Petites Mines Mathématiques (MPSI) Sup 2007Sujet et corrigé

Prouver que $f$ et $g$ sont $C^\infty$ sur $ℝ_+^*$ et que pour tout $t \in ℝ_+^*, tf^'(t) = g(t)$ .
Montrer que $g$ est prolongeable par continuité en 0 et que le prolongement (encore noté $g$ ) est dérivable en 0 .
Faire un tableau de variations de $g$ sur $ℝ_+$ , en faire un graphe sachant que $e^(- 1) ≃ 0, 36$ à $10^(- 2)$ près.
Soit $H$ la primitive sur $ℝ_+^*$ de $t \mapsto g(1/t)$ , s'annulant en 1 :
4.a. Calculer $H$ .
4.b. En former un développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 1 .
Soit $n \geq 3$ un entier naturel. On introduit l'équation $(E_n) : f(t) = t/n$ , d'inconnue $t \in ℝ_+^*$ .
5.a. En utilisant la question $3$ , montrer que ( $E_n$ ) a une unique solution dans $]0, 1[$ , que l'on notera $α_n$ . On montrerait identiquement (mais ce n'est pas à faire) que ( $E_n$ ) admet une unique solution dans $]1, + \infty[$ , que l'on notera $β_n$ .
5.b. Montrer que les suites $(α_n)_(n \geq 3)$ et $(β_n)_(n \geq 3)$ sont monotones.
5.c. Est-il possible que l'une des deux suites converge vers une limite $l > 0$ ? En déduire leurs limites.

On étudie ici, dans un repère orthonormal d'origine

O

, la courbe paramétrée définie sur

ℝ_+^*

par le point

M(t)

de coordonnées

{x(t) = f^′(t) = (exp(− 1/t))/(t^2); y(t) = g(t) = (exp(− 1/t))/t

6. Déterminer les valeurs de

t

pour lesquelles

M(t)

se situe sur la première bissectrice du plan d'équation cartésienne

y = x

.
7. Étudier la limite de la pente de la droite

(OM(t))

lorsque

t

tend vers

0^+

+ \infty

.
8. En utilisant la question 3, faire un tableau de variation de

x

y

sur

ℝ_+^*

avec limites aux bornes

0^+

+ \infty

.
9. En utilisant les deux questions précédentes, tracer la courbe en repérant les tangentes verticales ou horizontales, on pourra utiliser que

4e^(- 2) ≃ 0, 54

10^(- 2)

près.

Partie C —Fonctions définies par des intégrales

On prolonge maintenant

f

ℝ_+

en posant

f(0) = 0

.
10. Montrer que l'application

f

ainsi prolongée est de classe

C^1

sur

ℝ_+

; préciser

f^'(0)

et montrer que l'égalité de la question 1 reste valable pour

t = 0

.
11. Soit

x \in ℝ_+^*

, on note :

F(x) = \int_0^x f(t)dt, G(x) = \int_0^x g(t)dt

11.a. Justifier l'existence de ces intégrales que l'on ne cherchera surtout pas à calculer puis montrer que

F(x) = xe^(- 1/x) - G(x)

.
11.b. En séparant l'intégrale

G(x)

en deux, montrer qu'il existe une constante

C

réelle telle que pour tout

x \geq 1

0 \leq G(x) \leq C + ln(x)

11.c. En déduire que

G(x)

est négligeable devant

x

au voisinage de

+ \infty

ainsi qu'un équivalent de

F(x)

au voisinage de

+ \infty

.
12. Résoudre sur

ℝ_+^*

l'équation différentielle

(E) : x^2 y^' + y = x^2

, l'expression générale de la solution fera apparaitre la fonction

F

Partie D — Étude qualitative d'une équation différentielle

On considère maintenant une application

y

solution de

(E) : x^2 y^' + y = x^2

cette fois sur

ℝ_+

, de classe

C^\infty

sur

ℝ_+

. Nous allons, sans aucun calcul explicite de

y

, déterminer entièrement la suite des

u_n = y^((n))(0)

à partir de l'équation

(E)

.
13. Que vaut

u_0 = y(0)

?
14. En dérivant

(E)

, calculer

u_1 = y^'(0)

u_2 = y^('')(0)

.
15. Peut-on avoir

y

de la forme :

x \mapsto αx^2 + βx + γ

avec

(α, β, γ) \in ℝ^3

?
16. Soit

n

un entier naturel.
16.a. On suppose ici

n \geq 3

. Prouver à l'aide de la formule de Leibniz que pour tout

x \in ℝ_+

x^2 y^((n + 1))(x) + (1 + 2nx)y^((n))(x) + n(n - 1)y^((n - 1))(x) = 0.

En déduire une relation de récurrence entre

u_n

u_(n - 1)

.
16.b. Donner une expression de

u_n

utilisant une factorielle, valable pour tout

n \geq 2

; en déduire les développements limités (dont on justifiera l'existence) de

y

à tout ordre au voisinage de 0 .

DEUXIÈME PROBLÈME

Dans tout ce problème, on se place dans l'espace usuel dont on notera

ℰ

l'ensemble des points,

E

l'ensemble des vecteurs et

0\to

le vecteur nul.

ℰ

est muni d'un repère orthonormal direct

ℛ = (O, i⃗, j⃗, k⃗)

, toutes les équations de l'énoncé seront relatives aux éléments de ce repère. Si

M \in ℰ

OM^(\to-) = xi⃗ + yj⃗ + zk⃗

on pourra noter

M = (x, y, z)

OM^(\to-) = (x, y, z)

On considère les ensembles

P

Q

d'équations cartésiennes :

P : x + z = 0, Q : x + y + z - 3 = 0

Partie A - Étude d'un mouvement dans l'espace

Pour tout

t \in ℝ

, on introduit le point

N(t)

ℰ

caractérisé dans

ℛ

par les coordonnées

{a(t) = (cos(t))/(\sqrt2); b(t) = sin(t); c(t) = (- cos(t))/(\sqrt2)

Prouver que $N(t)$ appartient au plan $P$ .
Donner une équation paramétrique de la droite $D$ intersection de $P$ et $Q$ . Est-il possible que $N(t) \in D$ ?
Calculer $a^2(t) + b^2(t) + c^2(t)$ . En déduire que $N(t)$ appartient à un cercle de $P$ dont on précisera le centre et le rayon.
Calculer la distance de $N(t)$ à la droite $D$ puis au plan $Q$ , on pourra vérifier que leur rapport est constant.
Prouver que pour tout $t \in ℝ : exp(it) + exp(i(t + 2π/3)) + exp(i(t - 2π/3)) = 0$ .
En déduire l'isobarycentre des points $N(t), N(t + 2π/3), N(t - 2π/3)$ .

Partie B — Construction d'un polynôme

On fixe maintenant

t \in ℝ

et on note

{s(t) = a(t) + b(t) + c(t); d(t) = a(t)b(t) + a(t)c(t) + b(t)c(t); p(t) = a(t)b(t)c(t)

.
7. Simplifier

s(t)

.
8. Linéariser le produit de fonctions trigonométriques

p(t)

.
9. Calculer

d(t)

de deux manières différentes - on pourra utiliser un résultat de la question 3.
10. On considère maintenant le polynôme

R(X) = (X - a(t))(X - b(t))(X - c(t))

, dont les racines sont donc

a(t), b(t)

c(t)

:
10.a. Dans cette question seulement

t = π/2

. Montrer sans calculer

R(X)

R^'(X)

que

R^'(0) = 0

.
10.b. Exprimer maintenant

R(X)

en fonction de

s(t), d(t), p(t)

, puis en fonction des résultats des questions précédentes.

Partie C — Endomorphismes à noyau imposé

Montrer que $P$ définit un plan vectoriel de $E$ .
Est-ce le cas pour $Q$ ? Préciser, sans preuve, la structure algébrique de $Q$ .
On introduit les vecteurs:

i⃗^' = 1/(\sqrt2)(i⃗ - k⃗), j⃗^' = j⃗, k⃗^' = 1/(\sqrt2)(i⃗ + k⃗).

Montrer que (

i⃗^', j⃗^'

) est une base orthonormale de

P

et que

k⃗^'

en est un vecteur normal. En déduire que

B^' = (i⃗^', j⃗^', k⃗^')

est une base orthonormale de l'espace.
14. On désigne par

a⃗ \cdot b⃗

le produit scalaire de deux vecteurs

a⃗

b⃗

. Soit

e⃗ \in E

. Prouver, autrement que par «c'est du cours

» »

, que ses coordonnées dans la base

B^'

sont données par :

e⃗ = (e⃗ \cdot i⃗^')i⃗^' + (e⃗ \cdot j⃗^')j⃗^' + (e⃗ \cdot k⃗^')k⃗^'

On considère ici une application linéaire $u : E \to E$ telle que $P \subset ker(u)$ .
15.a. Prouver qu'il existe $z⃗ \in E$ tel que $u(e⃗) = (e⃗ \cdot k⃗^')z⃗$ pour tout $e⃗ \in E$ .
15.b. Réciproquement, montrer qu'une application $u$ donnée par la formule précédente est un endomorphisme de $E$ tel que $P \subset ker(u)$ .
15.c. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $z⃗$ pour que $P = ker(u)$ . Donner dans ce cas le rang et l'image de $u$ .

Partie D — Matrices de projecteur

On note ici

p : E \to E

le projecteur orthogonal sur le plan

P, B

la base

(i⃗, j⃗, k⃗)

B^' = (i⃗^', j⃗^', k⃗^')

la base introduite à la question 13. On introduit les matrices:

M^' = (1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 0), I = (1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1)

Justifier très rapidement que $M^'$ est la matrice de $p$ dans la base $B^'$ .
Donner la matrice de passage $P$ de la base $B$ à la base $B^'$ ainsi que son inverse - on détaillera le raisonnement pour cette dernière.
Soit $M$ la matrice de $p$ dans la base $B$ :
18.a. Justifier sans calcul que $M^2 = M$ .
18.b. En déduire que pour tout $n \in ℕ$ ,

(M + I)^n = I + (2^n - 1)M

18.c. Exprimer

M

en fonction de

P, P^(- 1)

M^'

. Ensuite, calculer explicitement

M

.
19. On peut traiter cette partie sans avoir trouvé explicitement

M

. On introduit l'ensemble

ℳ

des matrices du type

M_(a, b) = aM + bI

, où

a

b

sont réels :
19.a. Montrer que l'ensemble

ℳ

muni des lois usuelles sur les matrices a une structure de

ℝ

-espace vectoriel dont on donnera une base et la dimension.
19.b. Les réels

a

b

étant donnés, exprimer

M_(a, b)

en fonction de

P, P^(- 1), I

M^'

. En déduire une forme factorisée du déterminant de

M_(a, b)

ainsi qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'elle soit inversible.
19.c. Déterminer les réels

e

f

tels que

M_(a, b) \times M_(c, d) = M_(e, f)

.
19.d. Lorsque

M_(a, b)

est inversible, exprimer son inverse sous la forme d'un élément de

ℳ

FIN DE L'ÉPREUVE

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CONCOURS COMMUN 2007 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Instructions générales :

L'emploi d'une calculatrice est interdit

PREMIER PROBLÈME

Partie A - Généralités

Partie C —Fonctions définies par des intégrales

Partie D — Étude qualitative d'une équation différentielle

DEUXIÈME PROBLÈME

Partie A - Étude d'un mouvement dans l'espace

Partie B — Construction d'un polynôme

Partie C — Endomorphismes à noyau imposé

Partie D — Matrices de projecteur

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