Petites Mines Mathématiques (MPSI) Sup 2001Sujet et corrigé

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend : 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4 et 4/4.
Les candidats sont invités à porter unc attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondante.

Les parties A et B sont indépendantes, nais sont utilisées par la partie C.

Pour tout réel a positif ou nul, on note g_a la fonction définie sur ℝ_+^∗ par g_a(t) = t^a.
A.1. Montrer que la fonction g_a est prolongeable par continuité en 0 (on notera toujours g_a la fonction ainsi prolongée, qui est donc définie et continue sur ℝ_+). Préciser la valeur de g_a(0). Montrer que la fonction g_a est de classe C^1 sur ℝ_+pour a ⩾ 1.

Soient a et b deux réels positifs ou nuls. On pose

A.2. Justifier l'existence de l'intégrale I(a, b). Comparer I(a, b) et I(b, a).

On écrira abusivement I(a, b) = ∫_0^1 t^a(1 − t)^b dt.
A.3. Soient a et b deux réels positifs ou nuls. Trouver une relation entre I(a + 1, b) et I(a, b + 1).
A.4. Calculer I(a, 0). En déduire que, pour tout entier naturel n, on a

A.5. Soient p et q deux entiers naturels. Exprimer I(p, q) à l'aide de factorielles.
A.6. En déduire la valeur de l'intégrale

où p et q sont deux entiers naturels.

Pour tout réel a strictement positif, on note f_a la fonction définie par

B.1. Préciser l'ensemble de définition de f_a.

On note C_a la courbe représentant la restriction de la fonction f_a à l'intervalle ]a, + ∞[.
B.2. Si a et x sont deux réels tels que 0 < a < x, démontrer l'encadrement

B.3. En déduire les variations de la fonction f_a sur l'intervalle ]a, + ∞[ (on dressera un tableau de variations). Préciser la nature des branches infinies de la courbe C_a.
B.4. Donner l'allure des courbes C_1, C_2 et C_3 sur un même schéma.
B.5. On fixe a > 0 et on considère la suite y = (y_n) définie, pour tout entier naturel n tel que n > a, par y_n = (1 − a/n)^n.
Etudier le comportement (sens de variation, limite) de la suite ( y_n ).

Pour tout réel positif ou nul x et tout entier naturel non nul n, on pose

C.1. Montrer que F_n(x) = n^(x + 1)I(x, n).
C.2. En utilisant les résultats de la partie B, montrer que, pour tout x fixé, la suite (F_n(x))_(n ∈ ℕ^∗) est croissante.
C.3. On fixe x ⩾ 0.
a. Montrer l'existence d'un réel strictement positif U tel que

b. En déduire que, pour tout entier naturel non nul n, on a

c. Montrer que la suite (F_n(x))_(n ∈ ℕ^∗) est convergente.

Pour tout réel positif ou nul x, on pose F(x) = lim_(n → + ∞)F_n(x).
C.4. Démontrer la relation fonctionnelle

En déduire la valeur de F(k) pour k entier naturel.

Les parties B et C sont liées, mais la partie A est indépendante du reste du problène.
On rappelle que, si p est un entier naturel non nul, la notation M_p(ℝ) représente l'algèbre des matrices carrées d'ordre p à coefficients réels.

Soit p un entier naturel non nul. Une matrice A de M_p(ℝ) est dite nilpotente d'indice trois si elle vérifie A^2 ≠ 0 et A^3 = 0.
Dans toute cette partie, on note A une matrice de M_p(ℝ), nilpotente d'indice trois. On note I la matrice-unité d'ordre p.
Pour tout réel t, on note E(t) la matrice

A.1. Vérifier la relation

A.2. En déduire que (E(t))^n = E(nt) pour t ∈ ℝ et n ∈ ℕ.
A.3. Montrer que la matrice E(t) est inversible. Quel est son inverse ?
A.4. Montrer que la famille ( I, A, A^2 ) est libre dans l'espace vectoriel M_p(ℝ).
A.5. En déduire que l'application E : t ↦ E(t), de ℝ vers M_p(ℝ), est injective.
A.6. Dans cette question, p = 3 et A = (0, 1, 1; 0, 0, 1; 0, 0, 0). Expliciter la matrice E(t) sous la forme d'un tableau matriciel pour t ∈ ℝ.

Dans cette partie, on note B_0 = (e_1^(→−), e_2^(→−)) la base canonique de ℝ^2. Soit la matrice A = (4, − 6; 1, − 1) appartenant à M_2(ℝ). On note f l'endomorphisme de ℝ^2 qui lui est canoniquement associé.
B.1. Montrer que F = Ker(f − 2id_(R^2)) et G = Ker(f − id_(R^2)) sont deux droites vectorielles, supplémentaires dans ℝ^2. Préciser un vecteur directeur u⃗ de F, et un vecteur directeur v⃗ de G.
B.2. Sans calculs, déterminer la matrice de l'endomorphisme f de ℝ^2 dans la base B = (u⃗, v⃗).
B.3. En déduire qu'il existe une matrice P inversible et une matrice D diagonale (toutes deux carrées d'ordre deux) telles que A = PDP^(− 1). Expliciter P, D et P^(− 1).
B.4. Expliciter D^n pour tout n enticr naturel. Démontrer la rclation A^n = PD^n P^(− 1). En déduire l'expression de A^n sous forme de tableau matriciel.

On reprend les notations de la partie B.
C.1. En utilisant l'inégalité de Taylor-Lagrange, montrer que, pour tout réel t, on a

On pourra admettre le résultat de cette question pour traiter les suivantes.
C.2. Pour tout réel t, pour tout entier naturel n, on note E_n(t) la matrice définie par E_n(t) = ∑_(k = 0)^n(t^k)/(k!)A^k. On écrira cette matrice sous la forme E_n(t) = (a_n(t), b_n(t); c_n(t), d_n(t)). Expliciter (sous forme de sommes) ses coefficients a_n(t), b_n(t), c_n(t), d_n(t).
C.3. Pour tout t ∈ ℝ, on note E(t) la matrice E(t) = (a(t), b(t); c(t), d(t)), avec a(t) = lim_(n → + ∞)a_n(t), b(t) = lim_(n → + ∞)b_n(t), etc. Expliciter la matrice E(t).
Réponse partielle : on obtient a(t) = 3e^(2t) − 2e^t.
C.4. Montrer qu'il existe deux matrices Q et R (carrées d'ordre deux) telles que

et expliciter Q et R.
C.5. Calculer les matrices Q^2, R^2, QR, RQ. Que peut-on dire des endomorphismes q et r de ℝ^2 canoniquement associés aux matrices Q et R (on pourra préciser la réponse en utilisant les droites F et G de la question B.1.)?
C.6. En déduire que

Que dire de (E(t))^n pour n ∈ ℕ ?, de (E(t))^(− 1) ?
L'application E : t ↦ E(t), de ℝ vers M_2(ℝ), est-elle injective ?