Petites Mines Mathématiques (MPSI) Sup 2003Sujet et corrigé

Instruction générales:
Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette correspondant à cette épreuve.

Aucun document n'est autorisé
L'emploi d'une calculatrice est interdit

Notons f : t ∈ ℝ ↦ (e^t)/(1 + t^2) ．Il est clair que f est définie ℝ entier，et que cette fonction est de classe C^∞ ．Nous noterons C_f la courbe représentative de f ．

1．－Quelle est la limite de f(t) lorsque t tend vers − ∞ ？
2．－Qu＇en déduisez－vous au sujet de C_f ？
3．－Complétez chacune des phrases suivantes au moyen de l＇une des locutions «est équivalent à»，《est négligeable devant》，《est dominé par 》：

Lorsque plusieurs réponses sont acceptables，vous donnerez la plus précise．Bien entendu，vous justifierez votre choix．
4．－Quelle est la limite de f(t) lorsque t tend vers + ∞ ？
5．－Explicitez f^′(t) ．
6．－Dressez le tableau des variations de f ．
7．－Explicitez f^(′′)(t) ．
8．－Montrez que l＇équation f^(′′)(t) = 0 possède deux solutions réelles ：l＇une est évidente，l＇autre sera notée α ．Vous ne chercherez pas à calculer α ．
9．－Prouvez l＇encadrement − 1/5 < α < 0 ．
10．－Explicitez le développement limité de f à l＇ordre 3 au voisinage de 0 ．Que pouvez－vous en déduire concernant C_f ？
11．－Tracez la courbe représentative de f ．Vous préciserez son allure au voisinage du point d＇abscisse 1.

Au vu des expressions de f(t), f^′(t) et f^(′′)(t) ，nous nous proposons d＇établir que l＇assertion A(n) suivante est vraie pour tout n ∈ ℕ ：

Il existe un polynôme P_n tel que f^((n))(t) = (P_n(t)e^t)/((1 + t^2)^(n + 1)) pour tout t ∈ ℝ
Vous allez raisonner par récurrence sur n ．
Remarque：vous pouvez confondre polynôme et fonction polynomiale．
12．－Il est clair que A(n) est vraie pour n ∈ {0, 1, 2} ；vous dresserez simplement un tableau donnant l＇expression de P_n pour ces valeurs de n ．
13．－Fixons n ∈ ℕ ，et supposons l＇assertion A(n) acquise．Établissez l＇assertion A(n + 1) ；vous déterminerez l＇expression de P_(n + 1) en fonction de P_n et P_n^′ ．
Il résulte donc des questions 12 et 13 que l＇assertion A(n) est vraie pour tout n ∈ ℕ ．
14．－Montrez que P_n a tous ses coefficients dans ℤ ．
15．－Précisez le degré et le coefficient dominant de P_n ．
16．－Donnez une expression simple de c_n = P_n(i) ，où i est le nombre complexe de module 1 et d＇argument π/2 ．

Notons F : x ∈ ℝ ↦ ∫_0^x f(t)dt. Ainsi, F est la primitive de f qui s'annule en 0 .
17. - Quel est le sens de variation de F ?
18. - Montrez que F(x) possède une limite ℓ finie lorsque x tend vers − ∞. Vous ne chercherez pas à expliciter cette limite.
19. - Prouvez l'encadrement − 1 ⩽ ℓ ⩽ 0.
20. - Donnez une équation de la tangente à la courbe représentative de F, au point d'abscisse 0 .
21. - Explicitez le développement limité de F à l'ordre 4 au voisinage de 0 .

Nous nous proposons d'étudier le comportement de F(x) lorsque x tend vers + ∞. Nous noterons J(x) = ∫_1^x(te^t)/((1 + t^2)^2)dt, K(x) = ∫_1^x(e^t)/(t^3)dt et L(x) = ∫_1^x(e^t)/(t^4)dt.
22. - Prouvez l'existence d'une constante A telle que F(x) = f(x) + A + 2J(x) pour tout réel x.
23. - Pour x ⩾ 1, placez les uns par rapport aux autres les réels 0, J(x) et K(x).
24. - Avec une intégration par parties soigneusement justifiée, montrez que K(x) − 3L(x) est négligeable devant (e^x)/(x^2) lorsque x tend vers + ∞.
25. - En découpant l'intervalle [1, x] sous la forme [1, x^(3/4)] ∪ [x^(3/4), x], montrez que L(x) est négligeable devant (e^x)/(x^2) lorsque x tend vers + ∞.
26. - En déduire un équivalent simple de F(x) lorsque x tend vers + ∞.
27. - Exploitez les résultats des questions 17, 19, 20 et 26 pour donner l'allure de la courbe représentative de F.

Notons E le ℝ-espace vectoriel des applications de ℝ dans ℝ de classe C^∞ et D : f ∈ E ↦ f^′. Il est clair que D est un endomorphisme de E .

Soient f_1 : t ∈ ℝ ↦ e^t, f_2 : t ∈ ℝ ↦ e^(− t/2)sin((t√3)/2) et f_3 : t ∈ ℝ ↦ e^(− t/2)cos((t√3)/2). Nous noterons B = (f_1, f_2, f_3) et G le sous-espace vectoriel de E engendré par B.
Nous allons montrer que B est une famille libre de vecteurs de E. Soient a, b et c des réels tels que af_1 + bf_2 + cf_3 soit la fonction nulle.
2. - L'étudiante Antoinette observe que af_1(t) + bf_2(t) + cf_3(t) = 0 pour tout réel t. Elle choisit (adroitement) trois valeurs de t, obtient un système de trois équations aux trois inconnues a, b et c, qu'elle résout ; il ne lui reste plus qu'à conclure. Faites comme elle!
3. - L'étudiante Lucie propose d'exploiter le développement limité à l'ordre 2 de la fonction af_1 + bf_2 + cf_3 au voisinage de 0 . Faites comme elle !
4. - L'étudiante Nicole décide de s'intéresser au comportement de af_1(t) + bf_2(t) + cf_3(t) lorsque t tend vers + ∞. Faites comme elle!

La famille B est donc une base de G , et ce sous-espace est de dimension 3.
5. - Montrez que G est stable par D.

Nous noterons Dˆ l'endomorphisme de G induit par D.
6. - Déterminez la matrice M de Dˆ dans la base B.
7. - Calculez M^3.
8. - Montrez que M est inversible, et explicitez son inverse M^(− 1).
9. - Montrez que Dˆ est un automorphisme de G.
10. - Exprimez (Dˆ)^(− 1) en fonction de Dˆ.

Soient g et h deux éléments de G. Définissons φ(g, h) = g(0)h(0) + g^′(0)h^′(0) + g^(′′)(0)h^(′′)(0).
11. - Dressez un tableau à trois lignes et quatre colonnes ; pour 1 ⩽ i ⩽ 3, la ligne i présentera les valeurs de i, f_i(0), f_i^′(0) et f_i^(′′)(0) dans cet ordre. Vous ne ferez pas apparaître le détail des calculs sur votre copie.
12. - Montrez que φ est un produit scalaire sur G.
13. - La base B est-elle orthogonale?
14. - La base B est-elle orthonormée?

Nous nous intéressons dans cette partie à l'équation différentielle y^(′′′) = y, que nous noterons (E). Une solution sur ℝ de (E) est une fonction f définie et trois fois dérivable sur ℝ, vérifiant f^(′′′)(t) = f(t) pour tout t ∈ ℝ.
15. - Montrez que toute solution f de (E) est de classe C^∞.
16. - Montrez que la fonction nulle est la seule solution polynomiale de (E).

Notons T = D^3 − Id, où Id est l'identité de E , et D^3 = D ∘ D ∘ D. Le noyau de T est donc l'ensemble des solutions de (E).
17. - Montrez que G est contenu dans le noyau de T.

Nous allons établir l'inclusion inverse; ainsi, G sera exactement l'ensemble des solutions de ( E ). Soit f une solution de (E); nous noterons g = f^(′′) + f^′ + f.
18. - Montrez que g est solution de l'équation différentielle y^′ = y.
19. - Décrivez rapidement l'ensemble des solutions de l'équation différentielle y^′ − y = 0.
20. - Résolvez l'équation différentielle y^(′′) + y^′ + y = 0; vous donnerez une base de l'ensemble des solutions.
21. - Soit λ ∈ ℝ. Décrivez l'ensemble des solutions de l'équation différentielle y^(′′) + y^′ + y = λe^t.
22. - Et maintenant, concluez !