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E3A Mathématiques PC 2020

Cinq exercices indépendants

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéductionProbabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)

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E3A PC E3A 2020 PC Maths Maths 2020

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Jeudi 7 mai:

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Exercice 1.

Soient

et la matrice

Pour quelles valeurs du réel la matrice est-elle diagonalisable ?
Pour quelles valeurs du réel la matrice est-elle inversible ?
Montrer que lorsqu'elle n'est pas diagonalisable, est semblable à la matrice .

Exercice 2.

Soient

un réel positif ou nul et

la fonction qui à un réel

, associe

.
On pose alors, pour tout

Justifier que la fonction est bien définie sur .
Déterminer le sens de variation de la fonction sur .

On pourra comparer

pour deux éléments

tels que

.
3. Limite de

en l'infini
3.1. Démontrer que la suite

converge vers une limite

.
3.2. Déterminer la valeur de

.
3.3. En déduire

Exercice 3.

On considère la suite

définie par

et la relation de récurrence :

En utilisant un raisonnement par récurrence, démontrer que: .
On considère la série entière . Justifier que son rayon de convergence est supérieur ou égal à 1 .
Pour , on pose .

3.1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière

.
3.2. Déterminer l'ensemble réel de définition de la fonction

.
3.3. On pose, lorsque cela est possible,

, produit de Cauchy réel des deux séries

.
Justifier que le rayon de convergence de la série entière

est supérieur ou égal à 1 et donner pour tout entier naturel

, une expression de

à l'aide de la suite

.
3.4. En déduire que l'on a pour tout

.
4. Démontrer alors que pour tout

.
5. En déduire, pour tout

, une expression de

à l'aide de fonctions usuelles.

On utilisera sans le redémontrer que l'on a :

.
6. Justifier que la série

converge et calculer sa somme.

Exercice 4.

Soient un entier naturel supérieur ou égal à 2 et et , vérifiant la relation :

1.1. On note

. Prouver que

Déterminer la dimension de

et en donner une base.
1.2. Vérifier que

est stable pour la multiplication des matrices.
1.3. Soient

Justifier que

constitue une base de

.
Déterminer les composantes des matrices

dans la base

.
1.4. Déterminer toutes les matrices

vérifiant :

.
2. Soit

une variable aléatoire réelle telle que l'on a:

2.1. On note

. Exprimer

en fonction de

En déduire la loi de la variable aléatoire

.
2.2. Justifier que la variable aléatoire

possède une espérance et une variance et les calculer.

Exercice 5.

Dans cet exercice,

désigne l'espace vectoriel

des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et à coefficients réels et

sa base canonique.
Pour tout couple (

) d'éléments de

, on pose :

Vérifier que l'on définit ainsi un produit scalaire sur .
Déterminer une base orthonormale de pour ce produit scalaire.
Déterminer la distance du polynôme à .
Soit l'ensemble des polynômes de tels que .
4.1. Vérifier que est un sous-espace vectoriel de . Quelle est sa dimension?
4.2. Soit la projection orthogonale sur . Déterminer la matrice de dans la base .