Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est autorisé.

AVERTISSEMENT

Les parties A, B, C, D, et les parties E, F, G sont à rédiger sur copies séparées.

Remarques importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que

Il faudra exclusivement utiliser les notations de l'énoncé.
Les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques (données avec un nombre de chiffres significatifs adapté); les résultats exprimés sans unité ne seront pas comptabilisés (S.I. n'est pas une unité).
Tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italiques ont pour objet d'aider à la compréhension du problème.
Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s'il n'a pas été démontré par le(la) candidat(e).
Un document réponse est à rendre non plié avec la copie de la deuxième partie.

Ce problème traite de systèmes d'identification par radio fréquence (RFID). Aucune connalssance particulière sur les antennes n'est demandée.

La radio-identification, le plus souvent désignée par le sigle RFID (de l'anglais radio frequency identification), est une méthode pour mémoriser et récupérer des données à distance en utilisant des marqueurs appelés "radio-étiquettes" ("RFID tag "ou "RFID transponder " en anglais). Les radio-étiquettes peuvent être des étiquettes autoadhésives, pouvant être collées sur des objets. Les radio-étiquettes comprennent une antenne associée à une puce électronique qui leur permet de recevoir et de répondre aux requêtes radio émises (signal radiofréquence) depuis un émetteur-récepteur.
Cette puce électronique contient un identifiant et éventuellement des données complémentaires. Les puces RFID tentent aujourd'hui de supplanter les codes à barres en jouant de leurs avantages, à savoir qu'il est possible d'écrire, d'effacer et de réécrire les données stockées dans la puce un grand nombre de fois, que leur portée peut être supérieure aux lecteurs optiques utilisés pour les codes à barres, et que la communication peut se faire à travers certains obstacles contrairement aux systèmes à lecture optique.

Un système RFID passif est composé de deux entités qui communiquent entre elles (Fig. 0) :

Un TAG passif (dénommé TAG par la suite) ou radio-étiquette, associé à l'élément à identifier. Il est capable de répondre à une demande venant du système émetteur = récepteur. Le TAG n'a pas d'alimentation de type batterie ou pile mais est autoalimenté par l'onde électromagnétique reçue (il existe cependant des TAG actifs alimentés par pile).
Une station de base ou lecteur RFID qui a pour mission d'identifier le TAG. Le lecteur envoie une onde électromagnétique en direction de l'élément à identifier, cette onde alimente le TAG qui peut alors communiquer avec le générateur - lecteur grâce à sa puce électronique interne. En retour, le générateur - lecteur reçoit l'information renvoyée par le TAG.

La figure 0 présente le fonctionnement général d'un système RFID. Le générateur - lecteur relié à une antenne émettrice agit en maître par rapport au TAG : si le TAG est dans la zone de lecture du générateur - lecteur, ce dernier l'active en lui envoyant une onde électromagnétique et entame la communication. Le TAG est quant à lui, constitué d'une antenne et d'une puce électronique qui
module l'onde réémise vers le générateur - lecteur. En démodulant le signal reçu, le générateur lecteur relié à une application interne récupère l'information pour la traiter, il est chargé de l'interface et de la gestion de l'identification des TAGs qui se présentent à lui.
II existe plusieurs familles de systèmes RFID dont le principal critère de différentiation est la fréquence de fonctionnement. Les système RFID utilisent des bandes de fréquence diverses allant de 125 kHz à

. Le sujet étudie quelques aspects d'un système RFID à 860 MHz . Les parties

de ce sujet sont largement indépendantes les unes des autres.

Question préliminaire. Quel peut être l'avantage majeur d'un système RFID actif par rapport à un système RFID passif ?

Partie I : Système RFID à 860 MHz

A Adaptation d'impédance

La notation complexe est utilisée et à

est associé la grandeur complexe

.
Un générateur de tension, de fem interne

et d'impédance interne

est connecté à une impédance de charge variable

(Fig. 1), La fréquence de fonctionnement est

. On note

la puissance moyenne délivrée par la

Figure 1

fem

la puissance moyenne dissipée dans

la puissance moyenne reçue par

.
A1. Déterminer le courant

débité par le générateur, puis déterminer l'expression de

en fonction de

A2. Pour

fixés, montrer que

est maximale quand l'impédance de la charge vérifie:

. Dans ce cas on dit que l'impédance de charge est adaptée à celle de la source (adaptation en puissance). Dans ces conditions, que valent les puissances

On insère entre le générateur et la charge les deux composants de réactance

(Fig. 2). La condition d'adaptation n'est plus réalisée et maintenant,

ce qui correspond à un générateur standard; on a encore

.
Pour les applications numériques prendre

. On appelle

l'impédance équivalente comprenant

Figure 2

A3. Montrer qualitativement que les deux réactances

modifient l'impédance de la charge vue du générateur et permettent éventuellement une adaptation entre le générateur et le reste du montage.
Application numérique: on a tracé sur la figure 3 les lieux des points de coordonnées (

) donnant d'une part

d'autre part. En analysant cette figure, déterminer chaque couple de (

) assurant l'adaptation d'impédance ; donner le type de composant correspondant (bobine ou condensateur) et sa caractéristique (inductance ou capacité), Quel est le meilleur choix? Expliquer.

Le montage de la figure 2 ne convient pour réaliser l'adaptation que dans la situation où

.
A4. Sans calcul et en invoquant des propriétés de symétrie, proposer une modification simple de la figure 2 pour permettre une adaptation d'impédance dans le cas où

B influence du câble coaxial

On étudie un câble coaxial d'axe (Ox), de longueur

intercalé entre le générateur et la charge équivalente adaptée en puissance de la figure 2 (cf. A2.). Le schéma équivalent est donné par la figure 4 où

est la fem du générateur.

Figure 4

On admet que la portion de cáble comprise entre les plans de section droite repérés par x et par

peut être modélisée par le circuit de la figure 5. Elle possède une capacité 「dx entre les conducteurs et une inductance propre

entre les sections d'entrée et de sortie. La tension
entre l'âme et la gaine du câble s'écrit

et le courant traversant une section de l'âme est

Figure 5

B1. Démontrer les relations suivantes:

.
B2. En déduire l'équation de propagation vérifiée par

. Exprimer

la vitesse de propagation.

On admet que les solutions générales sont de la forme :

B3. Interpréter les significations physiques des grandeurs d'indice 1 et 2 . Illustrer avec un graphique et expliquer.

Le générateur de tension (Fig. 4) de fem interne

et de résistance interne

impose un régime sinusoïdal forcé de pulsation

dans le câble coaxial. Les grandeurs

précédentes deviennent des fonctions sinusoïdales dépendant de

pour les grandeurs d'indice 1 et de

pour les grandeurs d'indice 2. On pose:

B4. En utilisant la notation complexe, montrer que:

où

est la résistance caractéristique du câble. Exprimer

en fonction de

et de

. Vérifier l'homogénéité.

La résistance équivalente

est branchée en sortie du câble. Les grandeurs à l'entrée du câble sont notées avec l'indice e et les grandeurs à la sortie du câble avec l'indice

de sorte que:

. Avec la notation complexe:

où

sont des nombres complexes constants. On utilisera les amplitudes complexes

associées à

telles que:

A l'entrée du câble, on note

et à la sortie

B5. En éliminant

Trouver les deux fonctions f et g telles que :

B6. En déduire l'impédance d'entrée

en fonction de

.
B7. Pour quelles valeurs particulières de

a-t-on

? Interpréter et discuter les différents cas.
Application numérique : calculer la longueur

qu'il faut donner au câble coaxial de type RG58C/U entre le générateur - lecteur et l'antenne (Fig. 0) pour qu'il ne perturbe pas la condition d'adaptation d'impédance, si la distance D entre les deux vaut trois mètres ? On donne

C Antenne filaire

Une antenne

(Fig. 6) est modélisée par un conducteur filiforme de longueur

, centré sur

, dirigé suivant l'axe Oz de vecteur unitaire

. L'antenne est parcourue par un courant de pulsation

et de longueur d'onde

, dont la répartition est de la forme:

, soit

en complexe avec

. Le générateur d'alimentation (qui est le générateur - lecteur de la figure 0) n'est pas représenté, mais fournit à l'antenne le courant

par l'intermédiaire d'un câble coaxial. La répartition des charges sur le conducteur est donnée par la densité linéique de charges

où

est la charge contenue dans le tronçon de longueur

situé à

). On se place dans le cas où

avec la condition

(antenne demi-onde). Dans la suite du problème c désigne la célérité des ondes électromagnétiques dans le vide. Pour les applications numériques,

. On rappelle également que la valeur de la perméabilité magnétique du vide vaut :

C1. Rappeler les équations de Maxwell dans une région vide de charge et de courant. Peut-on se placer dans l'hypothèse de l'ARQS ? Que peut-on dire de l'intensité aux extrémités de l'antenne? Expliquer le nom donné à cette antenne : «antenne demi-onde». Application numérique: si

, calculer la longueur

de l'antenne demi-onde.

C2. Etablir une condition sur

pour que

soit solution d'une équation de d'Alembert (dont les ondes se propagent à la célérité c )? Que représente

C3. Faire un bilan de charges sur un tronçon de conducteur infinitésimal de longueur

pendant l'intervalle de temps

. En déduire une relation entre une dérivée de

et une dérivée de

.
C4. Exprimer

sachant de plus que pour tout

tel que

. Déterminer la charge

portée par la moitié supérieure de l'antenne? Que vaut la charge totale

portée par la totalité de l'antenne?

Formulaire en coordonnées sphériques:

Figure 6

On admet que le champ magnétique complexe

produit par l'antenne en un point M éloigné (zone de champ lointain) repéré par (

) et

est à l'instant

avec

, Dans la suite on ne gardera dans les calculs que les termes en

, en négligeant les termes en

.
C5. Justifier que

soit polarisé selon

.
C6. A partir d'une équation de Maxwell à préciser (utiliser le formulaire), trouver les composantes complexes (

) du champ

et montrer en particulier qu'll est orthoradial. Donner les composantes réelles correspondantes de

associé au champ complexe

C7. En un point

de l'axe ( Ox ) tel que

, déterminer l'amplitude et la polarisation du champ

dans la base

C8. Donner les composantes réelles correspondantes du champ

associé au champ complexe

C9. Vérifier que le champ électromagnétique en M a la structure d'une onde plane progressive harmonique.

C10. Calculer le vecteur de Poynting

et sa valeur moyenne temporelle

au point M.
On donne le résultat de l'intégrale suivante :

évaluée en partie

.
C11. Quelle est la puissance moyenne

rayonnée à travers la sphère de centre O et de rayon r

? Identifier une résistance

équivalente (dite de rayonnement) en

telle que :

. Application numérique : calculer

dans le cas où

D Système RFID passif

Une antenne peut être émettrice comme dans la partie précédente mais peut étre également réceptrice comme l'est une antenne de téléphone portable. En conséquence, on admettra par la suite qu'une antenne est équivalente à un circuit d'impédance

parcouru par le courant émetteur dans le cas d'une émission. De même, dans le cas d'une réception, cette antenne est équivalente à un générateur comprenant en série une fem induite

et l'impédance interne de l'antenne

. Dans les deux cas (émission et réception), la résistance

modélise la puissance moyenne

rayonnée par celle-ci lorsqu'elle est parcourue par un courant efficace I. Pour les applications numériques, on prendra

. On pourra remarquer que

.
En mode émission le schéma équivalent de l'antenne alimentée par un générateur de tension

et d'impédance de sortie

est donné à la figure 7.

En mode réception l'antenne est connectée à une charge d'impédance

. Le schéma équivalent de l'antenne et de sa charge est donné à la figure 8.

est la fem induite dans l'antenne due au champ électromagnétique incident.

Figure 8

D1. En mode réception (Fig. 8), soit I le courant efficace circulant dans le circuit. Expliquer pourquoi l'antenne «re-rayonne» un champ électromagnétique. Déterminer la puissance

« re-rayonnée» par l'antenne en fonction de

et de

Soit une deuxième antenne

demi onde, du même type que

et centrée sur le point

de coordonnées (

) et parallèle à ( Oz ). On rappelle que la permittivité du vide vaut

. On admet que la tension efficace de la fem induite dans l'antenne

et due
au champ électromagnétique incident produit par

s'écrit

(où

est le courant dans

(cf. C.11.)). Pour les applications numériques prendre

. On fera l'hypothèse que l'antenne

ne perturbe pas l'émission de

.
D2. Faire une figure faisant apparaître

. Application numérique : calculer

.
L'antenne

est chargée par une charge d'impédance

pour qu'll y ait adaptation en puissance (cf. A.2.).
D3. Exprimer la puissance moyenne

reçue par la charge en fonction de

. Rappeler la signification physique de

. Montrer que

reçoit une puissance

où

sera explicitée,

On définit la grandeur

appelée «aire équivalente de l'antenne».
D4. Pourquoi un tel nom pour

? Application numérique : calculer

.
Le TAG est modélisé par

et pour simplifier le fonctionnement, les parties émission et réception du système émetteur - récepteur de la figure 0 sont disjointes et modélisées par

, qui est une troisième antenne demi-onde, du même type que

et centrée sur le point

de coordonnées

et parallèle à (Oz). L'antenne

est toujours connectée à une charge adaptée en puissance. On admet que la puissance reçue par l'antenne

ne vient que de

. Lorsque l'antenne

est connectée à une charge adaptée en puissance, la puissance reçue par la charge de

vaut

; enfin on pourra remarquer que

vis-à-vis de

joue le même rôle que

vis-àvis de

.
D5. Faire une figure faisant apparaître

. Déterminer

en fonction de

, Application numérique : calculer

D6. Lorsque la charge de

a une impédance

quelconque (non adaptée en puissance), montrer alors que la charge de

reçoit la puissance

telle que

où

est une constante à déterminer.
Application numérique : calculer

pour

, puis pour

'(conjugué de

) et enfin pour

D7. Montrer à partir d'un schéma reprenant les éléments de la figure 8 comment réaliser en pratique ces trois conditions (

) avec seulement deux interrupteurs commandables.
D8. Montrer que la modulation (appellée ici «rétromodulation») de la charge de

(réalisée par la puce électronique) permet de communiquer avec le générateur - lecteur RFID.

Partie II: quelques aspects numériques du problème

L'objectif des parties

est de décrire quelques méthodes algorithmiques et numériques permettant d'obtenir des résultats admis dans la première partie de ce sujet.

E Résolution d'une équation de deux variables

On souhaite obtenir la courbe de la figure 3 utillsée à la question A3. Supposons qu'on dispose d'une fonction XIN(X1,X2) qui pour deux valeurs des réactances

et pour une impédance de charge

calcule la valeur de la réactance équivalente

correspondante. On souhaite résoudre numériquement l'équation

.
On propose la fonction Resolution(

) donnée en annexe.
E1. La fonction proposée ne fonctionne pas. Lorsqu'on l'utilise, on reçoit le message d'erreur suivant :

En langage Python:

En langage Scilab:

local variable 'soll' referenced before

assignment

variable non définie: soll

Ajouter dans le code d'une des deux fonctions en annexe les instructions manquantes pour son bon fonctionnement.

E2. Expliquer le fonctionnement de l'algorithme. Préciser en particulier ce qu'il retourne et ce que représentent les variables d'entrées N et eps.

E3. Quelles contraintes informatiques empêchent d'utiliser ce programme pour des valeurs arbitrairement grandes de N ?

F Calcul d'une intégrale

L'objectif de cette partie est d'étudier une méthode générale d'intégration. On l'utilisera pour obtenir une valeur numérique approchée de :

L'application

est continue sur

et est prolongeable par continuité en 0 et

en posant

. L'Intégrale I est donc bien définie.
La méthode des rectangles consiste à approcher l'intégrale par la suite

définie pour notre fonction f par:

où

désigne un nombre réel qu'll faudra préciser.

Tous les algorithmes demandés dans cette partie devront être réalisés dans un même langage. Ce langage pourra être le langage Python ou le langage Scilab. On n'utilisera aucune librairie particulière mais on considérera que les fonctions cos et

ainsi que le nombre pi ont été importés dans Python. On rappelle que le nombre

se note

pi dans Scilab.
II n'est pas demandé de vérifier dans les algorithmes que les variables d'entrée sont bien du type voulu. Il est ainsi par exemple inutile dans la question F2. de tester si la variable d'entrée x est bien dans l'intervalle

F1. Illustrer le principe de la méthode des rectangles en représentant

sur le graphe de la fonction

fourni en annexe. Donner l'expression de

en fonction de

F2. Écrire une fonction

qui retourne la valeur de

pour un nombre réel

.
F3. Ecrire une fonction Rectangle1 ( n ) qui, pour un nombre entier

, retourne la valeur de

F4. Combien d'évaluations de l'application

nécessite cet algorithme pour une valeur de

donnée?

II faut déterminer une valeur de n pour laquelle

fournit une bonne estimation de I . La méthode 1 consiste à calculer les termes successifs de la suite

jusqu'à ce que celle-cl semble se stabiliser.

F5. Ecrire une fonction Integrale1 (eps) qui calcule, pour eps

, les termes successifs de la suite

jusqu'à ce qu'on obtienne

eps, puis qui retourne la dernière valeur

calculée.

F6 Pour eps

, Integrale1 (eps) s'arrête pour

. Vérifier que cela a nécessité plus de 500 évaluations de la fonction

.
F7. Quelle contrainte informatique empêche d'obtenir un résultat pertinent pour des valeurs arbitrairement petites de eps ?
II est possible d'améliorer la méthode 1. La méthode 2 repose sur la relation de récurrence suivante :

F8. Écrire la relation de récurrence pour un entier

de la forme

. Écrire une fonction récursive Rectangle2 (m) qui pour un nombre entier m retourne la valeur de

F9. Combien d'évaluations de la fonction

nécessite cet algorithme pour une valeur de

donnée?

F10. Écrire une fonction Integrale2 (eps) qui calcule, pour eps

, les termes successifs de la suite

jusqu'à ce qu'on obtienne

eps , puis qui retourne la dernière valeur

calculée. Cet algorithme doit impérativement être élaboré dans le but de minimiser le nombre total d'évaluations de

F11. Pour eps

, Integrale2(eps) s'arrête pour

. Combien d'évaluations de la fonction

ont été nécessaires ?

G Puissance rayonnée de l'antenne réelle du TAG

Dans les questions C5. et C6. de la première partie, on cherche à déterminer la résistance de rayonnement

de l'antenne. On souhaite proposer une façon de déterminer

dans un cadre plus général.

Une antenne est en réalité rarement filaire et l'expression analytique du champ électromagnétique produit est très difficile (voire impossible) à obtenir en tout point. Une antenne de TAG RFID est representée figure 9.

Figure 9

On considère une antenne centrée en l'origine dont les dimensions sont inférieures à 16 cm . Supposons qu'on ait estimé numériquement le champ électrique et le champ magnétique en tout point d'un maillage de pas

contenant l'origine et pour des temps espacés d'un centième de période du courant d'alimentation. On a ainsi accès aux coordonnées cartésiennes (

) et (

) des champs

en chaque point

de la forme

où

et c désignent des nombres entiers et en tout instant t de la forme

où p est un nombre entier et

. Enfin, on supposera

. Ainsi la valeur numérique de

est simplement donnée par la valeur de

, la puissance rayonnée par l'antenne.

L'objectif de cette partie est de proposer une démarche numérique permettant d'estimer Ra. On ne demande ni programme, ni justification mathématique des formules proposées.
G1. Proposer une façon d'estimer, à partir des données disponibles, la valeur moyenne temporelle

du vecteur de Poynting dú à l'antenne en un point M du maillage.

G2. On souhaite maintenant estimer la puissance moyenne rayonnée par l'antenne à travers une surface fermée contenant l'antenne. Compte tenu des données disponibles, quelle est parmi les surfaces suivantes la plus pertinente pour obtenir une estimation précise de

(et donc de

) : la surface du cube

, celle du cube

, la sphère de centre O et de rayon

ou la sphère de centre O et de rayon 5 ?

G3. Notons

les coordonnées de la valeur moyenne du vecteur de Poynting en un point

du maillage. Proposer une formule permettant d'estimer numériquement la résistance de rayonnement

.
G4. Proposer une démarche, qui en faisant varier la surface choisie, permettrait de s'assurer une bonne précision de la valeur estimée de

FIN DE L'EPREUVE

ł ə ә ุ

Document réponse

Annexe : Document réponse

Question E1: fonction Resolution en langages Python et Scilab.

En langage Python:	En langage Scilab:
def Resolution (N, eps) :	function [soll,sol2]=Resolution(N,eps)
valeurs for in range	valeurs ;
for X1 in valeurs :	for X1=valeurs
for X2 in valeurs :	for X2-valeurs
if <eps :	if <eps then
soll=sol1, append(X1)	soll=[soll, X1] ;
sol2=so12, append(X2)	sol2=[so12, X2] ;
return [soll,sol2]	end ;
	end ;
	end ;
	endfunction

Question F1 : graphe de la fonction f.