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E3A Physique Chimie MP 2024

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2024
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Physique Chimie
E3A MPE3A 2024MP Physique ChimiePhysique Chimie 2024
2025_09_04_0e9f332aa273821b1da7g

PROBLÈME 1

Quelques aspects de l'interaction entre le champ électromagnétique et la matière.

Les notations et valeurs numériques des grandeurs utilisées dans ce problème sont résumées dans le tableau ci-dessous.
Grandeur Notation Valeur numérique
Célérité des ondes électromagnétiques dans le vide
Constante de Planck
Permittivité du vide
Perméabilité du vide
Charge élémentaire
Masse d'un électron
On note j le nombre complexe de partie imaginaire positive vérifiant . En régime sinusoïdal forcé de pulsation , on convient d'associer à toute grandeur sinusoïdale deux grandeurs complexes :
  • la première, notée , appelée amplitude complexe associée à ;
  • la seconde, notée , appelée grandeur sinusoïdale complexe associée à .
Dans le cas où la grandeur sinusoïdale est un champ , dépendant de la date et de la position d'un point M via une fonction nulle lorsque M est confondu avec O , on note la grandeur sinusoïdale complexe associée à . À l'exception de j , les grandeurs complexes sont soulignées.
Les différentes parties de ce problème sont, dans une large mesure, indépendantes les unes des autres. Néanmoins, des notions et notations utiles sont introduites au fil du sujet. Aussi est-il conseillé de lire et de résoudre les parties du problème dans l'ordre de présentation.

I Généralités sur les ondes électromagnétiques dans le vide

On se place dans le vide, milieu supposé n'avoir ni charge ni courant. On introduit un repère cartésien orthonormé direct ( ). Un point M quelconque de l'espace est repéré par ses coordonnées cartésiennes ( ).
Q1. Citer les quatre équations de Maxwell vérifiées par les champs électrique et magnétique dans ce milieu.
On rappelle que , où est un champ vectoriel et est l'opérateur laplacien vectoriel.
Q2. Obtenir l'équation de d'Alembert vérifiée par le champ électrique . En déduire la relation entre et .
On considère une onde électromagnétique solution de l'équation de d'Alembert de type plane progressive monochromatique, de vecteur d'onde et de pulsation temporelle . On suppose qu'elle se propage dans la direction et le sens de .
Q3. Montrer que les champs électrique et magnétique de l'onde sont transverses à l'aide de la notation complexe. On suppose le champ électrique de l'onde polarisé rectilignement selon . On note son amplitude et sa phase à l'origine du temps et de l'espace.
Q4. Donner l'expression du champ électrique réel de l'onde en un point M à l'instant de date , noté . On fera notamment apparaître et .
Q5. Établir la relation entre et , appelée relation de dispersion.
Q6. Obtenir l'expression du champ magnétique réel de l'onde en un point M à l'instant de date , noté .
Q7. Exprimer le vecteur de Poynting de l'onde en un point M à l'instant de date , noté .
Q8. Exprimer la densité volumique d'énergie électromagnétique en un point M à l'instant de date , notée , en fonction de et de .
Q9. On note la période temporelle de l'onde plane progressive monochromatique. Montrer que les valeurs moyennes temporelles de et de vérifient .

II Modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène

On s'intéresse à l'atome d'hydrogène dans le modèle de Bohr. Dans ce modèle, le proton est supposé immobile et placé à l'origine O du repère cartésien ( ). L'électron est soumis au champ électrique coulombien du proton et on néglige l'effet de son poids. Le moment cinétique de l'électron par rapport à O est quantifié : , où .
Q10. Montrer que est constant. En déduire que le mouvement de l'électron est plan.
Figure 1 - Repérage d'un point M dans le plan du mouvement de l'électron.
On introduit le vecteur unitaire de telle sorte que soit de même direction et de même sens que . On introduit aussi la base locale cylindrique ( ) d'axe ( ). Un point M du plan du mouvement est repéré par ses coordonnées cylindriques ( ) comme indiqué sur la figure 1 . On note donc .
Q11. Exprimer en fonction de et de .
On suppose que l'électron est en mouvement circulaire autour du proton.
Q12. Justifier le fait que le mouvement de l'électron est uniforme.
Q13. Obtenir l'expression de la vitesse de l'électron en fonction de et du rayon de sa trajectoire.
Q14. En déduire que le rayon de la trajectoire s'écrit , où est le rayon de Bohr que l'on exprimera en fonction de et de . Calculer numériquement .
Q15. Citer la relation numérique entre le joule et l'électronvolt.
Q16. Montrer que l'énergie mécanique de l'électron s'écrit et donner l'expression de en fonction de et de . Calculer la valeur numérique de exprimée en joule et en eV .
Q17. Citer la relation entre l'énergie d'un photon et sa longueur d'onde . Calculer, en joule et en eV, l'énergie d'un photon de longueur d'onde .
Lorsqu'un photon est absorbé par un atome d'hydrogène, cela provoque une transition d'un niveau d'énergie repéré par l'entier vers un niveau d'énergie repéré par l'entier .
Q18. Donner, en fonction de et de , l'expression des longueurs d'onde des photons susceptibles d'être absorbés.
Q19. On admet que les transitions associées à des longueurs d'onde dans le visible sont obtenues pour . Donner les valeurs de et correspondant effectivement à une longueur d'onde dans le visible.
Q20. Que vaut l'énergie d'ionisation de l'atome d'hydrogène, c'est-à-dire l'énergie minimale à fournir pour que l'électron échappe à l'attraction coulombienne du proton?

III Pression de radiation

Figure 2 - Onde électromagnétique en incidence normale sur un conducteur parfait.
On considère la situation de la figure 2 où le demi-espace est le vide et le demi-espace est un conducteur parfait. Une onde incidente, identique à celle décrite dans les questions Q4 à Q6, est réfléchie sur la surface du conducteur. On notera respectivement et le vecteur d'onde, le champ électrique et le champ magnétique de cette onde incidente en un point M à l'instant de date . On donne les relations de passage utiles pour le problème. Entre deux milieux 1 et 2 , on a :
où est un vecteur unitaire orthogonal à l'interface, dirigé du milieu 1 vers le milieu 2 , où les champs et (respectivement et ) sont les champs totaux dans le milieu 1 (respectivement dans le milieu 2 ) au voisinage de l'interface et où est le vecteur densité de courant de surface. On rappelle que les champs électrique et magnétique sont nuls dans un conducteur parfait.
Q21. Déterminer l'expression du champ électrique réfléchi en un point M à l'instant de date . On supposera que l'onde électrique réfléchie conserve la même polarisation que l'onde incidente.
Q22. Déterminer l'expression du champ magnétique réfléchi en un point M à l'instant de date .
Q23. Que vaut le champ magnétique total en (dans le vide au voisinage du conducteur) ? En déduire l'expression du vecteur densité de courant de surface sur la surface du conducteur, à la date .
On admet que . En outre, en présence de courants surfaciques et d'un champ magnétique, la densité surfacique de la force de Laplace s'écrit .
Q24. Exprimer la force de Laplace totale s'exerçant sur l'aire de la surface du conducteur en fonction de et de .
Q25. Calculer la valeur moyenne de cette force sur une période temporelle de l'onde. En déduire que l'on peut lui associer une pression , dite pression de radiation, dont l'expression est .
On appelle intensité du champ électromagnétique la norme de la valeur moyenne du vecteur de Poynting. On rappelle qu'en vertu de la relation démontrée dans la question , on a .
Q26. Calculer numériquement la pression de radiation pour la lumière venant du soleil ( ) et pour celle d'un laser de haute intensité ( ).
On veut désormais retrouver l'expression de la pression de radiation en décrivant la lumière de manière corpusculaire, en la modélisant par un ensemble de photons se déplaçant dans un faisceau cylindrique d'axe et de section . On prendra une longueur d'onde de 600 nm et on appelle l'énergie d'un seul photon.
Q27. On note la densité volumique de photons dans le faisceau (on se place dans le cadre d'un modèle simple où cette densité est uniforme). Exprimer en fonction de et de puis calculer sa valeur numérique dans le cas du laser d'intensité .
Q28. Exprimer la quantité de mouvement d'un photon en fonction de son énergie .
Q29. Déterminer l'expression vectorielle de la variation de la quantité de mouvement d'un photon lors d'un rebond sur la surface métallique en fonction de et de . On fait l'hypothèse d'un rebond élastique, c'est-à-dire sans perte d'énergie cinétique.
Q30. Exprimer la variation de quantité de mouvement de l'ensemble des photons qui rebondissent sur la surface métallique d'aire pendant une durée infinitésimale en fonction de et de .
Q31. En déduire la force exercée par les photons sur l'aire pendant une durée et retrouver l'expression de la pression de radiation.

IV Notion de force pondéromotrice

Le principe de la force pondéromotrice est qu'un électron oscillant dans un champ électrique harmonique uniforme subit en moyenne, sur une période, une force électrique résultante nulle. En revanche, avec un champ non uniforme, la force moyenne résultante n'est pas nulle. C'est ce qu'on appelle la force pondéromotrice. Celle-ci a de nombreuses applications, comme le piégeage ou l'accélération de particules chargées.
On considère un électron libre placé dans un champ électrique oscillant et on s'intéresse à son mouvement. On ne prend en compte que la seule composante électrique de la force de Lorentz. Pour simplifier, on considère un modèle à une dimension : , le mouvement de l'électron étant lui aussi selon l'axe ( ). Tout d'abord, on considère constant.
Q32. Obtenir une valeur numérique limite de permettant de négliger le poids de l'électron par rapport à la force de Lorentz électrique. On fera intervenir l'accélération de pesanteur .
Q33. Vérifier que la force moyenne sur une période exercée par le champ électrique sur l'électron est nulle.
En régime sinusoïdal forcé établi, la vitesse de l'électron à la date est de la forme .
Q34. Exprimer en fonction de et de . Préciser la valeur du déphasage entre la vitesse et le champ électrique.
On note le vecteur déplacement de l'électron.
Q35. Exprimer en fonction de et de . Préciser la valeur du déphasage entre la position et le champ électrique.
On considère désormais un champ non uniforme en adoptant un modèle affine simple : , où et sont deux constantes positives.
Q36. Quelle est l'unité de ? Dans quel sens est orienté grad ? Donner son expression en fonction de et de , en supposant que .
On admet que, à l'échelle d'une période, le mouvement de l'électron autour de reste le même que celui décrit dans la question Q35.
Q37. Représenter le champ électrique et la force subie par l'électron lorsque et lorsque , en utilisant le fait que la position et le champ électrique sont en phase. Dans quel sens est la résultante de ces deux forces? Que peut-on en déduire quant au sens de la force pondéromotrice?
Q38. Calculer la force pondéromotrice subie par l'électron, définie comme la force moyenne sur une période exercée par le champ électrique sur l'électron. On l'exprimera en fonction de et de .
On trouve généralement comme expression de la force pondéromotrice :
Q39. Vérifier, sur la situation simple de variation linéaire de l'amplitude du champ décrite ci-dessus et avec le résultat de la question Q36, que l'on retrouve bien le résultat de la question précédente.
On trouve sur une page Wikipedia à propos de l'accélération plasma, la phrase suivante : «The Texas Petawatt laser facility at the University of Texas at Austin accelerated electrons to 2 GeV over about ». Sa longueur d'onde est .
Q40. Avec un modèle simple d'énergie cinétique initiale nulle et de force constante, évaluer la valeur de la force pondéromotrice nécessaire pour obtenir cette accélération.
Q41. On considère que la puissance du laser est répartie sur un faisceau de diamètre de . Estimer le champ moyen de ce laser et en déduire la valeur de requise pour produire la force calculée à la question précédente. On pourra utiliser la relation démontrée dans la question Q9.

PROBLÈME 2

Étude cinétique et thermodynamique d'une réaction d'isomérisation.

On dit que deux espèces chimiques, notées et , sont isomères lorsqu'elles ont la même composition atomique mais des organisations spatiales différentes. Elles participent à une transformation chimique, dite réaction d'isomérisation, modélisée en solution aqueuse par la réaction d'équation :
On note la concentration initiale en dans la solution. À la date , on note , avec .
On s'intéresse d'abord à la cinétique du sens direct, soit . On suppose que la réaction est d'ordre un. On note la constante de vitesse et la vitesse volumique de réaction dans le sens direct.
Q42. Exprimer en fonction de et de .
La réaction dans le sens indirect, soit , est également d'ordre un. On note la constante de vitesse et la vitesse volumique de réaction dans le sens indirect.
Q43. Exprimer en fonction de et de .
On s'intéresse à la cinétique simultanée des sens direct et indirect.
Q44. Exprimer la vitesse de disparition globale de l'espèce , c'est-à-dire , en fonction des vitesses et . En déduire que vérifie une équation différentielle du premier ordre par rapport au temps que l'on exprimera en fonction de et de .
La solution de cette équation différentielle s'écrit, pour .
Q45. Exprimer en fonction de et de .
On cherche à suivre expérimentalement la cinétique simultanée des sens direct et indirect par mesure de l'absorbance de la solution à différentes dates . À une longueur d'onde donnée, chaque isomère absorbe différemment la lumière. Aussi a-t-on :
où et sont les coefficients d'absorptivité molaire respectifs de et de pour la longueur d'onde choisie et où est la largèur de la cuve utilisée pour mesurer l'absorbance. On réalise l'expérience à la température .
Q46. Citer le nom de l'appareil permettant de mesurer l'absorbance d'une solution. Expliciter la manière avec laquelle on procède pour choisir la longueur d'onde de travail optimale. Définir l'opération dite de «réglage du blanc ». On se limitera à un paragraphe de cinq lignes maximum.
Date de la mesure (min) 0 1 3 5 10 Durée «très longue »
Incertitude-type sur la date (s) 2 2 2 2
Absorbance de la solution 0,186 0,234 0,263 0,294
Incertitude-type sur l'absorbance
Table 1 - Mesures et incertitudes-type de l'absorbance et des dates au cours de l'expérience décrite dans le texte.
Les mesures effectuées sont résumées dans le tableau 1. Pour exploiter les mesures, on cherche à réaliser une régression linéaire en représentant les variations, en fonction de , d'une grandeur s'exprimant en fonction de et . Les coefficients de la régression linéaire sont obtenus par une simulation de Monte Carlo, en prenant en compte les incertitudes-types sur les dates et l'absorbance . La simulation est réalisée à l'aide d'un script Python reproduit dans le script ci-dessous. On précise que les fonctions mean et std de la bibliothèque numpy prennent en argument un ndarray (un tableau de valeurs) et renvoient respectivement la moyenne et l'écart-type de ce tableau. En outre, la fonction uniform du module random de numpy permet de tirer un nombre aléatoire entre les deux valeurs données en argument avec une probabilité uniforme sur l'intervalle.
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from numpy.random import uniform
from numpy import polyfit
# Dates des mesures et incertitudes-type
t = [1,3,5,10] # minutes
u_t = [2/60,2/60,2/60,2/60] # minutes
# Absorbances mesurées et incertitudes-type
A = [0.186,0.234,0.263,0.294]
u_A = [2e-3,2e-3,1e-3,1e-3]
# Absorbance à t=0 et au bout d'une durée << très grande >>
A0 = 0.150
Ainfty = 0.306
N=1000 # nombre de simulations
#Initialisation du stockage des coefficients de la régression linéaire
a_MC=[]
b_MC=[]
for j in range(N):
    #Initialisation du stockage des coefficients de régression linéaire
    t_MC_k = []
    A_MC_k = []

for i in range(len(t)):
    # Simulation des mesures par tirage aléatoire dans l'intervalle d'incertitude
    # sqrt est la fonction racine carrée
    t_MC_k.append(t[i]+uniform(-u_t[i]*np.sqrt(3),u_t[i]*np.sqrt(3)))
    A_MC_k.append(A[i]+uniform(-u_A[i]*np.sqrt(3),u_A[i]*np.sqrt(3)))
# Permet de réaliser des opérations sur tous les éléments d'une «liste >> (conversion list vers
        ndarray)
A_MC_k=np.array(A_MC_k)
# Régression linéaire pour la simulation numérotée k
# Attention : log est le logarithme népérien ln
# La fonction polyfit renvoie un tuple de deux éléments obtenus par régression linéaire
# Le premier est le coefficient directeur, le second l'ordonnée à l'origine
reg_lin_MC = polyfit(t_MC_k,np.log(1-((A_MC_k-A0)/(Ainfty-A0))),1)
# On conserve les deux coefficients obtenus apr régression linéaire
a_MC.append(reg_lin_MC[0])
b_MC.append(reg_lin_MC[1])
a = np.mean(a_MC)
b = np.mean(b_MC)
# Aucune explication sur le paramètre ddof n'est attendue et il peut être ignoré
u_a = np.std(a_MC,ddof=1)
u_b = np.std(b_MC,ddof=1)
print(a,u_a,b,u_b)
Q47. En exploitant la ligne 42 du script, donner l'expression de .
On admet que la relation attendue entre et est de la forme .
Q48. Expliquer le principe de la méthode de Monte Carlo utilisée pour déterminer les valeurs des coefficients de la régression linéaire ainsi que leur incertitude. On s'appuiera, en particulier, sur les lignes , 49,52 et 53 . On se limitera à un paragraphe de huit lignes maximum.
Lorsque l'on interprète le script, la ligne s'affiche à l'écran.
Q49. Justifier l'accord entre l'expérience et la relation et donner la valeur calculée de .
On s'intéresse désormais à l'équilibre chimique associé à la réaction d'isomérisation, modélisée par la réaction d'équation . L'équilibre est atteint au bout d'une très grande durée de réaction.
Q50. Citer la relation à l'équilibre chimique entre les concentrations de , de , ta constante thermodynamique .
À , l'enthalpie libre standard de réaction de la réaction d'isomérisation vaut . .
Q51. Calculer la valeur de à la température de l'expérience ( ). On donne . .
L'équilibre chimique est un équilibre dynamique : les réactions dans les sens direct et indirect se déroulent simultanément et se compensent.
Q52. Exprimer en fonction de et de . Calculer numériquement et à la température de l'expérience.
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