ENAC Mathématiques Sup 2004Sujet et corrigé

Pour n ∈ ℕ, on définit la fonction f_n par :
f_n : ℝ_+^∗ → ℝ
x ↦ f_n(x) = (x^n lnx)/(x^2 − 1), si, x ≠ 1; k_n, si, x = 1
où k_n est un réel fixé et ln désigne la fonction logarithme népérien. On notera C_n la courbe
représentative de f_n dans un repère orthonormé. n désignera un entier naturel dans cette partie.
Question 1 : Le développement limité de la fonction ln(1 + x) à l'ordre 3 au voisinage de 0 s'écrit, ε désignant une fonction telle que lim_(x → 0)ε(x) = 0
a) 1 + x − (x^2)/2 + (x^3)/3 + x^3 ε(x)
b) x + (x^2)/(2_2) + (x^3)/(3_3) + x^3 ε(x)
c) x − (x^2)/2 + (x^3)/(3!) + x^3 ε(x)
d) x − (x^2)/2 + (x^3)/3 + x^3 ε(x)

Question 2 : Le développement limité de la fonction 1/(2 + u) à l'ordre 2 au voisinage de 0 s'écrit, ε désignant toujours une fonction telle que lim_(u → 0)ε(u) = 0
а) 1 − u/2 + (u^2)/4 + u^2 ε(u)
b) 1/2 + u/4 + (u^2)/8 + u^2 ε(u)
c) − u/4 + (u^2)/8 + u^2 ε(u)
d) 1/2 − u/4 + u^2 ε(u)

Question 3 : Le développement limité à l'ordre 2 de la fonction f_0 au voisinage de 1 est alors, ε_0 étant une fonction vérifiant lim_(x → 1)ε_0(x) = 0
a) 1 − (x − 1)/2 + 5/(12)(x − 1)^2 + (x − 1)^2 ε_0(x)
b) 1/2 − (x − 1)/2 + 5/(12)(x − 1)^2 + (x − 1)^2 ε_0(x)
c) 1/2 − (2x − 1)/4 + (10x^2 − 9x + 3)/(24) + x^2 ε_0(x)
d) 1/2 − x/2 + 5/(12)x^2 + x^2 ε_0(x)

Question 4 : Pour tout entier n strictement positif, on a
a) f_n(x) = f_0(x) ∀x ∈ ℝ_+^∗
b) f_n(x) = x^n f_0(x) ∀x ∈ ℝ_+^∗ et le développement limité à l'ordre 2 de la fonction x^n au voisinage de 1 s'écrit, ε désignant une fonction telle que lim_(x → 1)ε(x) = 0
c) 1 + nx + (n(n − 1))/2x^2 + x^2 ε(x)
d) 1 + n(x − 1) + (n(n − 1))/2(x − 1)^2 + (x − 1)^2 ε(x)

Question 5 : Pour n ∈ ℕ, le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 1 de la fonction f_n est alors, avec lim_(x → 1)ε_n(x) = 0
a) 1/2 − (n − 1)/2(x − 1) + (3n^2 − 9n + 5)/(12)(x − 1)^2 + (x − 1)^2 ε_n(x)
b) 1 + (n − 1)/2(x − 1) + (3n^2 − 9n + 5)/(12)(x − 1)^2 + (x − 1)^2 ε_n(x)
c) 1/2 + (n − 1)/2(x − 1) + (3n^2 + 9n + 5)/(12)(x − 1)^2 + (x − 1)^2 ε_n(x)
d) 1/2 + (n − 1)/2x + (3n^2 − 9n + 5)/(12)x^2 + x^2 ε_n(x)

Question 6 : Pour que, pour tout n ∈ ℕ, la fonction f_n soit continue sur ℝ_+^∗ il faut poser :
a) k_n = 1
b) k_n = n/2
c) k_n = 1/2
d) k_n = − 1/2

On suppose dorénavant que k_n prend une valeur rendant f_n continue sur ℝ_+^∗, pour n entier naturel fixé.
Question 7 : Pour tout entier n, la fonction f_n
a) n'est pas dérivable en 1
b) est dérivable en 1 car toute fonction continue en un point x_0 est dérivable en x_0
c) est dérivable en 1 puisque f_n admet un développement limité d'ordre 1 en 1
d) est dérivable en 1 et a pour dérivée f_n^′(1) = (n − 1)/2, car toute fonction admettant un développement limité d'ordre n en un point x_0 a une dérivée d'ordre n en x_0, ∀n ∈ ℕ^∗.
Question 8 : L'équation de la tangente à C_n au point de coordonnées ( 1, k_n ) s'écrit, pour tout n ∈ ℕ, y = h_n(x) avec pour tout x ∈ ℝ
a) h_n(x) = − (n − 1)/2(x − 1) + 1/2
b) h_n(x) = (n − 1)/2(x − 1) + 1/2
c) h_n(x) = (n − 1)/2x − n/2 + 1
d) h_n(x) = (n − 1)/2x + 1/2

Question 9 : Pour tout n ∈ ℕ, la fonction f_n − h_n est au voisinage de 1 du signe de Q(n) où Q est la fonction polynôme définie sur ℝ par
a) Q(x) = 3x^2 − 9x + 5
b) Q(x) = 3x^3 + 9x + 5
c) Q(x) = − 3x^2 + 9x − 5
d) Q(x) = 5/(12)

Question 10 : La fonction polynôme Q
a) n'admet pas de racines réelles
b) admet nécessairement des racines réelles puisqu'elle est à coefficients réels
c) admet 2 racines réelles positives x_1 = (9 − √(21))/6 et x_2 = (9 + √(21))/6
d) admet 2 racines réelles négatives x_1 = (− 9 − √(21))/6 et x_2 = (− 9 + √(21))/6

Question 11 : Au voisinage du point d'abscisse 1, la courbe C_n reste :
a) pour tout n ∈ ℕ, au dessus de sa tangente car Q(n) > 0∀n ∈ ℕ
b) pour tout n ∈ ℕ, au dessous de sa tangente car Q(n) < 0∀n ∈ ℕ
c) pour tout entier n ⩾ 2 au dessus de sa tangente et au dessous pour n ⩽ 1
d) pour tout n ∈ ℕ∖{1, 2} au dessus de sa tangente et au-dessous pour n ∈ {1, 2}

Question 12 : On a pour tout x ∈ ℝ_+^∗∖{1} :
a) f_0^′(x) = (x^2 − 1 − 2x^2 lnx)/(x(x^2 − 1)^2)
b) f_0^′(x) = 1/(2x^2) et pour tout n ∈ ℕ
c) f_n^′(x) = x^(n − 2)(nlnx + 1)
d) f_n^′(x) = (x^(n + 1)(1 + (n − 2)lnx) − x^(n − 1)(1 + nlnx))/((x^2 − 1)^2)

Question 13 : La fonction f_n :
a) est prolongeable par continuité en 0 par 0 pour tout n ∈ ℕ car lim_(x → 0^+)x^n lnx = 0
b) est prolongeable par continuité en 0 uniquement pour n entier strictement positif
c) n'est prolongeable par continuité en 0 pour aucune valeur de l'entier n
d) est prolongeable par continuité en 0 uniquement pour n ⩾ 2

Question 14 : La fonction t_n(x) = (f_n(x) − f_n(0))/x, lorsqu'elle est définie, a pour limiute à droite en 0 :
a) lim_(x → 0^+)t_n(x) = 0 ∀n ∈ ℕ
b) lim_(x → 0^+)t_1(x) = + ∞
et la courbe C_n admet
c) une demi-tangente horizontale en (0, 0)∀n ∈ ℕ^∗
d) une demi-tangente horizontale en (0, 0) pour n ⩾ 2 et une demi-tangente verticale au point d'abscisse 0 pour n ∈ {0, 1}
On considère les fonctions φ_0, φ_1 et φ_2 définies sur ℝ_+^∗ par :

Question 15 : La fonction φ_0
a) a pour dérivée la fonction φ_0^′(x) = − 1/x∀x ∈ ℝ_+^∗
b) a pour dérivée la fonction φ_0^′(x) = (2(x^2 − 1))/(x^3)∀x ∈ ℝ_+^∗
c) atteint son maximum au point x = 1
d) atteint son minimum au point x = 1

Question 16 : La fonction f_0
a) est décroissante sur ℝ_+^∗ mais n'est pas strictement décroissante
b) est strictement décroissante sur ℝ_+^∗ carf_0^′(x) = x/((x^2 − 1)^2)φ_0(x) < 0∀x ∈ ℝ_+^∗∖{1} et f_0^′(1) = − 1/2
c) est strictement croissante sur ℝ_+^∗
et la courbe C_0 admet
d) les droites x = 0 et y = 0 pour asymptotes car lim_(x → 0)f_0(x) = 0 et lim_(x → + ∞)f_0(x) = + ∞

Question 17 : On a :
a) φ_1^′(x) = ((x^2 − 1)^2)/(x(x^2 + 1)^2)∀x ∈ ℝ_+^∗
b) lim_(x → + ∞)φ_1(x) = − ∞
c) lim_(x → + ∞)φ_2(x) = + ∞
d) φ_2(x) ⩽ 0∀x ∈ ℝ_+^∗

Question 18 : La fonction f_1 prolongée à ℝ_+^∗, si cela est possible,
a) est décroissante sur [0, 1] et croissante sur [1, + ∞[
b) est positive sur ℝ_+car croissante sur ℝ_+et nulle en 0 et la droite Oy est
c) direction asymptotique de la courbe C_2
d) asymptote à la courbe C_1

ℝ^3 est rapporté à la base canonique B = (e_1, e_2, e_3) avec e_1 = (1, 0, 0); e_2 = (0, 1, 0) et e_3 = ( 0, 0, 1 ). On considère f l'endomorphisme de ℝ^3 qui à tout triplet (x, y, z) ∈ ℝ^3 associe le triplet ((b + c)x + (c − a)y + (b − a)z, (c − b)x + (a + c)y + (a − b)z, (b − c)x + (a − c)y + (a + b)z) où a, b, c sont des réels distincts 2 à 2 .

Question 19 : La matrice A de f par rapport à la base B s'écrit :
а) A = ((b + c), (c − b), (b − c); (c − a), (a + c), (a − c); (b − a), (a − b), (a + b))
b) A = ((b + c), (c − a), (b − a); (c − b), (a + c), (a − b); (b − c), (a − c), (a + b))
c) A = ((2b + 2c − 2a), 0, 0; 0, (2a + 2c − 2b), 0; 0, 0, (2a + 2b − 2c))
d) A = ((b − a), (c − a), (b + c); (a − b), (a + c), (c − b); (a + b), (a − c), (b − c))

Question 20 : Pour tout λ réel la matrice A − λI a pour déterminant Δ
a) Δ = (2c − λ)|1, (c − b), (b − c); 0, (a + b − λ), (a − b); 0, (a − b), (a + b − λ)|
b) Δ = (2c − λ)|0, (a + b − λ), (a − b); 1, (a + c − λ), (a − c); 0, (a − b), (a + b − λ)|
c) Δ = (2a − λ)(2c − λ)|1, 0, 0; (c − b), (2b − λ), (a − b); 0, 0, 1|
d) Δ = λ^3 − λ^2(2a + 2b + 2c) + λ(4ab + 4ac + 4bc) − 8abc

Question 21 : La matrice A
a) est égale à sa transposée pour tout (a, b, c) ∈ ℝ^3
b) est inversible pour tout (a, b, c) ∈ ℝ^3
c) n'est pas inversible car son déterminant est nul ∀(a, b, c) ∈ ℝ^3
d) est inversible si et seulement si a et b sont non nuls

Question 22 : Le polynôme P(λ) = det(A − λI), pour (a, b, c) ∈ ℝ^3
a) est de degré 2
b) admet 0 pour racine car detA = 0
c) est égal à (2a − λ)(2b − λ)(2c − λ)
d) est égal à (λ − 2a)(λ − 2b)(λ − 2c)

Soit (x_n)_(n ∈ ℕ) une suite bornée de nombres réels.
On définit la suite (y_n)_(n ∈ ℕ) par
∀n ∈ ℕ, y_n = 1/(n + 1)∑_(k = 0)^n x_k
On désigne par inf_(n ⩾ p)x_n (resp. sup_(n ⩾ p)x_n ) la borne inférieure (resp. supérieure) de l'ensemble {x_n|n ⩾ p}.
Question 23 : La suite de terme général inf_(n ⩾ p)x_n, n ∈ ℕ, est
a) convergente car décroissante et minorée
b) croissante et majorée mais divergente car elle n'est pas de signe constant
c) croissante, minorée et convergente
d) convergente car toute suite bornée converge

Question 24 : La suite (inf_(p ⩾ n)y_p)_(n ∈ ℕ) est
a) décroissante et minorée car elle a les mêmes propriétés que la suite (inf_(p ⩾ n)x_p)_(n ∈ ℕ)
b) croissante et majorée donc convergente
c) divergente car la série de terme général 1/n diverge
d) minorée et convergente

Question 25 : Les limites des suites (inf_(p ⩾ n)x_p)_(n ∈ ℕ) et (inf_(p ⩾ n)y_p)_(n ∈ ℕ) vérifient, si elles existent
a) lim_(n → + ∞)(inf_(p ⩾ n)x_p) ⩽ lim_(n → + ∞)(inf_(p ⩾ n)y_p)
b) lim_(n → + ∞)(inf_(p ⩾ n)x_p) ⩾ lim_(n → + ∞)(inf_(p ⩾ n)y_p)
et celles des suites (sup_(p ⩾ n)x_p)_(n ∈ ℕ) et (sup_(p ⩾ n)y_p)_(n ∈ ℕ)
c) lim_(n → + ∞)(sup_(p ⩾ n)y_p) ⩾ lim_(n → + ∞)(sup_(p ⩾ n)x_p)
d) lim_(n → + ∞)(inf_(p ⩾ n) − y_p) ⩾ − lim_(n → + ∞)(sup_(p ⩾ n)y_p) ⩾ − lim_(n → + ∞)(sup_(p ⩾ n)x_p)

Question 26 : On considère dans cette question le cas particulier où la suite (x_n)_(n ∈ ℕ) est définie par : ∀n ∈ ℕ x_n = (− 1)^n. On a alors
a) y_n = 0 si n est impair et y_n = 1/(n + 1) si n est pair
b) y_n = − 1/(n + 1) si n est impair et y_n = 0 si n est pair
c) lim_(n → + ∞)(inf_(p ⩾ n)x_p) = 0 = lim_(n → + ∞)(sup_(p ⩾ n)x_p)
d) lim_(n → + ∞)(inf_(p ⩾ n)x_p) < lim_(n → + ∞)(inf_(p ⩾ n)y_p) = lim_(n → + ∞)(sup_(p ⩾ n)y_p) < lim_(n → + ∞)(sup_(p ⩾ n)x_p)

Question 27 : On peut avoir, pour certaines suites bornées (x_n)_(n ∈ ℕ)
a) (x_n)_(n ∈ ℕ) convergente et (inf_(p ⩾ n)x_p)_(n ∈ ℕ) divergente
b) (x_n)_(n ∈ ℕ) divergente et (inf_(p ⩾ n)x_p)_(n ∈ ℕ) convergente et pour tout suite bornée (x_n)_(n ∈ ℕ) on a l'équivalence
c) [(x_n)_(n ∈ ℕ) convergente ] ⇔ [(inf_(p ⩾ n)x_p)_(n ∈ ℕ) et (sup_(p ⩾ n)x_p)_(n ∈ ℕ) convergentes ]
d) [(y_n)_(n ∈ ℕ) convergente ] ⇔ [(inf_(p ⩾ n)x_p)_(n ∈ ℕ) et (sup_(p ⩾ n)x_p)_(n ∈ ℕ) convergentes et ont même limite ]