N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées.

Le sujet est composé de trois parties indépendantes.

Les données utiles à la résolution du sujet figurent en fin de chaque partie.
Tout résultat donné dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s'il n'a pas été démontré par le ou la candidat(e).
Les explications des phénomènes étudiés interviennent dans l'évaluation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques.
Les résultats numériques exprimés sans unité ou avec une unité fausse ne sont pas comptabilisés.

Conception d'un prototype de machine à pancakes

Traditionnellement servis au petit-déjeuner dans les pays d'Amérique du Nord (Canada, ÉtatsUnis), accompagnés par exemple de sirop d'érable, les pancakes sont des crêpes plus petites ( 5 à 10 cm de diamètre) et plus épaisses que les crêpes classiques. Ils sont aujourd'hui appréciés et dégustés dans le monde entier. Ce sujet étudie certains aspects de la conception d'un prototype de machine à poêles et distributeur de pâte à pancakes, transportable et peu encombrant, permettant de cuire à la maison des pancakes authentiques de manière ergonomique et automatisée.

Figure 1 - À gauche : assiette de pancakes nappés de sirop d'érable. À droite : perspective de design de la machine à pancakes, en vue de sa commercialisation

Partie I - Chauffage des poêles par induction

Le système est constitué de deux poêles. Lorsque la première poêle a cuit une face du pancake, un système de roue-vis sans fin programmé par un actionneur (non détaillé dans ce sujet) met en rotation cette poêle et projette ainsi le pancake dans la seconde poêle, chargée de cuire l'autre face. Plusieurs options sont envisageables pour chauffer les poêles : gaz, résistance chauffante, induction (voir tableau 1). Le chauffage par induction permet d'obtenir une bonne saisie de la pâte à pancakes, tout en satisfaisant des exigences de sécurité et en minimisant l'encombrement.

Système / Contrainte	Sécurité	Encombrement	Saisie de la pâte
Gaz	-	-	+
Résistance chauffante	+	-	-
Induction	+	+	+

Tableau 1 - Comparaison des différents modes de chauffage envisagés

Après avoir choisi l'alimentation et l'onduleur, l'objectif de cette partie est de dimensionner le nombre de spires de la bobine permettant d'obtenir une température de poêle de

. Cette condition est nécessaire à l'obtention d'un pancake bien cuit, doré et savoureux.

I. 1 - Onduleur RLC série

Afin de concevoir le module à induction, on choisit une alimentation électrique pouvant fournir 3 A en continu (régime permanent stationnaire) pour une tension maximale de 30 V . De telles puissances nécessitent de dimensionner en conséquence l'onduleur et les câbles, notamment afin d'éviter la détérioration... voire la "cuisson" de composants électroniques !

On étudie un onduleur de tension autonome de période

, à commande symétrique, dont le montage est représenté sur la figure 2 . Les quatre interrupteurs bidirectionnels

sont supposés idéaux et commandés électriquement de telle façon que :

pour , avec : les interrupteurs et sont fermés, les interrupteurs et sont ouverts;
pour : les interrupteurs et sont ouverts, les interrupteurs et sont fermés.
Le générateur est une source de tension idéale de force électromotrice constante. La charge est un circuit RLC série, l'inductance étant celle de la bobine destinée au chauffage.

Figure 2 - Onduleur à circuit RLC série : schéma du montage

Q1. Rappeler brièvement l'objectif d'un onduleur. Préciser si la charge RLC série est une source de courant ou de tension en justifiant la continuité d'une grandeur électrique dans ce circuit.
Q2. Tracer soigneusement la courbe

sur deux périodes.
Q3. Écrire l'équation différentielle liant à tout instant

, la tension

et l'intensité du courant

et la mettre sous la forme canonique:

On explicitera les expressions de

(facteur de qualité) et de

(pulsation propre) en fonction de

Figure 3 - Association RLC série : analyse fréquentielle

Considérons une tension

sinusoïdale de pulsation

. On note

les grandeurs complexes respectivement associées aux quantités

rappelées sur la figure 3 . En notant j le nombre complexe tel que

, on définit la fonction de transfert :

Q4. Préciser la dimension de

, puis l'exprimer en fonction de

et de

. Déterminer le comportement de son module

pour les grandes et les petites pulsations.
Q5. Déterminer littéralement puis numériquement la valeur maximale de

.
Q6. Caractériser le filtrage réalisé (nature, ordre). Justifier l'intérêt d'ajuster la période du signal de commande afin d'avoir

. Calculer numériquement la fréquence

associée.

I. 2 - Puissance induite dans la poêle

Le circuit électrique précédent permet de faire parcourir un courant sinusoïdal d'intensité

dans une bobine plate enroulée en spirale, schématisée sur la figure 4. Le champ magnétique créé par cette distribution de courant est complexe; on se contente de comprendre le principe du chauffage par induction avec un circuit plus simple : une unique spire circulaire de centre

et de rayon

, parcourue par une intensité

. Dans la suite, on travaille dans un système de coordonnées cylindriques (

), muni de la base orthonormée directe (

Figure 4 - Bobine : schéma et modélisation

On pose dans le plan de cette spire une poêle, assimilée à un cylindre de rayon

et d'épaisseur

, de perméabilité magnétique relative

et de conductivité électrique

. Dans un souci de simplification, on suppose que le champ magnétique

créé par la spire dans la poêle est uniforme. En notant

la perméabilité magnétique du vide, on donne :

Q7. Rappeler l'équation locale de Maxwell-Faraday. On donne le théorème de Stokes :

où

désigne une surface s'appuyant sur le contour fermé

.
Obtenir une formulation globale de l'équation locale de Maxwell-Faraday.

On cherche le champ électrique induit au sein de la poêle sous la forme

.
Q8. Déterminer

en fonction de

et de

.
Q9. Ce champ électrique induit est responsable de courants de Foucault répartis dans tout le volume du conducteur. Exprimer leur densité de courant volumique

en tout point de la poêle, puis la puissance volumique moyenne

dissipée par effet Joule en fonction des données.
Q10. En intégrant cette puissance volumique moyenne sur le volume de la poêle, montrer que la puissance moyenne totale induite s'écrit :

Q11. On dispose de poêles en aluminium et en fonte. Bien que l'aluminium soit environ 40 fois plus conducteur électriquement que la fonte, on choisira la poêle en fonte : pourquoi?
En réalité, le champ électromagnétique variable ne pénètre pas la poêle sur toute son épaisseur, mais uniquement sur une taille typique :

Q12. Comment se nomme cet effet ? Calculer numériquement

en prenant pour la fréquence

la valeur obtenue à la question Q6. En comparant cette taille à l'épaisseur typique d'une poêle, cet effet vous semble-t-il important à prendre en compte pour calculer la puissance induite?

1.3 - Influence du nombre de spires sur la température de la poêle

Après avoir mis en œuvre le montage précédent, on relève à l'aide d'une caméra thermique le profil de température dans la poêle en fonte. Notons

la conductivité thermique,

la masse volumique et

la capacité thermique massique de la fonte. Au bout de quelques minutes, le profil de température de la poêle atteint un régime stationnaire. On propose d'interpréter cette observation en se plaçant dans une géométrie simplifiée, cartésienne et unidimensionnelle : on cherche un champ des températures de la forme

. On rappelle la loi de Fourier exprimant le vecteur densité volumique de courant thermique

en fonction de la température

Q13. En tenant compte de la puissance volumique

due au phénomène d'induction, détailler les étapes permettant d'établir l'équation satisfaite par le champ des températures:

Q14. En déduire l'expression d'un temps typique

de diffusion thermique en fonction de

et d'une longueur caractéristique

. Calculer numériquement

en prenant pour

une dimension de la poêle qui vous paraît pertinente. Commenter le résultat obtenu.

L'expérience montre que le profil stationnaire de température dans la poêle est quasiment uniforme ; on note

la valeur de la température. On suit expérimentalement la variation de

en fonction du nombre de spires

de la bobine, les autres paramètres étant fixés (voir figure 5). L'évolution

est assez bien décrite par une loi affine.

Figure 5 - Évolution de la température de la poêle en fonction du nombre de spires de la bobine

Q15. En supposant que l'on puisse extrapoler ce comportement affine, déterminer le nombre

de spires de la bobine nécessaire à l'obtention d'une température de

Données pour la partie I

Force électromotrice :

Inductance propre:

Capacité :

Résistance :

Perméabilité magnétique du vide :

Propriétés physiques de la fonte :

Perméabilité magnétique relative :
Conductivité électrique :
Conductivité thermique :
Masse volumique :
Capacité thermique massique :

Partie II - Déversoir de pâte

Le but du déversoir est de faire couler dans la poêle un volume de pâte à pancakes constant de manière automatisée. Trois options sont possibles pour sa réalisation : par électroaimant, par motorisation, par motorisation avec réservoir. La dernière solution sera retenue; elle permet d'ailleurs de prévoir un déversoir de sirop d'érable fonctionnant sur le même actionneur (voir figure 6). On cherche à déterminer le temps de coulée de la pâte en fonction des différents paramètres du réservoir et du fluide afin de connaître la durée pendant laquelle l'actionneur doit laisser s'écouler la pâte.

Figure 6 - Déversoir par motorisation avec réservoir : principe de fonctionnement

II. 1 - Modèle parfait

On modélise le réservoir par un cylindre de rayon

, rempli de pâte sur une hauteur

à l'instant initial, baignant dans l'air atmosphérique à pression

. En ouvrant le réservoir en son fond à l'instant

, la pâte s'écoule à l'air libre à travers une section cylindrique de rayon

désigne la hauteur de pâte encore présente dans le réservoir à l'instant

. On note

la masse volumique de la pâte et

l'accélération de la pesanteur.

Figure 7 - Vidange du réservoir : notations utilisées

Dans une première approche, on néglige toute dissipation d'énergie au sein de l'écoulement de pâte. On propose alors d'utiliser la relation de Bernoulli entre les points 1 et 2 de la ligne de courant représentée sur la figure 7.

Q16. Rappeler la relation de Bernoulli, ainsi que ses conditions d'application. On supposera ces conditions remplies dans le cadre de ce premier modèle.
Q17. L'écoulement étant supposé incompressible, trouver une relation liant les vitesses

de la pâte à l'instant

au niveau des sections de rayons respectifs

Q18. Déterminer une expression de

en fonction de

et de

uniquement.
Q19. En identifiant

, déduire de la question précédente une équation différentielle régissant l'évolution de

.
Q20. Résoudre cette équation différentielle par séparation des variables, puis montrer que la durée totale de vidange du réservoir s'exprime par :

Q21. Calculer numériquement

. On trouve un temps de vidange expérimental

. Qu'en pensez-vous?

II. 2 - Modèle visqueux

On propose un deuxième modèle tenant compte des effets visqueux. On note

la viscosité dynamique de la pâte. Pour simplifier la modélisation, on assimile le réservoir à un cylindre de rayon

, ce qui revient à négliger l'effet du rétrécissement de section de

. La dissipation d'énergie au sein de l'écoulement de pâte s'accompagne d'un terme de perte de charge régulière le long de la hauteur de pâte

à l'instant

, homogène à une pression et donné par la loi de Darcy-Weisbach :

Dans cette expression,

représente la vitesse débitante (ou vitesse moyenne) de l'écoulement dans le réservoir,

le diamètre du réservoir et

le nombre de Reynolds. On a

.
Q22. Évaluer l'ordre de grandeur de

en utilisant le temps

donné à la question Q21. Rappeler la définition du nombre de Reynolds

en fonction de

et de

, puis estimer sa valeur pour l'écoulement étudié. L'expression de

proposée étant valable dans la limite

, vérifier la validité de cette formule.
Q23. Appliquer la relation de Bernoulli généralisée tenant compte de cette perte de charge entre les points 1 et 2 (voir figure 7) et obtenir une expression de

en fonction de

et de

. On rappelle que l'on néglige l'effet du rétrécissement.
Q24. Déterminer la loi d'évolution

. En déduire la durée totale de vidange du réservoir

.
Q25. Calculer numériquement

et comparer à la valeur expérimentale de la question Q21. Comment pourrait-on encore affiner la modélisation?

Données pour la partie II

Accélération de la pesanteur :

Dimensions du réservoir :

Hauteur initiale de pâte :

Propriétés physiques de la pâte :

Masse volumique :
Viscosité dynamique :

Partie III - Autour du sirop d'érable

Le sirop d'érable, produit emblématique du Québec (province du Canada), est un concentré de sève d'érable recueillie en faisant des trous dans l'écorce de l'arbre au printemps.

III. 1 - Manchon de sirop d'érable

Quand on prend du sirop d'érable pour l'étaler sur un pancake, il vaut mieux tourner la cuillère ou le couteau pour en prendre le plus possible et éviter d'en faire tomber. Afin de modéliser la situation, on considère un cylindre de rayon

et de longueur

tournant autour d'un axe horizontal à la vitesse angulaire

et entouré d'une couche d'épaisseur

de sirop d'érable, assimilable à un fluide incompressible de masse volumique

et de viscosité dynamique

, plongé dans le champ de pesanteur

(voir figure 8). On définit l'épaisseur moyenne du film liquide par :

Figure 8 - Cylindre en rotation enduit de sirop d'érable (vue de côté) : notations utilisées

On cherche à étudier le régime stationnaire où l'épaisseur

du film de sirop ne dépend plus que de l'angle

. On suppose l'épaisseur du film

faible devant le rayon

du cylindre et les déformations du film faibles devant

(dans un souci de lisibilité de la figure, les proportions ne sont pas respectées). Les effets de viscosité de l'air ambiant sont négligés et la pression est supposée uniforme au sein du film. L'étude étant menée en coordonnées cylindriques, on propose d'écrire le champ des vitesses dans le film sous la forme

. On admet que l'application de la

loi de Newton à une particule de fluide au sein du film conduit à l'équation :

Q26. En raisonnant sur les ordres de grandeur, déterminer une condition sur

vis-à-vis d'une quantité dépendant de

et de

, permettant de négliger

devant

. Cette condition est-elle vérifiée ici?
Sous cette condition, deux intégrations successives de cette relation permettent d'aboutir au champ des vitesses suivant :

Q27. Vérifier que

satisfait à la condition aux limites imposée en

. Reproduire le schéma de la figure 8 en y traçant le champ des vitesses en

.
Q28. Justifier que le débit volumique par unité de longueur de cylindre s'écrit :

puis calculer cette intégrale en fonction de

et de

.
Q29. En régime stationnaire, on admet que le débit ne dépend plus de

. En déduire un lien entre l'épaisseur

et l'angle

sous la forme

, avec :

La figure 9 illustre les allures de la fonction

selon le signe de

. Pour

, deux comportements sont possibles selon que

s'annule ou pas dans le domaine

Figure 9 - Représentations graphiques de la fonction

Q30. En étudiant les variations de la fonction

pour un angle

fixé, montrer qu'une solution à l'équation

existe à condition d'avoir

, avec

une quantité à exprimer en fonction de

et de

. Pour quelle condition sur

existe-t-il alors une solution pour tout angle

?
Q31. En déduire littéralement la masse maximale de sirop d'érable que l'on peut ainsi maintenir autour du cylindre, par unité de longueur, en fonction de

et de

Données pour la sous-partie III. 1

Propriétés physiques du sirop d'érable :

Masse volumique :
Viscosité dynamique :

Épaisseur moyenne du film liquide :

Vitesse angulaire de rotation :

III. 2 - Mesure de la proportion de saccharose dans le sirop d'érable

Document - La composition du sirop d'érable

Le principal sucre qui compose le sirop d'érable est le saccharose. Dans l'eau avec ou sans l'intervention d'enzyme, l'inversion du saccharose donne lieu à la formation d'un mélange de glucose et de fructose, le sucre inverti :

Le sucre inverti étant plus soluble que le saccharose, la teneur en inverti d'un sirop influence ses propriétés de cristallisation. Plus un sirop est inverti, moins il aura tendance à cristalliser. Ainsi pour préparer des produits dérivés tels que la tire d'érable ou le caramel à l'érable qui doivent demeurer exempts de cristallisation, on utilise un sirop inverti. Par contre, pour fabriquer des produits à cristallisation fine, comme le beurre d'érable ou le sucre mou, on utilise des sirops non invertis.

Source : Technique pour le dosage du sucre inverti dans le sirop d'érable, J. Dumont (1998)

Q32. Calculer l'enthalpie standard

et l'entropie standard

de la réaction d'inversion du saccharose à 298 K .
Q33. En déduire la valeur de sa constante d'équilibre

à 298 K . Qu'en conclure?
On prépare une solution de saccharose de concentration

. À

, on suit l'évolution temporelle de la concentration en saccharose

(voir tableau 2).

	0	100	250	500	750	1000
	0,400	0,346	0,280	0,196	0,140	0,100

Tableau 2 - Cinétique d'inversion du saccharose : résultats expérimentaux

Q34. Montrer que la réaction est d'ordre 1 par rapport au saccharose et déterminer la valeur de sa constante de vitesse

dans les conditions de l'expérience.
Q35. À

, on mesure une constante de vitesse

. Exprimer littéralement puis numériquement l'énergie d'activation

de cette réaction.
Pour déterminer la proportion de saccharose dans le sirop d'érable, il est possible d'estimer la masse molaire moyenne des sucres présents, définie comme le rapport de la masse totale de sucre sur la quantité de matière totale de sucre, en mesurant l'abaissement cryoscopique d'une solution diluée de sirop d'érable. On considère une solution aqueuse formée d'une masse

d'eau liquide de masse molaire

et d'une masse

de sirop d'érable supposée constituée exclusivement d'un mélange de sucres de masse molaire moyenne

. On suppose que :

la quantité de matière des sucres est négligeable devant celle de l'eau en phase liquide;
la phase liquide est idéale;
la phase solide est constituée d'eau pure.

On note respectivement

les potentiels chimiques de l'eau pure en phase liquide et en phase solide, à une température

donnée. À pression fixée, on donne l'expression du potentiel chimique d'un constituant

en phase condensée en fonction de son activité

Q36. Écrire, en la justifiant brièvement, une relation entre

.
En présence de sucre, la température de fusion du liquide est modifiée et devient

.
Q37. Exprimer la fraction molaire

de l'eau dans la phase liquide, en fonction de

. Écrire ensuite une relation entre

.
La relation de Gibbs-Duhem donne la variation élémentaire du potentiel chimique de l'eau pure sous l'effet d'une variation de température

, à pression fixée :

où

désignent respectivement les entropies molaires de l'eau pure en phase liquide et en phase solide, supposées indépendantes de la température.

Q38. Déduire de ces relations différentielles et des questions précédentes l'équation:

où

désigne l'enthalpie molaire de fusion de l'eau pure.
Q39. On note

la fraction molaire des sucres dans la phase liquide. En supposant la température

peu éloignée de

, ainsi que

, démontrer que :

avec

la constante cryoscopique, à exprimer en fonction de

et de

.
On prépare une solution à

en masse de sirop d'érable. La température de solidification de l'eau s'abaisse de

Q40. En déduire la valeur numérique de

, puis celle de

.
Q41. Le sirop d'érable est composé d'un mélange de saccharose, glucose et fructose obtenu à partir de saccharose pur. Calculer la proportion molaire en saccharose du sirop d'érable, puis la proportion massique.

Données pour la sous-partie III. 2

Constante des gaz parfaits :

Changement d'état solide-liquide de l'eau pure à

bar

Température :
Enthalpie de fusion molaire :

Masses molaires :

	eau	saccharose	glucose	fructose
	18	342	180	180

Données thermodynamiques à 298 K :

		(glucose)	(fructose)
-286	-2226	-1273	-1266
70	360	212	223