Petites Mines Mathématiques (MPSI) Sup 2005Sujet et corrigé
Explorer les annales
Téléchargements
- Rapport du jury : non disponible
Présentation du sujet
Mathématiques, concours commun Mines Albi-Alès-Douai-Nantes MPSI 2005 : applications linéaires vectorielles de l'espace et fonctions x/ln(x)Afficher ou masquer la section
Présentation du sujet
Mathématiques, concours commun Mines Albi-Alès-Douai-Nantes MPSI 2005 : applications linéaires vectorielles de l'espace et fonctions x/ln(x)
Ce sujet comporte un problème d'algèbre et de géométrie et un problème d'analyse. Le problème d'algèbre étudie l'intersection de plans mobiles avec un plan fixe, puis une famille d'applications linéaires de l'espace définies à partir d'un produit scalaire, d'une homothétie et d'un produit vectoriel, à travers trois exemples (automorphisme, matrice explicite, projecteur). Le problème d'analyse étudie la fonction x/ln(x), une suite récurrente qui converge vers e, une fonction apparentée, une courbe paramétrée et une équation différentielle non linéaire ramenée à une équation linéaire.
- 1Problème d'algèbre et géométrie, partie A : plans mobiles et plan fixepremière annéeOn étudie l'intersection d'une famille de plans P_m avec un plan fixe et une droite perpendiculaire, et on montre que les points d'intersection décrivent un cercle sur une sphère.
- 2Problème d'algèbre et géométrie, parties B à D : exemples d'applications linéairespremière annéeOn étudie trois exemples particuliers d'une application linéaire f définie à partir d'un produit scalaire, d'une homothétie et d'un produit vectoriel : noyau et image, puissances d'une matrice, et caractérisation d'un projecteur.
- 3Problème d'analyse, parties A à C : étude de fonctions liées à x/ln(x)On étudie la fonction f(x) = x/ln(x), une suite récurrente convergeant vers e avec une vitesse de convergence explicite, puis une fonction g apparentée et l'aire entre leurs courbes.
- 4Problème d'analyse, parties D à F : courbe paramétrée et équation différentielleOn trace la courbe paramétrée par f et g, on résout une équation différentielle non linéaire par le changement de fonction y = 1/z, et on étudie une fonction définie par une intégrale de f.
Ces sujets peuvent vous intéresser
- Même épreuve, 2006Petites Mines Mathématiques (MPSI) Sup 2006Petites Mines (sup, 2000-2010) · 2006Corrigé
- Même chapitre : Algèbre linéaire (+4)Petites Mines Mathématiques (MPSI) Sup 2007Petites Mines (sup, 2000-2010) · 2007Corrigé
Même année, ENACENAC Mathématiques Sup 2005ENAC · 2005Sujet seul- Même sessionPetites Mines Mathématiques Sup 2005Petites Mines (sup, 2000-2010) · 2005Sujet seul
- Même épreuve, 2004Petites Mines Mathématiques (MPSI) Sup 2004Petites Mines (sup, 2000-2010) · 2004Corrigé
- Même chapitre : Géométrie (+4)Petites Mines Mathématiques Sup 2007Petites Mines (sup, 2000-2010) · 2007Sujet seul
- Même sessionPetites Mines Physique Chimie MPSI 2005Petites Mines (sup, 2000-2010) · 2005Corrigé
- Même épreuve, 2003Petites Mines Mathématiques (MPSI) Sup 2003Petites Mines (sup, 2000-2010) · 2003Corrigé
- Même chapitre : Géométrie (+4)Petites Mines Mathématiques Sup 2006Petites Mines (sup, 2000-2010) · 2006Sujet seul
- Même sessionPetites Mines Physique Chimie PCSI 2005Petites Mines (sup, 2000-2010) · 2005Corrigé
- Même épreuve, 2008Petites Mines Mathématiques (MPSI) Sup 2008Petites Mines (sup, 2000-2010) · 2008Corrigé
- Même chapitre : Fonctions (limites, continuité… (+3)ENAC Mathématiques Sup 2009ENAC · 2009Corrigé
Lecture du sujet en ligne
L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.Afficher ou masquer la section
Lecture du sujet en ligne
L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
CONCOURS COMMUN 2005 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES
Épreuve de Mathématiques (toutes filières)
Jeudi 19 mai 2005 de 14h00 à 18h00
Instructions générales:
Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées
1/4, 2/4, 3/4, 4/4 .
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondante.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondante.
L'emploi d'une calculatrice est interdit
PROBLÈME D'ALGÈBRE ET DE GÉOMÉTRIE
Les quatre parties
A, B, C, D de ce problème sont totalement indépendantes entre elles.
Dans tout ce problème, on se place dans l'espace usuel muni d'un repère orthonormé directR = (O, i⃗, j⃗, k⃗) . On note
E l'ensemble des points de l'espace et
E l'ensemble des vecteurs de l'espace. Les différentes coordonnées et équations qui apparaissent dans l'énoncé sont relatives au repère
R .
Dans tout ce problème, on se place dans l'espace usuel muni d'un repère orthonormé direct
Si
X⃗ = xi⃗ + yj⃗ + zk⃗ , on pourra aussi noter
X⃗ = (x, y, z) .
Siα, β et
δ sont trois réels fixés et si
u⃗, v⃗ et
w⃗ sont trois vecteurs fixés de
E , on note
f l'application linéaire de
E dans
E définie pour tout vecteur
X⃗ de
E par
Si
A - Etude de l'intersection de deux plans mobiles et d'un plan fixe
On note
D^′ la droite passant par
O dirigée par
a⃗ = i⃗ + j⃗ + k⃗, D la droite d'équations
{y = z; x = 1 ,
Q le plan d'équation
y + z = 0 et enfin, pour tout réel
m, P_m est le plan d'équation
x + my − mz = 1 .
A - 1) Donner un vecteur normal
n_m^(→−) de
P_m ainsi qu'un point et un vecteur directeur de
D .
Vérifier que tous les plansP_m contiennent la droite
D .
A - 2) Calculerr_m^(→−) = n_m^(→−) ∧ a⃗ . En déduire que
D^′ n'est pas orthogonale à
P_m . On appelle alors
R_m l'unique plan contenant
D^′ et perpendiculaire à
P_m . Obtenir une équation cartésienne de
R_m .
Vérifier que tous les plans
A - 2) Calculer
A - 3) Déterminer, pour tout réel
m , les coordonnées dans
R de
I_m point d'intersection des plans
P_m, Q et
R_m .
A - 4) On note (
S ) d'équation
x^2 + y^2 + z^2 = x et
Ω le point de
Q de coordonnées
(1/2, 0, 0) .
Préciser la nature géométrique de (S ) ainsi que les éléments géométriques qui le caractérisent.
Préciser la nature géométrique de (
A - 5) Vérifier que
I_m appartient à (
S ) puis que
I_m appartient à un cercle dont on donnera le centre et le rayon.
A - 6) Déterminer l'ensemble
F des points
M de
E par lesquels passe un et un seul plan
P_m .
Quelle est la réunion des plansP_m lorsque
m décrit
ℝ ?
Quelle est la réunion des plans
B - Etude d'un exemple d'application f_–
Dans cette partie B, on prend
u⃗ = v⃗ = i⃗ + j⃗ + k⃗, w⃗ = j⃗ + k⃗ − 5i⃗, α = 3, β = − 3 et
δ = 1 .
B-1) Vérifier quef(x, y, z) = (4y + 2z, d, e) où l'on exprimera
d et
e en fonction de
x, y et
z .
B-2) Déterminer une base et la dimension du noyau def.f est-il un automorphisme de
E ?
B - 3) Enoncer complètement le théorème du rang. Obtenir le rang def .
B-4) Montrer, dans le cas général, que siφ est une application linéaire définie sur le
ℝ -espace vectoriel
G où
G est engendré par les vecteurs
e_1^(→−), e_2^(→−) et
e_3^(→−) , alors l'image de
φ est le
ℝ -espace vectoriel engendré par les vecteurs
φ(e_1^(→−)), φ(e_2^(→−)) et
φ(e_3^(→−)) .
B-1) Vérifier que
B-2) Déterminer une base et la dimension du noyau de
B - 3) Enoncer complètement le théorème du rang. Obtenir le rang de
B-4) Montrer, dans le cas général, que si
B - 5) Déterminer une base de l'image de
f .
B-6) Montrer queB^′ = (f(f(i⃗)), f(i⃗), i⃗) est une base de
E .
Obtenir ensuite la matriceA^′ de
f dans
B^′ .
B-7) Sachant que la matrice de passageP de la base
B^′ à la base
B = (i⃗, j⃗, k⃗) est l'une des deux matrices suivantes :
B-6) Montrer que
Obtenir ensuite la matrice
B-7) Sachant que la matrice de passage
préciser, en argumentant votre choix, laquelle est
P .
Donner le lien matriciel reliantA = M_B(f) à
A^′ = M_(B^′)(f) .
Donner le lien matriciel reliant
C - Etude d'un deuxième exemple
Dans cette partie
C , on prend
u⃗ = v⃗ = i⃗ + j⃗ + k⃗, α = − 3, β = 5 et
δ = 0 .
On admet qu' alorsM = (2, − 3, − 3; − 3, 2, − 3; − 3, − 3, 2) est la matrice de
f dans la base
B = (i⃗, j⃗, k⃗) .
On rappelle que, par convention, on noteM^0 = (1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1) = I_3 .
C-1) Prouver, par récurrence surn , que pour tout entier naturel
n , on peut trouver deux réels (qu'on notera
a_n et
b_n ) tels que
On admet qu' alors
On rappelle que, par convention, on note
C-1) Prouver, par récurrence sur
On obtiendra ainsi les relations définissant
a_(n + 1) et
b_(n + 1) en fonction de
a_n et de
b_n .
C-2) En utilisant les relations précédemment trouvées, vérifier que∀n ∈ ℕ, b_(n + 2) − b_(n + 1) − 20b_n = 0 .
C - 3) En déduire la valeur de
b_n puis celle de
a_n en fonction de
n .
C-2) En utilisant les relations précédemment trouvées, vérifier que
C-4) Vérifier que
M^2 est combinaison linéaire de
M et de la matrice
I_3 .
En déduire queM est inversible et expliciter les coefficients de la matrice
M^(− 1) .
En déduire que
D - Etude d'un troisième cas
Dans cette partie
D , on prend
β = δ = 0 . On renomme alors
g l'application
f de l'introduction, soit
où
u⃗ et
v⃗ sont deux vecteurs non nuls fixés de
E et où
α est un réel non nul.
D - 1) Vérifier que siα(u⃗ ⋅ v⃗) = 1 , alors
g est un projecteur.
Démontrer ensuite que sig est un projecteur, alors
α(u⃗ ⋅ v⃗) = 1 .
D - 2) On suppose queα(u⃗ ⋅ v⃗) = 1 . On note
F_1 = {X⃗ ∈ E/u⃗ ⋅ X⃗ = 0} et
F_2 = {λv⃗/λ ∈ ℝ} . Vérifier que
F_1 et
F_2 sont supplémentaires dans
E (l'écriture
x⃗ = (x⃗ − g(x⃗)) + g(x⃗) pourra être utile).
Sur quel espace vectoriel parallèlement à quel autreg est-elle alors la projection ?
D - 3) A l'aide des deux questions précédentes, trouver la matriceΠ_B dans la base
B = (i⃗, j⃗, k⃗) de la projection
p sur
P = {X⃗ = (x, y, z) ∈ E/x + y + z = 0} parallèlement à la droite
D engendrée par
j⃗ + k⃗ − 5i⃗ .
D - 1) Vérifier que si
Démontrer ensuite que si
D - 2) On suppose que
Sur quel espace vectoriel parallèlement à quel autre
D - 3) A l'aide des deux questions précédentes, trouver la matrice
PROBLÈME D' ANALYSE
A - Etude de la fonction
f telle que
f(x) = 0 si
x = 0 et
f(x) = x/(ln(x)) sinon
A - 1) Obtenir l'ensemble de définitionD de
f .
A - 2)f est-elle dérivable en 0 ?
A - 3) Justifier quef est de classe
C^1 sur
[0; 1[ .
A - 4) Dresser le tableau de variations def .
On y fera apparaître les différentes limites et la valeur def(e) .
B_– - Etude de la suite
v telle que
v_0 = 3 et
∀n ∈ ℕ, v_(n + 1) = (v_n)/(ln(v_n))
B-1) Montrer que∀n ∈ ℕ, v_n ≥ e .
B-2) Justifier que la suitev converge et déterminer sa limite.
B - 3) Montrer que∀x ≥ e, 0 ≤ f^′(x) ≤ 1/4 .
B-4) Enoncer l'inégalité des accroissements finis.
B - 5) Montrer que∀n ∈ ℕ, |v_n − e| ≤ 1/(4^n) .
B-6) Sachant que4^5 > 1000 , déterminer un entier
n_1 à partir duquel
v_n est une valeur approchée de
e à
10^(− 12) près.
C - Etude de la fonction g telle que g(x) = (x^2 − 1)/(xln(x))_–
C-1) On admet que, surD∖{0}, g^′(x) = (1 + x^2)/(x^2 ln^2(x))h(x) avec
h(x) = ln(x) + (1 − x^2)/(1 + x^2) . Etudier les variations de
g .
A - 1) Obtenir l'ensemble de définition
A - 2)
A - 3) Justifier que
A - 4) Dresser le tableau de variations de
On y fera apparaître les différentes limites et la valeur de
B-1) Montrer que
B-2) Justifier que la suite
B - 3) Montrer que
B-4) Enoncer l'inégalité des accroissements finis.
B - 5) Montrer que
B-6) Sachant que
C-1) On admet que, sur
C-2) Déterminer la limite de
g en 1 .
C - 3) Déterminer la position relative de la courbe représentative deg par rapport à celle de
f . Déterminer l'aire du domaine plan délimité par les courbes représentatives de
f et de
g ainsi que par les droites d'équation
x = 2 et
x = e .
C - 3) Déterminer la position relative de la courbe représentative de
D - Tracé d'une courbe paramétrée
On considère
(Γ) la courbe donnée par le paramétrage
{x(t) = f(t); y(t) = g(t) pour
t décrivant
D∖{0} .
D-1) Déterminer les asymptotes de (Γ ) ainsi que la position relative de (
Γ ) par rapport à celles-ci.
D - 2) Tracer la courbe (Γ ) en précisant la tangente au point de paramètre
t = e .
D-1) Déterminer les asymptotes de (
D - 2) Tracer la courbe (
E - Solutions d'une équation différentielle
On
note (E_1) l'équation différentielle − x^2 z^′(x) + xz^–(x) = z^2(x) .
On recherche les fonctionsz solutions de
(E_1) sur
K = ]1; + ∞[ et qui ne s'annulent pas sur
K .
E - 1) On posey = 1/z . Vérifier que
y est solution sur
K d'une équation différentielle linéaire du premier ordre (
E_2 ) .
E - 2) Résoudre (E_2 ) sur
K . On vérifiera ensuite que ces solutions sont de la forme
g_a : x ⟼ (ln(ax))/x . Vérifier que, pour
a > 1, g_a ne s'annule pas sur
K . On a donc ainsi
z(x) = x/(ln(ax)) .
E - 3) Poura > 0 , on note
(C_a) la courbe représentative de la fonction
f_a : x ⟼ x/(ln(ax)) .
Montrer que (C_a ) est l'image de (
C_1 ) par une homothétie de centre 0 dont on précisera le rapport.
On recherche les fonctions
E - 1) On pose
E - 2) Résoudre (
E - 3) Pour
Montrer que (
F - Etude d'une fonction définie à l'aide d'une intégrale
On pose
H(x) = 1/x∫_0^x f(t)dt .
F - 1) Déterminer l'ensemble de définitionJ de
H .
F-2) Etudier la limite deH en 0.
F - 3) Justifier qu'il existe un réela dans
]0; 1] tel que
F - 1) Déterminer l'ensemble de définition
F-2) Etudier la limite de
F - 3) Justifier qu'il existe un réel
En déduire la limite de
H à gauche en 1 .
Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte ce sujet de mathématiques Petites Mines MPSI 2005 ?Afficher ou masquer la section
Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte ce sujet de mathématiques Petites Mines MPSI 2005 ?
Sur quels chapitres porte ce sujet de mathématiques Petites Mines MPSI 2005 ?
Il porte sur la géométrie de l'espace, les applications linéaires et le produit vectoriel pour le problème d'algèbre, et sur l'étude de fonctions, les suites récurrentes et les équations différentielles pour le problème d'analyse.
Les deux problèmes sont-ils indépendants ?
Oui, le problème d'algèbre et de géométrie et le problème d'analyse sont entièrement indépendants ; à l'intérieur du problème d'algèbre, les parties A, B, C et D sont elles-mêmes indépendantes.
Ce sujet est-il faisable en première année ?
Oui, il correspond au programme de première année MPSI : géométrie de l'espace, applications linéaires élémentaires, étude de fonctions et équations différentielles du premier ordre.
Que montre la suite étudiée dans le problème d'analyse ?
La partie B montre que la suite récurrente v_{n+1} = v_n / ln(v_n) converge vers le nombre e, avec une majoration explicite de l'erreur qui permet de calculer une valeur approchée de e à 10^-12 près.
Pas de description pour le moment