Version interactive avec LaTeX compilé
E3A Mathématiques MP 2025
Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)RéductionAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensGéométrie
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP
MATHÉMATIQUES
Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
- Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
- Ne pas utiliser de correcteur.
- Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.
Les calculatrices sont interdites.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
EXERCICE 1
Soit
On cherche les extrema éventuels de la fonction
Première méthode
Première méthode
- Déterminer les extrema de la fonction
. - Déterminer les solutions du problème posé.
Deuxième méthode
Soit
3. En utilisant la fonction
4. Retrouver les solutions du problème posé.
Soit
3. En utilisant la fonction
4. Retrouver les solutions du problème posé.
Troisième méthode
Soit
5. Démontrer que
6. Déterminer le sous-espace orthogonal du sous-espace
7. Calculer la distance
8. Soit
9. En déduire la structure de l'ensemble
10. Retrouver de nouveau les solutions du problème posé.
Soit
5. Démontrer que
6. Déterminer le sous-espace orthogonal du sous-espace
7. Calculer la distance
8. Soit
9. En déduire la structure de l'ensemble
10. Retrouver de nouveau les solutions du problème posé.
EXERCICE 2
Soit
On note
On note
On note
On note
Soit
Soit
Soit
- Déterminer, suivant la valeur de l'entier relatif
, la somme : .
On note
2. Écrire la matrice
3. Démontrer que, pour tout couple
4. La matrice
5. Calculer
6. Déterminer alors un nombre complexe
7. Calculer
8. La matrice
2. Écrire la matrice
3. Démontrer que, pour tout couple
4. La matrice
5. Calculer
6. Déterminer alors un nombre complexe
7. Calculer
8. La matrice
Éléments propres de
On note, pour
9. Déterminer les valeurs propres possibles de
10. Exprimer les
11. En déduire que :
9. Déterminer les valeurs propres possibles de
10. Exprimer les
11. En déduire que :
On pose
12. Vérifier que
13. Écrire la matrice de l'endomorphisme induit par
14. En déduire:
12. Vérifier que
13. Écrire la matrice de l'endomorphisme induit par
14. En déduire:
- un vecteur non nul de
, - un vecteur non nul de
.
- Dans le cas
, déterminer le spectre de . - Dans le cas
, déterminer les valeurs propres de . - Déterminer les valeurs propres de la matrice
On suppose à présent
18. Montrer que le sous-espace vectoriel
19. Déterminer le spectre de
18. Montrer que le sous-espace vectoriel
19. Déterminer le spectre de
EXERCICE 3
Question de cours
- Rappeler le développement en série entière de la fonction exponentielle et son domaine de validité.
On pose, lorsque cela est possible,
2. Montrer que la fonction
3. Justifier que
4. Démontrer que la fonction
5. Prouver que pour tout réel positif
6. Soient
7. Prouver que l'on a:
2. Montrer que la fonction
3. Justifier que
4. Démontrer que la fonction
5. Prouver que pour tout réel positif
6. Soient
7. Prouver que l'on a:
On pose, pour tout
8. Justifier que
9. Étudier le signe de
10. Montrer que :
11. Prouver que pour tout
12. En déduire que
13. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle
14. Démontrer que pour tout
8. Justifier que
9. Étudier le signe de
10. Montrer que :
11. Prouver que pour tout
12. En déduire que
13. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle
14. Démontrer que pour tout
- En déduire que
est majorée par sur .