ENAC Mathématiques Sup 2004

Pour , on définit la fonction par :


où est un réel fixé et ln désigne la fonction logarithme népérien. On notera la courbe
représentative de dans un repère orthonormé. désignera un entier naturel dans cette partie.
Question 1 : Le développement limité de la fonction à l'ordre 3 au voisinage de 0 s'écrit, désignant une fonction telle que
a)
b)
c)
d)

Question 2 : Le développement limité de la fonction à l'ordre 2 au voisinage de 0 s'écrit, désignant toujours une fonction telle que
а)
b)
c)
d)

Question 3 : Le développement limité à l'ordre 2 de la fonction au voisinage de 1 est alors, étant une fonction vérifiant
a)
b)
c)
d)

Question 4 : Pour tout entier strictement positif, on a
a)
b) et le développement limité à l'ordre 2 de la fonction au voisinage de 1 s'écrit, désignant une fonction telle que
c)
d)

Question 5 : Pour , le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 1 de la fonction est alors, avec
a)
b)
c)
d)

Question 6 : Pour que, pour tout , la fonction soit continue sur il faut poser :
a)
b)
c)
d)

On suppose dorénavant que prend une valeur rendant continue sur , pour entier naturel fixé.
Question 7 : Pour tout entier , la fonction
a) n'est pas dérivable en 1
b) est dérivable en 1 car toute fonction continue en un point est dérivable en
c) est dérivable en 1 puisque admet un développement limité d'ordre 1 en 1
d) est dérivable en 1 et a pour dérivée , car toute fonction admettant un développement limité d'ordre en un point a une dérivée d'ordre en .
Question 8 : L'équation de la tangente à au point de coordonnées ( ) s'écrit, pour tout , avec pour tout
a)
b)
c)
d)

Question 9 : Pour tout , la fonction est au voisinage de 1 du signe de où est la fonction polynôme définie sur par
a)
b)
c)
d)

Question 10 : La fonction polynôme
a) n'admet pas de racines réelles
b) admet nécessairement des racines réelles puisqu'elle est à coefficients réels
c) admet 2 racines réelles positives et
d) admet 2 racines réelles négatives et

Question 11 : Au voisinage du point d'abscisse 1, la courbe reste :
a) pour tout , au dessus de sa tangente car
b) pour tout , au dessous de sa tangente car
c) pour tout entier au dessus de sa tangente et au dessous pour
d) pour tout au dessus de sa tangente et au-dessous pour

Question 12 : On a pour tout :
a)
b) et pour tout
c)
d)

Question 13 : La fonction :
a) est prolongeable par continuité en 0 par 0 pour tout car
b) est prolongeable par continuité en 0 uniquement pour entier strictement positif
c) n'est prolongeable par continuité en 0 pour aucune valeur de l'entier
d) est prolongeable par continuité en 0 uniquement pour

Question 14 : La fonction , lorsqu'elle est définie, a pour limiute à droite en 0 :
a)
b)
et la courbe admet
c) une demi-tangente horizontale en
d) une demi-tangente horizontale en pour et une demi-tangente verticale au point d'abscisse 0 pour
On considère les fonctions et définies sur par :

Question 15 : La fonction
a) a pour dérivée la fonction
b) a pour dérivée la fonction
c) atteint son maximum au point
d) atteint son minimum au point

Question 16 : La fonction
a) est décroissante sur mais n'est pas strictement décroissante
b) est strictement décroissante sur et
c) est strictement croissante sur
et la courbe admet
d) les droites et pour asymptotes car et

Question 17 : On a :
a)
b)
c)
d)

Question 18 : La fonction prolongée à , si cela est possible,
a) est décroissante sur et croissante sur
b) est positive sur car croissante sur et nulle en 0 et la droite est
c) direction asymptotique de la courbe
d) asymptote à la courbe

est rapporté à la base canonique avec et ( ). On considère l'endomorphisme de qui à tout triplet associe le triplet où sont des réels distincts 2 à 2 .

Question 19 : La matrice de par rapport à la base s'écrit :
а)
b)
c)
d)

Question 20 : Pour tout réel la matrice a pour déterminant
a)
b)
c)
d)

Question 21 : La matrice
a) est égale à sa transposée pour tout
b) est inversible pour tout
c) n'est pas inversible car son déterminant est nul
d) est inversible si et seulement si et sont non nuls

Question 22 : Le polynôme , pour
a) est de degré 2
b) admet 0 pour racine car
c) est égal à
d) est égal à

Soit une suite bornée de nombres réels.
On définit la suite par

On désigne par (resp. ) la borne inférieure (resp. supérieure) de l'ensemble .
Question 23 : La suite de terme général , est
a) convergente car décroissante et minorée
b) croissante et majorée mais divergente car elle n'est pas de signe constant
c) croissante, minorée et convergente
d) convergente car toute suite bornée converge

Question 24 : La suite est
a) décroissante et minorée car elle a les mêmes propriétés que la suite
b) croissante et majorée donc convergente
c) divergente car la série de terme général diverge
d) minorée et convergente

Question 25 : Les limites des suites et vérifient, si elles existent
a)
b)
et celles des suites et
c)
d)

Question 26 : On considère dans cette question le cas particulier où la suite est définie par : . On a alors
a) si est impair et si est pair
b) si est impair et si est pair
c)
d)

Question 27 : On peut avoir, pour certaines suites bornées
a) convergente et divergente
b) divergente et convergente et pour tout suite bornée on a l'équivalence
c) convergente et convergentes
d) convergente et convergentes et ont même limite

Soit un nombre réel non nul, un élément de l'intervalle et une suite de nombres réels strictement positifs convergeant vers 0 et vérifiant où
Question 28 : On a nécessairement
a)
b)
et la suite définie par
c) est convergente et a pour limite
d) est divergente car et