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E3A Mathématiques PC 2025
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Algèbre linéaireCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesSéries entières (et Fourier)Equations différentiellesProbabilités finies, discrètes et dénombrement
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC
MATHÉMATIQUES
Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
- Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
- Ne pas utiliser de correcteur.
- Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.
Les calculatrices sont interdites.
Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.
EXERCICE 1
Question préliminaire
Soit
- Étudier les variations de la fonction
sur l'intervalle et en donner la représentation graphique dans le plan muni d'un repère.
Soit
2. Déterminer les points critiques sur
3. En déduire que la fonction
4. Soit
4.1. Justifier que
4.2. Justifier que ces extrema sont atteints sur le cercle de centre O et de rayon 2.
4.3. Soit
4.4. En déduire les extrema globaux de
2. Déterminer les points critiques sur
3. En déduire que la fonction
4. Soit
4.1. Justifier que
4.2. Justifier que ces extrema sont atteints sur le cercle de centre O et de rayon 2.
4.3. Soit
4.4. En déduire les extrema globaux de
EXERCICE 2
On considère l'équation
où
- Soit
de classe une solution de . Calculer . - On cherche une solution
de développable en série entière et telle que .
On suppose qu'il existe
2.1. Montrer que l'on a:
2.2. Montrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que :
2.3. Justifier alors que la fonction
3. Soit
3.1. Calculer
3.2. Prouver que
2.1. Montrer que l'on a:
2.2. Montrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que :
2.3. Justifier alors que la fonction
3. Soit
3.1. Calculer
3.2. Prouver que
d'inconnue la fonction
3.3. Une équation différentielle
3.3.1. Résoudre sur
3.3.2. Justifier que les solutions sont prolongeables par continuité en 0 .
3.4. Démontrer que, pour tout réel
3.4. Démontrer que, pour tout réel
On admet que ce sont les seules solutions de
3.5. Démontrer qu'il existe un réel
3.5. Démontrer qu'il existe un réel
3.6. Déterminer alors une expression de
EXERCICE 3
Soient
On rappelle que si
On munit l'espace vectoriel
On note enfin
On munit l'espace vectoriel
On note enfin
- Déterminer une base de
et le rang de la matrice . - Déterminer une base de
. - Prouver que la matrice
est diagonalisable dans . - Déterminer les sous-espaces propres de la matrice
et une matrice diagonale semblable à . - Démontrer que
et sont deux sous-espaces orthogonaux supplémentaires dans . - Justifier que
. - Vérifier que la matrice
est diagonalisable dans et déterminer une matrice diagonale semblable à . - Pour tout couple (
) de vecteurs de , on pose .
8.1. Soitun vecteur de . Montrer que l'application est une forme linéaire sur .
8.2. Montrer que:.
8.3. Justifier qu'il existe une matrice, orthogonale, telle que :
où l'on a posé
On ne déterminera pas la matrice
8.4. Déterminer les valeurs de
On ne déterminera pas la matrice
8.4. Déterminer les valeurs de
EXERCICE 4
Questions de cours
- Soit
une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre . Rappeler la loi de , son espérance et sa variance. - Soient
et deux variables aléatoires discrètes définies sur le même espace probabilisé ( ). Rappeler la définition de « et sont indépendantes».
Soient
-
- il existe
tel que avec .
- Soit
. Montrer que . - Étude de la variable aléatoire
4.1. Dans quel ensemble la variable aléatoireprend-elle ses valeurs?
4.2. Déterminer la loi de la variable aléatoire.
4.3. Soientet deux entiers naturels.
4.3.1. Lorsque, calculer .
4.3.2. On prend. Démontrer qu'il existe un scalaire tel que : . - On pose
et où désigne le plus petit des deux réels et .
5.1. Dans quels ensembles les variables aléatoireset prennent-elles leurs valeurs?
5.2. Calculer, pour tout entier naturel, la valeur de .
5.3. En déduire la loi de la variable aléatoire.
5.4. Soientet . Calculer la probabilité de l'évènement ( ) .
On pourra distinguer les deux cas
5.5. En déduire la loi de
5.6. Étudier l'indépendance des deux variables aléatoires
5.5. En déduire la loi de
5.6. Étudier l'indépendance des deux variables aléatoires