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E3A Mathématiques PSI 2021

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Algèbre linéaireRéductionProbabilités finies, discrètes et dénombrementSéries entières (et Fourier)Intégrales généralisées
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Banque
E3A
Année
2021
Filière
PSI
Matière
Maths
E3A PSIE3A 2021PSI MathsMaths 2021
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

Exercice 1

On note l'espace vectoriel des fonctions définies sur à valeurs réelles. Soit . Pour tout , on définit les fonctions sur par:

1. Étude du sous-espace vectoriel engendré par ces fonctions

1.1. Soient des réels tels que est la fonction nulle.
Démontrer que .
1.2. Démontrer alors que la famille est libre.
On note .
1.3. En déduire la dimension de .
2. On note l'application qui à toute fonction de associe la fonction définie sur par :
2.1. Déterminer, pour tout , les images de par .
2.2. Vérifier que est un endomorphisme de .
2.3. Déterminer le noyau et l'image de .
2.4. Préciser , l'ensemble des antécédents de .
2.5. Déterminer la matrice de dans la base .
2.6. L'endomorphisme est-il diagonalisable?
2.7. L'endomorphisme est-il diagonalisable?
3. Résoudre sur l'équation différentielle ( ) .
4. Soit la solution de l'équation différentielle ( ) nulle en zéro.
4.1. On note la solution de l'équation différentielle nulle en zéro. Expliciter .
4.2. En itérant le procédé, on note pour tout entier naturel la solution nulle en zéro de l'équation différentielle .
Expliciter .
5. Étude de la série de fonction
5.1. Montrer que la série de fonctions converge simplement sur et calculer sa somme .
5.2. La fonction est-elle dans ?
5.3. En utilisant la question 5.1, vérifier que est dérivable et que .

Exercice 2

On note l'ensemble des suites réelles vérifiant la relation :
  1. On note la racine positive du trinôme .
Justifier que et que la deuxième racine est .
2. On considère la suite réelle de vérifiant : .
Parmi les réponses proposées, une seule est l'expression correcte de valable pour tout entier naturel . Laquelle?
(1) ;
(2) ;
(3) .
3. Soit une suite de variables aléatoires définie par:
  • et sont indépendantes et suivent toutes les deux une loi de Poisson de paramètres respectifs et ;
  • pour tout entier naturel .
    3.1. Montrer que la variable aléatoire suit une loi de Poisson dont on déterminera le paramètre.
    3.2. Démontrer que les deux variables aléatoires et ne sont pas indépendantes.
    3.3. Montrer que : .
    3.4. Étude de l'espérance de la variable aléatoire pour
    3.4.1. Soit . Justifier que la variable aléatoire possède une espérance que l'on notera et la calculer en fonction de et de termes de la suite .
    3.4.2. Déterminer un équivalent de lorsque tend vers l'infini.
    3.5. Soit . Justifier que la variable aléatoire possède une variance que l'on notera et la calculer en fonction de et de termes de la suite .
    3.6. Soient et deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2 .
Calculer, en fonction de et de termes de la suite , la covariance des deux variables aléatoires et . Que peut-on en conclure?

Exercice 3

Pour tout entier naturel non nul, on pose : .
  1. Justifier, pour tout , l'existence de .
  2. En citant précisément le théorème utilisé, justifier l'existence et déterminer la limite de la suite .
  3. En le justifiant, effectuer le changement de variable dans .
  4. Déterminer alors .
On donnera le résultat en fonction d'une intégrale que l'on ne cherchera pas à calculer.
5. En déduire un équivalent de au voisinage de en fonction de .
6. On considère la série entière .
6.1. Déterminer le rayon de convergence de cette série entière.
6.2. On pose pour tout réel et lorsque cela est possible .
Donner l'ensemble de définition de .

Exercice 4

Soient un -espace vectoriel de dimension finie un endomorphisme de et nombres complexes distincts deux à deux.
  1. On suppose que est diagonalisable et que son spectre est .
On rappelle que dans ce cas, où chaque est le sous-espace propre associé à la valeur propre .
Montrer qu'il existe des projecteurs de non nuls, tels que :
  1. Dans cette question, on ne suppose plus diagonalisable.
On suppose cependant qu'il existe une suite d'endomorphismes de , non nuls et que la suite de scalaires vérifie (*).
2.1. Vérifier que l'on a : .
2.2. Montrer que est diagonalisable.
On pourra chercher un polynôme annulateur de u scindé à racines simples.
2.3. Pour tout , on considère le polynôme .
2.3.1. Déterminer, pour tout couple .
2.3.2. Prouver que la famille est une base de .
2.3.3. Soit . Déterminer les composantes de dans la base .
2.4. Prouver que l'on a : .
2.5. Démontrer enfin que les sont les valeurs propres de l'endomorphisme .
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