ENAC Mathématiques Sup 2003Sujet et corrigé

Durée : 2 Heures
Coefficient : 1

Le sujet comprend:

Soit E l'espace vectoriel des fonctions réelles définies sur ℝ et E_1 l'ensemble des fonctions continues sur ℝ, sous espace vectoriel de E. Soit φ une fonction continue sur ℝ. A toute fonction f appartenant à E_1 on associe la fonction g définie par:
∀x ∈ ℝg(x) = ∫_0^x φ(t)f(t)dt
On définit ainsi une application L_φ de E_1 dans EL_φ : f → g

Question 1: φ étant donnée, pour que g appartienne à ImLL_φ, la fonction g doit vérifier, dans le cas où φ ne s'annule pas
a) g continue
b) (g^′)/φ ∈ E_1
dans le cas où φ s'annule
c) g = 0
d) g' s'annule aux zéros de φ et (g^′)/φ est prolongeable par continuité en ces points.

Question 2: Dans le cas où φ(x) = √(1 + x^2) − 1 et g(x) = e^x − x − 1 la fonction g
a) ne vérifie pas les conditions nécessaires de la question 1
b) vérifie les conditions nécessaires de la question 1 et dans le cas où φ(x) = ln(1 + x + x^2) et g(x) = (x^2)/2 + (x^3)/3 la fonction g
c) vérifie les conditions nécessaires de la question 1
d) ne vérifie pas les conditions nécessaires de la question 1

Question 3: La fonction φ étant fixée, la fonction f est reliée à la fonction g par:
a) f = g/φ
b) f(x) = (g(x))/(∫_0^x φ(t)dt)∀x ∈ ℝ
c) f = (g^′)/φ
d) f(x) = (g^′(x)∫_0^x φ(t)dt − g(x)φ(x))/((∫_0^x φ(t)dt)^2)∀x ∈ ℝ

On considère le cas particulier où les fonctions φ et g sont définies respectivement par :

et on note fla fonction de E_1 telle que g = L_φ(f), si elle existe.
Question 4: La fonction f
a) n'est pas prolongeable par continuité en 0
b) est prolongeable par continuité en 0 par 1
c) est prolongeable par continuité en 0 par 0
d) est prolongeable par continuité en 0 par-1

Question 5: Le graphe de la fonction f, dans un repère orthonormé, est symétrique par rapport
a) au point ( 1, f(1) )
b) au point ( − 1/2, f(− 1/2) )
c) à la droite x = 1
d) à la droite x = 1/2

Question 6: Sur l'intervalle [ − 1/2, + ∞[ la fonction f est :
a) croissante puis décroissante
b) décroissante
c) croissante
d) monotone

Question 7: La limite de (f(x))/x lorsque x tend vers + ∞
a) n'existe pas
b) vaut zéro et la courbe admet
c) une asymptote
d) une branche infinie parabolique.

Question 8: L'équation de la tangente au graphe de la fonction f au point( 0, f(0) ) s'écrit
a) y = 1 − x/2
b) y = 1 + x
c) y = 1 + x/2
d) y = x

On revient au cas général où φ est une fonction fixée continue sur ℝ.
On note Φ la primitive de la fonction φ s'annulant en x = 0

Question 9: Les fonctions f et g vérifient g = L_φ(f) et g − f = Φ
a) {f(x) = 1 + 2e^(Φ(x)); g(x) = Φ(x) + 1 + 2e^(Φ(x))∀x ∈ ℝ
b) {f(x) = 1 − e^(Φ(x)); g(x) = 1 − e^(Φ(x)) + Φ(x)∀x ∈ ℝ
c) {f(x) = 1 + ln|Φ(x)|; g(x) = Φ(x) + 1 + ln|Φ(x)| ∀x ∈ ℝ
d) {f(x) = 1 + Φ(x); g(x) = 2Φ(x) + 1 ∀x ∈ ℝ

Dans toute la suite de cette partie, la fonction φ considérée sera définie par:
∀x ∈ ℝφ(x) = e^x.
On considère l'espace vectoriel E_3, sous-espace vectoriel de E_1, constitué des fonctions f telles que f(x) = acosx + bsinx où a et b sont des réels quelconques.
Question 10: La famille de fonctions suivantes forme une base de l'espace L_φ(E_3)
a) {g_1(x) = cosx; g_2(x) = sinx∀x ∈ ℝ
b) {v_1(x) = e^x(sinx − cosx)/2 + 1/2; v_2(x) = e^x(sinx + cosx)/2 − 1/2∀x ∈ ℝ
c) {w_1(x) = 1; w_2(x) = e^x sinx∀x ∈ ℝ; w_3(x) = e^x cosx
d) {u_1(x) = e^x cosx − 1; u_2(x) = e^x sinx∀x ∈ ℝ

Question 11: Reprenant les notations de la question 10 et l'espace vectoriel E_3 étant rapporté à la base (f_1, f_2) avec f_1(x) = cosx et f_2(x) = sinx, la matrice (C, − C; C, C), où C est une constante donnée, représente matriciellement la restriction de L_φ à l'espace E_3 lorsque L_φ(E_3) est rapporté à la base :
a) (g_1, g_2)
b) (v_1, v_2)
c) (u_1, u_2)
d) (w_1, w_2, w_3)
n étant un entier donné, on désigne par P_n l'espace vectoriel des fonctions polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n.
On considère les fonctions u_0(x) = e^x − 1, u_1(x) = xe^x, ……, u_n(x) = x^n e^x
Question 12: Pour p entier naturel, la fonction g_p image par L_φ de la fonction f_p(x) = x^p vérifie :
a) g_0 = − u_0
b) g_0 = u_0
c) g_p = − u_p
d) g_p = u_p − pg_(p − 1)∀p ∈ ℕ^∗

Question 13: Pour p ∈ ℕ la fonction g_p définie à la question 12 s'écrit, A_p^(p − k) désignant le nombre d'arrangements de ( p − k ) éléments parmi p éléments :
a) g_p = u_p − u_(p ⋅ 1)∀p ∈ ℕ^∗
b) g_p = ∑_(k = 0)^p(− 1)^(p − k)A_p^(p − k)u_k + (− 1)^p
c) g_p = ∑_(k = 0)^p(− 1)^(p − k)A_p^(p − k)u_k
d) g_p = ∑_(k = 0)^p(− 1)^(p − k)p!u_k + (− 1)^p

Question 14: La matrice de la restriction de l'application L_φ à P_n par rapport à la base canonique de P_n et à la base (u_0, ……, u_n) de L_φ(P_n) est
a) carrée d'ordre ( n + 1 ) et diagonale
b) triangulaire supérieure et carrée d'ordre n
c) inversible car de déterminant égal à (-1) ^(n + 1)
d) de déterminant égal à 1 donc de rang n .

Soit P le polynôme à coefficients réels à une indéterminée X défini par

Question 15: Le système d'équation: {− 4x^4 + 12x^3 − 34x + 26 = 0; − 12x^3 + 46x^2 − 34x = 0 a pour solution :
a) x = (17)/6
b) x = 2
c) x = 0
d) x = 1

Question 16: Le nombre complexe z_1 est racine du polynôme P :
a) z_1 = (17)/6(1 + i)
b) z_1 = 1 − i
c) z_1 = 2(1 + i)
d) z_1 = (17)/6(1 − i)

Question 17: Le polynôme P est divisible par le polynôme Q défini par:
a) Q = 13 − 2X + X^2
b) Q = 13 − (17)/3X + X^2
c) Q = 13 − 4X + X^2
d) Q = (189)/(18) − (17)/3X + X^2

Question 18: La fraction rationnelle 1/(P(x)) se décompose en éléments simples sur le corps des réels sous la forme :
(a) 1/(85)((2x + 7/(36))/(x^2 − (17)/3x + (189)/(18)) − (x − 5/(18))/(x^2 − 4x + (368)/(189)))
b) 1/(85)((2x + 7)/(x^2 − 2x + 2) − (2x + 3)/(x^2 − 4x + 13))
c) 1/(36)((3x + 2)/(x^2 − (17)/3x + 13) + 3/((x − 4)^2) − 1/(x − 4))
d) 1/(85)((2x + 3)/(x^2 − 2x + 2) − (2x + 7)/(x^2 − 4x + 13))

Question 19: A étant un réel positif fixé, l'intégrale I = ∫_0^A 1/(P(x))dx vaut :
a) I = 1/(85)[ln((A^2 − (17)/3A + (189)/(18))/(A^2 − 4A + (368)/(189))) + 3/(18)Arctan(A − (17)/6) − 5/9]
b) I = 1/(36)[ln(((A^2 − (17)/3A + 13)^(3/2))/(A − 4)) + 2Arctan(A − (17)/6) − 3/(A − 4)]
c) I = 1/(85)[ln((A^2 − 4A + 13)/(A^2 − 2A + 2)) − 9Arctan(A − 1) + 7/(13)Arctan(A − 2)/3 − (9π)/4 + 7/(13)Arctan2/3 + ln2/(13)]
d) I = 1/(85)[ln((A^2 − 2A + 2)/(A^2 − 4A + 13)) + 9Arctan(A − 1) − 7/3Arctan(A − 2)/3 + (9π)/4 − 7/3Arctan2/3 − ln2/(13)]

Soit fla fonction de la variable réelle définie par f(0) = 0, f(1) = − 1; f(− 1) = 1
et ∀t ∈ ℝ − { − 1, 0, 1}f(t) = (2t)/(1 − t^2)ln|t|
Question 20: La courbe représentant f dans un plan rapporté à un repère orthonormé d'axes x ' Ox, y'Oy est symétrique par rapport :
a) au point (0, 0) car f est paire
b) au point ( 1, − 1 )
c) à la droite x = 0 car f est impaire
d) à la droite y = 0

Question 21: La fonction f
a) est continue sur ℝ car une fonction définie en tout point de ℝ est continue sur ℝ
b) n'est pas continue en 0 car ln n'est pas définie en 0
c) est continue sur ℝ
d) est continue sur ℝ − { − 1, 0, 1}

Question 22: La limite de f(t) lorsque t tend vers − ∞
a) n'existe pas
b) est nulle
c) est égale à − ∞
d) est égale à + ∞

Question 23: Pour tout t ∈ ℝ^∗, on peut écrire f(1/t) sous la forme
a) f(1/t) = 1/(f(t))
b) f(1/t) = f(t)
c) f(1/t) = − f(t)
d) f(1/t) = 2/(t(1 − 1/(t^2)))ln|1/t|

Question 24: La limite lorsque t tend vers 0 , de la fonction 1/tf(t)
a) est nulle et la courbe est tangente à l'axe x ' Ox au point (0, 0)
b) est égale à + ∞
c) est égale à − ∞
d) n'existe pas

Question 25: Le développement limité à l'ordre n, n ∈ ℕ^∗ de la fonction t ↦ tlnt au voisinage de 1 s'écrit, la fonction ε(t) tendant vers 0 lorsque t tend vers 1
a) t(t − 1) − (t(t − 1)^2)/2 + ……… + (− 1)^(n − 1)(t(t − 1)^n)/n + (t − 1)^n ε(t)
b) t^2 − (t^3)/3 + ……… + (− 1)^n(t^n)/(n − 1) + t^n ε(t)
c) t(t − 1) + (t(t − 1)^2)/2 + …….. + (t(t − 1)^n)/n + (t − 1)^n ε(t)
d) (t − 1) + ((t − 1)^2)/2 + …….. + (− 1)^n((t − 1)^n)/(n(n − 1)) + (t − 1)^n ε(t)

Question 26: Le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 1 de la fonction (f(t) + 1)/(t − 1) est
a) 1 + t/6 − t^2
b) t + t^2
c) (t − 1)/6 − ((t − 1)^2)/6 + (t − 1)^2 ε(t) avec lim_(t → 1)ε(t) = 0
d) (t − 1)/6 + (t − 1)^2

a) dérivable sur ℝ *
b) dérivable sur ℝ car continue sur tout point de ℝ et a pour dérivée si elle existe
c) f(t) = (2t(1 + t^2))/(|t|(1 − t^2))ln|t| + 2/(1 − t^2) pour t ∈ ℝ − { − 1, 1} et f(1) = 0 = − f(− 1)
d) f(t) = (2(1 + t^2))/((1 − t^2)^2)[ln|t| + ((1 − t^2))/((1 + t^2))] pour t ∈ ℝ^⋅ − { − 1, 1} et f(1) = 0 = f(− 1)

Soit φ la fonction définie sur ℝ_+^∗ par φ(t) = lnt + (1 − t^2)/(1 + t^2)

Question 28: On a
a) φ^′(t) > 0∀t ∈ ℝ_+^∗
b) φ^′(t) > 0∀t ∈ ℝ_+^∗ − {1} et φ^′(1) = 0
c) φ est croissante puis décroissante sur ℝ_+^∗
d) φ est strictement croissante sur ℝ_+^∗

Question 29: La fonction f^′ est
a) positive sur ] 0, 1 [ et négative sur ] 1, + ∞[ car il en est de même de φ
b) négative sur ] 0,1 [ et positive sur ] 1, + ∞ [ car de même signe que φ et la fonction f est
c) négative sur ℝ
d) négative ou nulle sur ℝ_+^∗ et positive ou nulle sur ] − ∞, 0[

Question 30: Soit g la fonction de la variable réelle définie par g(x) = tan(2x)ln|tanx|. On a
a) g est définie sur ℝ − {kπ/4}_(k ∈ Z); paire et π-périodique
b) g est définie sur ℝ − {(2k + 1)π/4}_(k ∈ Z); impaire et 2π-périodique
c) lim_(x → π/2)g(x) = 0 car lim_(|t| → + ∞)f(t) = 0
d) g est prolongeable par continuité sur ℝ