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E3A Mathématiques MPI 2023

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Banque
E3A
Année
2023
Filière
MPI
Matière
Maths
E3A MPIE3A 2023MPI MathsMaths 2023
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MPI

MATHEMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

EXERCICE 1

Soit un entier naturel non nul. On note et pour tout .

Questions de cours

Soit un réel.
  1. Justifier que la famille est une base de .
  2. Soit un polynôme de .
Donner sans démonstration la décomposition de dans la base à l'aide des dérivées successives du polynôme .
3. On suppose que est une racine d'ordre de .
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de par .
À tout polynôme de , on associe le polynôme défini par :
et on note l'application qui à associe .
4. Soit . Déterminer .
5. Montrer que est un endomorphisme de .
6. Écrire la matrice de dans la base de .
7. On suppose que est une valeur propre réelle de l'endomorphisme et soit un polynôme unitaire, vecteur propre associé à la valeur propre .
7.1. Montrer que est de degré .
7.2. Soit une racine complexe de d'ordre de multiplicité . Prouver que .
7.3. En déduire une expression de .
8. Déterminer les éléments propres de l'endomorphisme .
L'endomorphisme est-il diagonalisable?

EXERCICE 2

Questions de cours

  1. Soit et deux réels avec . Choisir sans justification l'expression correcte de :
  1. Soit et deux réels tels que et un réel de .
Comparer et .
3. Donner, sans démonstration, le développement en série entière de la fonction exponentielle réelle et donner son domaine de validité.
4. On considère la fonction définie par .
On admet que cette fonction est définie sur et que, pour tout réel strictement positif :
Calculer et en déduire, en effectuant un raisonnement par récurrence, la valeur de pour .
5. Pour , on note, lorsque cela a un sens :
où, comme il est d'usage, .
5.1. Déterminer l'ensemble de définition de .
5.2. Déterminer le sens de variation de .
5.3. Démontrer que pour tout réel positif, on a : .
5.4. Démontrer que est continue sur son ensemble de définition.
5.5. Déterminer et .
Les théorèmes utilisés seront cités avec précision et on s'assurera que leurs hypothèses sont bien vérifiées.
5.6. Dresser alors avec soin le tableau de variations de et donner une allure générale de sa courbe représentative dans un repère orthonormal. On admettra que et on tracera la tangente au point d'abscisse .
6. Soit un réel strictement positif.
Pour tout entier naturel , on note la fonction définie sur par .
6.1. Démontrer que la série de fonctions converge simplement sur et donner sa somme.
6.2. Démontrer que, pour tout entier naturel .
6.3. Établir enfin que l'on a:

EXERCICE 3

On note l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles continues sur . Pour tout élément de et tout on pose .
  1. Justifier que est de classe sur et donner pour tout l'expression de .
Soit définie par: .
2. Exprimer, pour tout réel strictement positif, à l'aide de .
3. Justifier que la fonction est continue sur et donner la valeur de .
4. Montrer que est un endomorphisme de .
5. Surjectivité de
Soit .
5.1. Montrer que la fonction est continue sur .
5.2. La fonction est-elle de classe sur ?
5.3. Soit .
Montrer que la fonction est de classe sur .
5.4. A-t-on ?
5.5. Conclure.
6. Montrer que est injective.
7. Recherche des éléments propres de
7.1. Justifier que 0 n'est pas valeur propre de .
Soit . On considère l'équation différentielle ( ) sur :
7.2. Résoudre ( ) sur .
7.3. Déterminer les solutions de prolongeables par continuité sur .
7.4. Déterminer alors les valeurs propres de et les sous-espaces propres associés.
8. Soit . Pour , on pose :
On note et le sous-espace vectoriel de engendré par .
8.1. On veut montrer que la famille est une base de
Soit et des scalaires tels que .
8.1.1. Montrer que .
On pourra simplifier l'expression (*) par x lorsque x est non nul.
8.1.2. Soit . On suppose que . Démontrer que .
8.1.3. Conclure et déterminer la dimension de l'espace vectoriel .

8.2. Où l'on démontre que induit un endomorphisme sur

8.2.1. Soit et . Montrer que l'intégrale est convergente et la calculer.
8.2.2. En déduire que induit un endomorphisme sur .
8.3. Donner la matrice de l'application dans la base .
8.4. Démontrer que est un automorphisme de .
8.5. Soit .
Après avoir vérifié que , déterminer .

EXERCICE 4

Question de cours

  1. Rappeler la définition d'un évènement négligeable et d'un évènement presque sûr.

*****

Soit une suite de réels telle que et pour tout .
Pour tout , on pose .
2. Étude de la suite
2.1. Montrer que la suite est convergente. On note sa limite.
2.2. Démontrer que .
2.3. Soit . Montrer que si à partir d'un certain rang , on a , alors .
2.4. Que peut-on dire de si la suite est décroissante?
2.5. Déterminer la valeur de dans le cas où et pour tout .
3. On considère une famille de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé avec :
  • est constante et égale à 1 ,
  • suit la loi de Bernoulli de paramètre ,
  • pour tout suit une loi de Bernoulli de telle sorte que :
3.1. Démontrer par récurrence sur l'entier naturel que l'on a:
3.2. En déduire l'espérance de la variable aléatoire .
3.3. Déterminer les valeurs de l'entier naturel pour lesquelles les deux variables aléatoires et sont indépendantes.
4. On suppose que
4.1. Soit deux entiers naturels non nuls et tels que .
Montrer que la probabilité de l'évènement est nulle.
4.2. Quelle est la probabilité de l'évènement ?
4.3. En déduire que la probabilité de l'évènement est nulle.
4.4. On définit les variables aléatoires et par :
et
é
Démontrer que .
Que peut-on en conclure pour l'évènement ?

FIN

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