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E3A Mathématiques PSI 2023

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsSéries et familles sommablesAlgèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrement
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Banque
E3A
Année
2023
Filière
PSI
Matière
Maths
E3A PSIE3A 2023PSI MathsMaths 2023
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

EXERCICE 1

Soit un entier naturel non nul.
On donne, dans un espace probabilisé ( ) deux variables aléatoires et prenant leurs valeurs dans .
On suppose qu'il existe tel que :
  1. Déterminer la valeur du réel .
  2. Déterminer les lois des variables aléatoires et .
  3. Les deux variables aléatoires et sont-elles indépendantes?
  4. Reconnaître la loi de la variable aléatoire . En déduire l'espérance et la variance de la variable aléatoire .
  5. On note la matrice dont le coefficient de la è ligne et de la è colonne est :
Calculer les .
6. Déterminer et les sous-espaces vectoriels et .
7. Déterminer une matrice colonne et une matrice ligne telles que .
8. Démontrer que .
9. Déterminer les valeurs propres de . La matrice est-elle diagonalisable ?

EXERCICE 2

Questions de cours

  1. Soit un entier naturel. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne dans du polynôme .
  2. Donner, sans justification, la somme de la série entière ainsi que son ensemble de définition.

3. Étude d'une suite

3.1. Montrer que l'intégrale converge pour tout entier naturel .
3.2. On pose, pour .
Démontrer que la suite converge vers un réel que l'on déterminera.
On vérifiera soigneusement les hypothèses du théorème utilisé.

4. Étude de la série de terme général

4.1. Soit .
Pour tout entier naturel non nul , et tout réel , on pose . Démontrer que la série de fonctions converge simplement sur et déterminer sa somme.
4.2. Calculer l'intégrale et en donner un équivalent lorsque tend vers .
4.3. En utilisant la série de fonctions définie au 4.1, démontrer que :
4.4. Pour tout entier naturel non nul , on pose .
Démontrer que la série de fonctions converge normalement sur .
4.5. En déduire que, pour au voisinage de , on a :
On admettra que : .

EXERCICE 3

Soit un entier naturel supérieur ou égal à 3 .
Pour toute matrice , on note sa transposée et on rappelle que :
L'espace est muni de son produit scalaire canonique :
et pour tout vecteur de , sa norme est notée
Soit un entier relatif supérieur ou égal à -1 .
On dit qu'une matrice est de type lorsque .

1. Quelques exemples

1.1. Déterminer l'ensemble des matrices de de type 0 .
1.2. Déterminer l'ensemble des matrices de de type 1 .
1.3. Déterminer l'ensemble des matrices de de type -1 .
En donner un exemple différent de la matrice identité lorsque .

On suppose désormais que est supérieur ou égal à 2 .

  1. Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend et pour tout réel , on note :
2.1. Démontrer que l'on a : .
2.2. Déterminer alors l'ensemble des réels tels que soit une matrice de type .

On revient au cas général avec .

  1. Soit une matrice de de type .
    3.1. Établir l'égalité : .
    3.2. On note .
    3.2.1. Montrer que .
    3.2.2. Démontrer que est une matrice symétrique.
    3.2.3. Prouver que les valeurs propres de sont positives ou nulles. On pourra examiner où est un vecteur bien choisi de .
    3.2.4. Déterminer les valeurs propres de la matrice , lorsque n'est ni la matrice nulle ni la matrice identité.
    3.2.5. Prouver que est une matrice de projection orthogonale. On précisera ses éléments caractéristiques.
    3.3. que .
    3.4. Démontrer que .
    3.5. Prouver que et sont supplémentaires orthogonaux.
    3.6. Démontrer que l'on a : .
    3.7. Prouver que si est de plus inversible, alors est aussi de type -1 .
  2. Prouver enfin que si est à la fois de type et de type , alors est une matrice de projecteur orthogonal.

EXERCICE 4

Dans tout cet exercice, i désigne le nombre complexe usuel vérifiant .

Questions de cours

  1. Pour tout réel , donner le module et un argument du nombre complexe .
  2. Pour tout entier naturel et tout réel , démontrer que .
  3. Soit une suite de réels, décroissante et de limite nulle.
    3.1. Justifier que la série converge.
    3.2. Pour tout entier naturel , justifier que la série converge.
Sa somme sera notée .
3.3. Justifier que la suite converge et donner sa limite.
3.4. Rappeler le signe de suivant les valeurs de .
4. Soit une fonction continue sur à valeurs dans . Justifier que la fonction est de classe sur et que sa dérivée est la fonction .
On admet que le résultat reste valable pour une fonction continue sur à valeurs dans .
5. Soit la fonction définie sur et à valeurs dans .
On rappelle que si est une fonction dérivable sur à valeurs réelles, alors la dérivée de la fonction complexe est la fonction .
5.1. Démontrer que est de classe sur .
On vérifiera les hypothèses du théorème utilisé.
5.2. Démontrer que pour tout réel strictement positif :

6. Convergence d'intégrales

6.1. Montrer que les intégrales et convergent.
6.2. En effectuant une intégration par parties, montrer que converge.
6.3. En déduire que l'intégrale converge.
6.4. Prouver enfin que l'intégrale converge.
On pourra effectuer un changement de variable.
7. Pour tout entier naturel , on pose .
7.1. Montrer que, pour tout entier naturel existe.
7.2. On pose, pour tout entier naturel .
Prouver que est un réel strictement positif.
On pourra effectuer sur le changement de variable affine .
7.3. Prouver que la suite est décroissante.
7.4. Prouver que la série converge et préciser le signe de sa somme.
On pourra utiliser les questions de cours.
7.5. Démontrer que : .
8. Montrer que pour tout réel positif :
  1. On admet que .
En déduire que .
On pourra utiliser la question 6.

FIN

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