distinctes, les deux sous-espaces propres ne peuvent pas être de la même dimension. Donc , et .
5.3. Comme suit la loi binomiale de paramètres et . L'évènement correspond à : . Comme , on a donc aussi . On obtient ainsi : , donc .
6. Pour tout , on note et .
6.1. Soit .
6.2. Soit . La variable suit une loi de Bernoulli de paramètre . Si avec , la variable suit une loi de Bernoulli de paramètre
par indépendance.
6.3. . Or, ne prend que les valeurs 0 et 1 .
On en déduit donc que .
6.4. On remarque que toutes les colonnes de sont liées (elles sont toutes multiples de ). Donc le rang de vaut 0 si est nulle et .
6.5. Soit dans . Trois cas se présentent :
  • soit est la matrice nulle et sa seule valeur propre est 0 ;
  • soit est non nulle et et sa seule valeur propre est 1 ;
  • soit est non nulle et et elle a deux valeurs propres 0 et .
    6.6. Comme par indépendance, suit la loi de Bernoulli de paramètre .

COMMENTAIRES

- Commentaires généraux

Malheureusement, il me faut reprendre presque intégralement les remarques générales faites l'an dernier sur les copies :
  • Les correcteurs ont signalé à plusieurs reprises un nombre important de copies mal ordonnées, mal présentées, raturées (la rédaction de la copie ne doit pas occasionner un jeu de piste pour l'examinateur) :
    les étudiants doivent s'appliquer à présenter une copie claire et propre.
    Il est rappelé que les copies doivent être correctement numérotées, dans un ordre cohérent.
    Notons que nous avons rencontré cette année des copies quasiment illisibles et donc lourdement pénalisées.
    Rappelons aussi que l'orthographe fantaisiste donne une très mauvaise impression à la lecture de la copie.
  • Il semble judicieux d'éviter d'utiliser des expressions telles que «il est trivial que», «par une récurrence immédiate», «il est clair que» etc... : rappelons que toute proposition énoncée dans une copie se doit d'être démontrée.
  • Il ne suffit pas d'écrire «je peux utiliser le théorème car ses hypothèses sont vérifiées »... , il faut les vérifier!
  • Enfin, un exemple ne permet pas de démontrer un résultat général.
Les quatre exercices constituant le sujet permettaient de parcourir les parties les plus classiques du programme de deuxième année de classe préparatoire MP.
  • Signalons qu'une lecture attentive de la totalité du sujet permet souvent de comprendre l'architecture et la démarche proposée dans chaque exercice.
    Il nous a semblé en effet que beaucoup de candidats lisent de plus en plus approximativement l'énoncé, ce qui induit nombre d'erreurs facilement évitables : «donner sans démonstration» donne lieu à une démonstration, «démontrer par récurrence» ne donne pas lieu à une récurrence, la donnée se transforme en etc...
  • Un grand nombre d'étudiants ne maîtrise pas les notions de base d'algèbre linéaire, même de première année, ainsi que les théorèmes principaux d'analyse du programme de deuxième année de MP et espèrent cependant venir à bout des questions posées en utilisant des recettes toutes faites bien souvent mal comprises.
  • Nous constatons de nouveau une très grande maladresse dans les calculs (parfois très simples) qui sont trop rapidement abandonnés.
    De plus, beaucoup de candidats ne manipulent pas correctement les quantificateurs, ce qui entraîne de grosses difficultés dans les démonstrations, voire des contradictions.
  • Dans le même type d'erreurs, on constate une grande confusion dans beaucoup de copies entre variable et paramètre : cela occasionne de grosses erreurs en particulier dans les intégrales à paramètre. Il est par
    ailleurs curieux de voir des candidats chercher un équivalent de la fonction à intégrer au voisinage de alors que l'on intègre entre 0 et 1 !
  • Enfin, notons une nouvelle fois que les examinateurs ne goûtent guère des arguments inventés ou fallacieux pour arriver à toute force au résultat annoncé dans l'énoncé.
  • Reste à signaler que les probabilités génèrent un refus de beaucoup de candidats : près de des candidats n'abordent pas cet exercice : rappelons que nous posons systématiquement un exercice de probabilité.
Conclusion : Nous souhaitons obtenir dans la résolution des exercices proposés de la rigueur, une rédaction claire et lisible et une justification des résultats en utilisant à bon escient le cours : ainsi, nous encourageons les candidats à rédiger le plus proprement, correctement et rigoureusement possible leurs copies, en détaillant clairement les calculs effectués et les théorèmes utilisés à chaque étape de la résolution, sans forcément chercher à tout traiter de façon superficielle.
Nous rappelons enfin qu'il vaut mieux admettre clairement le résultat d'une question et avancer dans la résolution du reste de l'exercice plutôt que de donner des arguments faux qui indisposent nécessairement le correcteur.
Nous proposons chaque année dans ce rapport une correction détaillée du sujet et invitons vivement les candidats à l'étudier attentivement.

- Commentaires par exercices

- Exercice 1.

Beaucoup de candidats ont du mal pour compter de 0 à mais comme ils ne connaissent pas la dimension de , les erreurs se compensent...Apparaît souvent la dimension d'une famille de vecteurs ! (confusion entre dimension et cardinal).
La formule de Taylor pour les polynômes est ignorée par plus d'un candidat sur deux.
Dans la question 3. il est loin d'être évident pour nombre de candidats que .
Curieusement, la question 4. a posé problème : des termes disparaissent lors du développement des parenthèses. Le cas est trop souvent oublié.
Trop de candidats oublient de considérer la loi externe pour montrer qu'une application est linéaire. Certains tentent d'utiliser le calcul de pour démontrer que en oubliant de préciser que la famille des est une base de .
La matrice demandée à la question 6. est souvent fausse après de nombreux essais raturés : rappelons que la copie rendue n'est pas un brouillon!
Les questions 7. et 8. sont rarement abordées.

- Exercice 2.

Globalement, des négligences dans les écritures rendent les affirmations insensées. Citons par exemple : « est continue»; « est croissante»
  1. Question traitée par tous les candidats.
  2. Question résolue souvent sans explication.
  3. Il est désolant de constater que cette question est souvent fausse en ce qui concerne le domaine de validité.
  4. Il est surprenant d'obtenir fréquemment ou
On lit trop souvent «par une récurrence immédiate» ...
Certains candidats ne lisent pas correctement l'énoncé et redémontrent que la fonction est définie sur et que , ce qui n'était pas demandé, sans traiter la fin de la question...
5.
5.1. Question très souvent mal traitée (plus d'un candidat sur deux) : on lit que la définition de découle de la continuité de sur le segment .
Pour certains candidats, l'intégrale est définie si, et seulement si, l'intégrande est défini... Avant d'étudier l'intégrabilité d'une fonction, il serait judicieux de s'interroger d'abord sur quel ensemble elle est continue (ou continue par morceaux) : cela peut éviter des études inutiles.
5.2. Question souvent bien traitée : certains cependant tentent de démontrer que est sur son ensemble de définition : une lecture attentive de l'énoncé aurait permis d'éviter cette piste. Ne pas oublier que le signe de ne permet pas de conclure quand au sens de variation de .
5.3. Correctement traitée en général.
5.4. Correctement traitée en général.
5.5. Noter que la domination sur un segment ne fonctionne pas dans cette question.
5.6. Trop peu de candidats se risquent à donner une allure de la courbe représentative de : c'est dommage.
6. Questions très rarement abordée.
Rappelons que la dérivée de n'est pas !

- Exercice 3.

  1. Réponses catastrophiques à cette question que l'on pose à peu près tous les ans...
On cite le Théorème fondamental de l'analyse sans plus de précision et le calcul de reste loufoque...
2. Nombreux sont les qui candidats n'arrivent pas à mettre en oeuvre correctement le changement de variable et obtiennent des résultats faux : voire !
3. Très rarement traitée : beaucoup de candidats n'ont pas vu l'intérêt de la question .
4. Pas de problème.
5.
5.1. Nombre de candidats «prolongent» la fonction par continuité en 0 , alors que la fonction est définie en 0 !
Encore une fois, une lecture attentive de l'énoncé évite une telle erreur.
5.2. Il est surprenant de constater que pour beaucoup d'étudiants, de classe en 0 signifie que tend vers , sans s'assurer que existe et vaut
5.3. Les questions 5.2 à 5.5 sont rarement abordées et donne lieu à des résultats surprenants.
6. Les erreurs les plus courantes :
  • car
  • est continue d'intégrale nulle, donc est nulle.
  • Puisque n'est pas surjective elle ne peut être injective.
7.1. Pas de problème.
7.2. Question souvent mal traitée : des candidats ne mentionnent que la fonction et d'autres semblent perturbés par les variables et donnent comme solutions les .
7.3. et 7.4. peu abordées et sans beaucoup de succès.
8. Question incomprise par des candidats pour qui 8.1.1. est le cas . Ainsi, en 8.1.2., ils disent : « de même qu'en 8.1.1. » ...
Le reste des sous-questions est très rarement abordé.
  • Exercice 4.
Exercice assez bien traité pour ceux qui l'ont abordé.
Quelques remarques :
  • Les résultats sont souvent donnés sans une phrase, sans une explication (incompatibilité, indépendance).
  • Des étudiants n'hésitent pas à affirmer que le spectre d'une matrice diagonale constituée de 0 et de 1 est égal à !
  • Régulièrement, les résultats donnés pour ou ne sont pas des ensembles. Par exemple, .

FIN

Luc VALETTE

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