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QCM de mathématiques sur cinq thèmes : moyenne intégrale, inversion géométrique, suites récurrentes, produit scalaire fonctionnel et équations aux dérivées partielles
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Ce sujet est un questionnaire à choix multiples composé de cinq exercices indépendants : l'opérateur de moyenne intégrale d'une fonction, l'inversion géométrique et une courbe définie par un produit de distances constant, l'étude d'une fonction et d'une suite récurrente associée, la décomposition en fonctions paires et impaires avec un produit scalaire intégral, et la classification des équations aux dérivées partielles linéaires du second ordre à coefficients constants.

  1. 1Exercice 1 : opérateur de moyenne intégraleOn étudie l'endomorphisme qui à une fonction continue associe sa valeur moyenne intégrale, sa dérivabilité, son noyau, et sa restriction aux polynômes exprimée dans une base adaptée.
  2. 2Exercice 2 : inversion géométrique et lemniscateOn étudie la courbe définie par un produit de distances constant à deux points fixes, son équation polaire, puis l'inversion de pôle et de rapport donnés et son action sur une conique.
  3. 3Exercice 3 : étude d'une fonction et suite récurrenteOn étudie la bijectivité de la fonction t^p + pt, sa réciproque, puis la convergence d'une suite définie par une relation de récurrence associée à cette fonction.
  4. 4Exercice 4 : fonctions paires et impaires, produit scalaireOn établit la décomposition d'une fonction en somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire, puis on étudie l'orthogonalité de ces deux sous-espaces pour un produit scalaire intégral.
  5. 5Exercice 5 : équations aux dérivées partielles du second ordreOn classe les équations aux dérivées partielles linéaires à coefficients constants selon le signe du discriminant et on détermine la forme générale de leurs solutions par changement de variables.

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CONCOURS DE RECRUTEMENT D'ELEVES PILOTE DE LIGNE

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée : 2 Heures
Coefficient : 1

CALCULATRICE AUTORISÉE

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

AVERTISSEMENT

QUESTIONS LIÉES
Exercice 1 : Questions 1 à 12
Exercice 2 : Questions 13 à 22
Exercice 3 : Questions 23 à 27
Exercice 4 : Questions 28 à 31
Exercice 5 : Questions 32 à 36

EXERCICE 1

On note ℝ l'ensemble des réels, et a ∈ ℝ.
Soit E l'ensemble des fonctions continues sur ℝ.
On considère alors l'application φ_a définie par :
∀f ∈ E, ∀x ∈ ℝ, x ≠ a, φ_a(f)(x) = 1/(x − a)∫_a^x f(t)dt
Question 1 : Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :
A) Si ∘ note la composition de deux applications, ( E, ∘ ) est un groupe.
B) Si + note la somme de deux applications, (E, +) est un groupe commutatif d'élément neutre Id_E : x ↦ x.
C) Si . note la multiplication d'une application par un scalaire, ( E, +, .) est un ℝ-espace vectoriel de dimension infinie.
D) Si × note la multiplication de deux applications, ( E, +, × ) est un corps.
Question 2 : Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :
A) f admet une primitive, car pour toute fonction g définie sur ℝ, x ↦ ∫_a^x g(t)dt en est une primitive.
B) φ_a est prolongeable par continuité en a.
C) Pour toute f de E, φ_a(f) est prolongeable par continuité en a en posant φ_a(f)(a) = f(a).
D) Pour toute f de E, φ_a(f) est prolongeable par continuité en a en posant φ_a(f)(a) = f^′(a).
Nota Bene : Dans toute la suite, si l'on a prolongé une fonction ψ par continuité en a, on continuera à appeler ψ cette fonction ainsi prolongée.
Question 3 : On peut affirmer dès lors que :
A) φ_a définit un endomorphisme de E, puisque ∀(f, g) ∈ E^2, φ_a(fg) = φ_a(f)φ_a(g).
B) ∀(f, g) ∈ E^2, φ_a(f + g) = φ_a(f) + φ_a(g) et donc φ_a est linéaire.
C) φ_a(E) = E puisque φ_a(f) est continue sur ℝ.
D) E ⊂ φ_a(E) puisque φ_a(f) est continue sur ℝ.
Question 4 : Si on étudie la dérivabilité de φ_a(f) sur ℝ, on peut affirmer que:
A) Si x ≠ a, ∀f ∈ E, φ_a(f) est dérivable en x et sa dérivée vaut (f(x) − φ_a(f)(x))/(x − a).
B) Si x ≠ a, ∀f ∈ E, φ_a(f) est dérivable en x et sa dérivée vaut (f(x) − f(a) − φ_a(f)(x))/(x − a).
C) Si g est la fonction définie par ∀x ∈ ℝ, g(x) = |x − a| alors φ_a(g) = g/2.
D) ∀f ∈ E, φ_a(f) est dérivable en a.
Question 5 : Si f est de classe C^1 sur ℝ, la formule de Taylor-Young va nous permettre d'écrire que :
A) f(x) = f(a) − f^′(a)(a − x) + o_(x → a)(x − a)
B) f(x) = f(a) + f^′(a)(x − a) + o_(x → a)((x − a)^2)
C) Si x ≠ a, 1/(x − a)[φ_a(f)(x) − f(a)] = (f^′(a))/2 + o_(x → a)(1)
D) Si x ≠ a, 1/(x − a)[φ_a(f)(x) − f(a)] = (f^′(a))/2 + o_(x → a)(x − a)
Question 6 : Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :
A) Un théorème du cours permet d'affirmer que si h est une fonction définie sur ℝ, dérivable en tout point de ℝ sauf peut-être en un point réel a, et si de plus lim_(x → a)h^′(x) existe et est fini alors h est dérivable en a.
B) Si f est de classe C^1 sur ℝ, alors comme φ_a(f) est continue sur ℝ, dérivable en tout point réel différent de a, et que lim_(x → a)[φ_a(f)]^′(x) = (f^′(a))/2, φ_a(f) est dérivable sur ℝ.
C) Même si f est de classe C^1 sur ℝ, on ne peut être certain que φ_a(f) est de classe C^1 sur ℝ.
D) Si f est de classe C^1 sur ℝ, il est certain que φ_a(f) est de classe C^1 sur ℝ.
Question 7 : On cherche à savoir si φ_a est injective ou surjective. On peut dire que :
A) Ker(φ_a) = {f ∈ E, ∀x ∈ ℝ, ∫_a^x f(t)dt = 0}.
B) Ker(φ_a) = {f ∈ E, ∀x ∈ ℝ, f(x) = f(a)}.
C) φ_a est injective car Ker(φ_a) = {O_E}.
D) φ_a est surjective parce que pour un endomorphisme d'espace vectoriel, l'injectivité est équivalente à la surjectivité.
Question 8 : Soit b un réel. On considère g_b : {ℝ, →, ℝ; x, ↦, |x − b|.
On veut résoudre l'équation d'inconnue f :
φ_a(f) = g_b.
A) S'il existe une solution, alors elle est unique. De plus, si a = b, alors d'après la question 4, f = 2g_a.
B) S'il existe une solution f, alors elle n'est pas unique puisque toutes les fonctions de la forme f + f_0 où f_0 ∈ Kerφ_a sont encore solutions.
C) Si a ≠ b, il existe une solution puisque φ_a est surjective.
D) Si a ≠ b, il ne peut exister de solution puisque g_b n'est pas dérivable en b.
Question 9 : Soit n un entier naturel. On appelle F = ℝ_n[X] l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
On munit F de sa base canonique B = (1, X, X^2, ⋯, X^n).
On appelle ψ_a la restriction de φ_a à F, c'est à dire l'application telle que
∀P ∈ F, ψ_a(P) = φ_a(P)
A) ψ_a est un endomorphisme de F, car ∀i ∈ [ [0, n] ], ψ_a(X^i) = 1/(i + 1)∑_(k = 0)^i a^k X^(i + 1 − k).
B) Ker_a ⊂ {O_F} et ψ_a est injectif.
C) ψ_a est surjectif puisque ψ_a est injectif et que Dim(F) = n.
D) ψ_a ne peut pas être surjectif puisque φ_a ne l'est pas.
Question 10 : On considère la famille B^′ = (1, X − a, (X − a)^2, ⋯, (X − a)^n ).
On notera A (respectivement A^′ ) la matrice de ψ_a relativement à la base B (respectivement B^′ ).
P désignera la matrice de passage de B à B^′.
Pour une matrice quelconque M de taille n × p, on notera M(i, j) l'élément de M situé à la i-ème ligne et la j-ème colonne. On pourra noter M = (M(i, j))_((i, j) ∈ [ [1, n] ] × [ [1, p] ]).
(k/i) désigne le coefficient binômial (k!)/(i!(k − i)!) si k ≥ i ≥ 0 et 0 sinon.
A) B^′ est une base de F car si a est nul, on retrouve la base initiale.
B) ∀(i, k) ∈ [ [1, n + 1] ]^2, P(i, k) = (k/i)(− a)^(k − i).
C) ∀(i, k) ∈ [ [1, n + 1] ]^2, P(i, k) = (k/i)a^(k − i).
D) ((k/i)(− a)^(k − i))_((i, k) ∈ [ [1, n + 1] ]^2) ⋅ ((k/i)a^(k − i))_((i, k) ∈ [ [1, n + 1] ]^2) = I_(n + 1)
Question 11 : On peut dès lors affirmer:
A) P est inversible, car les matrices de passage sont toujours inversibles et A = P^(− 1)A^′ P.
B) P est inversible, car les matrices de passage sont toujours inversibles et A = PA^′ P^(− 1).
C) A^′ est la matrice diagonale telle que: ∀i ∈ [ [1, n + 1] ], A^′(i, i) = 1/i.
D) A^′ est la matrice diagonale telle que: ∀i ∈ [ [1, n + 1] ], A^′(i, i) = i + 1.
Question 12 : Grâce aux résultats de la question 11, on peut affirmer que :
A) ∀i ∈ [ [1, n + 1] ], Rang[(i + 1)A − I_n] = 1
B) ∀i ∈ [ [1, n + 1] ], Dim(Ker[(i + 1)A − I_n]) = 1
C) Pour tout entier naturel i, il existe une unique solution à l'équation d'inconnue Q :
ψ_a(Q) = Q/(1 + i)
D) Pour tout entier naturel i, il existe une infinité de solutions à l'équation d'inconnue
Q : ψ_a(Q) = Q/(1 + i)
FIN DE L'EXERCICE 1

EXERCICE 2

On se place dans le plan euclidien P.
On choisit deux points distincts F et F^′. On notera a = (FF^′)/2.
Le but de cet exercice est l'étude de l'ensemble L_a des points M du plan vérifiant
MF × MF^′ = a^2.
Question 13 : Soit un repère orthonormé (O, i⃗, j⃗) du plan P tel que O soit le milieu de FF^′ et i⃗ soit porté par ( FF^′ ). Alors :
A) L_a = {(x, y) ∈ ℝ^2, (x^2 + y^2)^2 = 2a^2(x^2 − y^2)}.
B) L_a = {(x, y) ∈ ℝ^2, (x^2 + y^2)^2 = 2a^2(y^2 − x^2)}.
C) L_a = {(x, y) ∈ ℝ^2, y = √(√(4a^2 x^2 + a^4) − (x^2 + a^2))}.
D) L_a = {(x, y) ∈ ℝ^2, y = √(√(4a^2 x^2 + a^4) − (x^2 + a^2)) ou y = − √(√(4a^2 x^2 + a^4) − (x^2 + a^2))}.
Question 14 : L'ensemble L_a admet pour équation en coordonnées polaires : ρ^2 = 2a^2 cos(2θ) (On ne demande pas de vérifier ce résultat qui doit être admis).
On a donc, en notant ρ(θ) l'unique solution (si elle existe) d'inconue ρ de l'équation polaire :
A) ρ(θ) = ρ(− θ) donc L_a est symétrique par rapport à l'origine du repère.
B) ρ(θ) = ρ(π − θ) donc L_a est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
C) ρ(θ) = ρ(π + θ) donc L_a est symétrique par rapport à l'axe des abscisses.
D) On peut se contenter de mener l'étude de la courbe pour θ ∈ [0, π/4] puis utiliser trois symétries minimum pour construire le reste de L_a.
Question 15 : Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :
A) θ ↦ cos(2θ) est dérivable sur [0, π/4], de dérivée négative, donc ρ(θ) est dérivable sur [0, π/4], de dérivée négative.
B) ρ(θ) est décroissante sur [0, π/4] comme composée de deux fonctions décroissantes sur [0, π/4].
C) lim_(θ → π/4)(sin(2θ))/(√(cos(2θ))) = + ∞ donc L_a admet une tangente horizontale au point (0, a).
D) L_a admet la droite d'équation y = x comme tangente et se situe au-dessus de cette tangente.
Question 16 : Si on considère l'ensemble L_a ∩ {(x, y) ∈ ℝ^2, x ≥ 0}, on voudrait connaître l'aire intérieure, notée A, à la courbe. On peut écrire que :
A) A = ∭_(ρ ∈ [0, a√(2cos(2θ))]; θ ∈ [ − π/4, π/4])dρdθ.
B) A = ∭_(ρ ∈ [0, a√(2cos(2θ))]; θ ∈ [0, π/4])2dρdθ.
C) A = a^2.
D) A = (a^2)/2.
Soit Ω un point du plan. Soit k un réel non nul.
Si AB^– note la mesure algébrique du segment [AB], on définit I_k^Ω par la donnée de M^′ = I_k^Ω(M) vérifiant :
(P1)Ω, M et M^′ sont alignés; (P2)ΩM^– × ΩM^′^– = k.
Question 17 : On peut alors affirmer :
A) I_k^Ω est une application bien définie de P dans lui-même puisque pour chaque point M de P, il existe un et un seul point M^′ vérifiant (P1) et (P2).
B) I_k^Ω est une application bien définie de P∖{Ω} puisque pour chaque point M de P, différent de Ω, il existe un et un seul point M^′ vérifiant (P1) et (P2).
C) Si k ≠ 0, I_k^Ω est une bijection de bijection réciproque I_(1/k)^Ω.
D) Si k ≠ 0, I_k^Ω est une bijection de bijection réciproque I_k^Ω.
On se ramène au plan complexe. Soit deux points N et N^′ de P tels que Ω, N et N^′ soient alignés et distincts.
On note ω, z et z^′ les affixes respectifs de Ω, N et N^′.
Question 18 : On peut alors démontrer que:
A) ΩN^– × ΩN^′^– = (z − ω)(z^′ − ω)^– = (z − ω)^–(z^′ − ω).
B) Si N^′ = I_k^Ω(N), alors z^′ = ω + k/(z − ω^–).
C) Les points fixes de I_k^Ω forment le cercle de centre Ω et de rayon √(|k|).
D) Il existe k ∈ ℝ tel que I_k^Ω ne possède qu'un point fixe unique.
Dans les questions 19 et 20, on va chercher à déterminer la composée (I_α^O)^(− 1) ∘ I_k^Ω ∘ I_α^O où α ∈ ℝ^∗.
Question 19 : Avec les notations de la question précédente, on supposera que N^′ = (I_α^O)^(− 1) ∘ I_k^Ω ∘ I_α^O(N). On peut démontrer que :
A) Si Ω = O, (I_α^O)^(− 1) ∘ I_k^Ω ∘ I_α^O = I_((α^2)/k)^O.
B) Si N est distinct de O, I_α^O(N) = Ω ⇔ z = α/ω.
C) Si Ω ≠ O et si z ∉ {0, α/(ω¯)}, alors z^′ = ((α − ωz¯))/(αω¯ + z¯(k − |ω|^2)).
D) Si Ω ≠ O et si z ∉ {0, α/ω}, alors z^′ = (α(α − ωz¯))/(αω¯ + z¯(k − |ω|^2)).
Question 20 : On supposera dans cette question que Ω ≠ O et k = |ω|^2.
On notera de plus ω = a + ib avec (a, b) ∈ ℝ^2. Il est possible de montrer que :
A) (I_α^O)^(− 1) ∘ I_k^Ω ∘ I_α^O est une application affine et son application linéaire associée est donnée par la matrice A = 1/(|ω|^2)(b^2 − a^2, − 2ab; − 2ab, a^2 − b^2) et (I_α^O)^(− 1) ∘ I_k^Ω ∘ I_α^O(O) est le point d'affixe αω.
B) A est une matrice orthogonale de déterminant négatif c'est donc une rotation vectorielle et (I_α^O)^(− 1) ∘ I_k^Ω ∘ I_α^O est une rotation.
C) A est une matrice orthogonale de déterminant négatif, c'est donc une symétrie orthogonale vectorielle et (I_α^O)^(− 1) ∘ I_k^Ω ∘ I_α^O est une symétrie orthogonale par rapport à une droite affine.
D) A possède des points fixes et est orthogonale. A ne peut donc qu'être une symétrie orthogonale vectorielle et (I_α^O)^(− 1) ∘ I_k^Ω ∘ I_α^O est une symétrie orthogonale par rapport à une droite affine.
Question 21 : On supposera dans cette question que Ω ≠ O et k ≠ |ω|^2.
Il est possible de montrer que :
A) z^′ = (αω)/(|ω|^2 − k) + (kα^2)/((|ω|^2 − k)^2)1/(z¯ − (αω¯)/(|ω|^2 − k))
B) z^′ = ω/(|ω|^2 − k) + (kα)/((|ω|^2 − k)^2)1/(z¯ − (αω¯)/(|ω|^2 − k))
C) (I_α^O)^(− 1) ∘ I_k^Ω ∘ I_α^O = I_β^S où S est le point d'affixe (αω)/(|ω|^2 − k) et (kα^2)/((|ω|^2 − k)^2)
D) (I_α^O)^(− 1) ∘ I_k^Ω ∘ I_α^O = I_β^S où S est le point d'affixe (αω)/(|ω|^2 − k) et (kα)/((|ω|^2 − k)^2)
Question 22 : On considère la conique C_a définie par x^2 − y^2 = 2a^2.
On peut alors affirmer :
A) La nature de C_a dépend de la valeur de a. Plus précisément, c'est une ellipse si a < (√2)/2, une hyperbole si a > (√2)/2.
B) Une équation polaire de C_a est ρ^2 cos(2θ) = 2a^2, θ ∈ ]0, π/2[ ∪ ]π, (3π)/2[.
C) Si on note M ≠ O un point de L_a et M^′ un point de la conique C_a tels que (i⃗, OM^(→−)) = (i⃗, OM^′^(→−))[π], alors OM^– × OM^′^– = 2a^2.
D) I_1^O(C_((√2)/2)) = L_((√2)/2)

FIN DE L'EXERCICE 2

EXERCICE 3

Dans cet exercice, p désigne un réel strictement positif et f est l'application définie par :
∀t > 0, f(t) = t^p + pt.
f est prolongeable par continuité en 0 par la valeur f(0) = 0. On continuera à appeler f l'application de ℝ^+ainsi définie.
Question 23 : On peut affirmer que:
A) f est dérivable sur ℝ^+de dérivée : ∀t ∈ ℝ^+, f^′(t) = pt^(p − 1) + p > 0.
B) f est strictement croissante sur ℝ^+comme somme d'une fonction croissante sur ℝ^+ et d'une fonction strictement croissante sur ℝ^+.
C) Si f est une fonction strictement croissante définie sur ℝ^+, alors f est une bijection de ℝ^+sur f(ℝ^+).
D) Pour pouvoir affirmer qu'une fonction strictement croissante est une bijection de ℝ^+ sur f(ℝ^+), il est nécessaire que f soit continue.
On peut en fait démontrer que f est une bijection de ℝ^+sur ℝ^+. Nous noterons g sa bijection réciproque.
Question 24 : Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont exactes :
A) g est continue, croissante et dérivable sur ℝ^+en tant que réciproque d'une fonction f continue, croissante et dérivable sur g(ℝ^+) = ℝ^+.
B) g n'est dérivable en x réel que si f est dérivable en g(x) et que f^′(g(x)) ≠ 0.
C) g est dérivable en 0 et g^′(0) vaut 1/p si p ≥ 1 et 0 si 0 < p < 1.
D) Si 0 < p < 1, g n'est pas dérivable en 0 car f n'est pas dérivable en g(0).
Dans la suite de cet exercice, a désigne un réel strictement positif fixé et on note alors
∀t ∈ ℝ_+^∗, φ(t) = ((p − 1)t^p + a)/(p(t^(p − 1) + 1))
Si φ admet un éventuel prolongement par continuité en 0 , alors on appellera encore φ ce prolongement.
Question 25 : On peut dès lors affirmer que
A) ∀p > 0, φ(t) ∼ _0(p − 1)/pt et φ est prolongeable pas continuité en 0 par φ(0) = 0.
B) Pour p > 1, φ n'est pas prolongeable par continuité en 0 .
C) ∀t ∈ ℝ_+, φ(t) − t = (f(t) − a)/(f^′(t)).
D) Si 0 < p < 1, les seules solutions positives à l'équation φ(t) = t sont 0 et g(a).
Dans la suite de cet exercice, on considère une suite (u_n)_(n ∈ ℕ) de réels satisfaisant à la relation de récurrence u_(n + 1) = φ(u_n).
Question 26 : Dans cette question on suppose que 0 < p < 1.
On peut alors montrer que :
A) p√(a/(1 − p)) > g(a) et φ([0, p√(a/(1 − p))]) ⊂ [0, g(a)].
B) La suite (u_n)_(n ∈ ℕ) est bien définie et ceci quel que soit le choix de u_0 > 0.
C) Si u_0 ∈ [0, p√(a/(1 − p))], alors (u_n)_(n ∈ ℕ) est monotone.
D) Si u_0 ∈ [0, p√(a/(1 − p))], alors (u_n)_(n ∈ ℕ) converge vers p√(a/(1 − p)).
Question 27 : Dans cette question, on suppose que p > 1 et u_0 = a/p.
Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :
A) g(a) < a/p et pour tout t ∈ [g(a), a/p], |φ^′(t)| ≤ (p − 1)/p.
B) Le théorème des accroissements finis dit que si φ est continue sur [g(a), a/p] et dérivable sur ]g(a), a/p[, alors il existe θ ∈ ]g(a), a/p[ tel que
∀(t, t^′) ∈ ]g(a), a/p[^2, t ≠ t^′, (|φ(t) − φ(t^′)|)/(|t − t^′|) = φ^′(θ).
C) ∀n ∈ ℕ, |u_(n + 1) − g(a)| ≤ ((p − 1)/p)^(n + 2)|u_0 − g(a)|.
D) L'inégalité |(p − 1)/p| ≤ 1 est suffisante pour affirmer que (u_n)_(n ∈ ℕ) converge vers g(a).
FIN DE L'EXERCICE 3

EXERCICE 4

On notera dans cet exercice E l'espace vectoriel des fonctions définies et continues de [ − 1, 1] sur ℝ.
P (respectivement I ) désignera, dans la suite de l'exercice, l'ensemble des fonctions définies, continues et paires (respectivement impaires) de [ − 1, 1] sur ℝ.
Question 28 : On peut alors affirmer que :
A) P n'est pas un sous-espace vectoriel de E car si λ < 0 et f ∈ P alors λf ∈ I.
B) Il n'existe pas de fonction à la fois paire et impaire sur [ − 1, 1].
C) E = P ⊕ I car P ∩ I = ∅ et dim(E) = dim(P) + dim(I).
D) E = P ⊕ I car ∀f ∈ E, ∀x ∈ ℝ, f(x) = (f(x) + f(− x))/2 − (f(x) − f(− x))/2 et que cette écriture de f comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire est unique.
Question 29 : On définit l'application φ par: ∀(f, g) ∈ E × E, φ(f, g) = ∫_(− 1)^1 f(t)g(t)dt.
Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies?
A) φ est bien définie car elle s'applique à des fonctions continues sur ] − 1, 1[.
B) Si f est continue par morceaux sur [ − 1, 1] et positive, alors ∫_(− 1)^1 f(t)dt = 0 ⇒ f = 0.
C) φ est une forme bilinéaire, symétrique, définie positive; c'est donc un produit scalaire et (E, φ) est un espace vectoriel euclidien.
D) φ est une forme bilinéaire, symétrique, définie positive; c'est donc un produit scalaire mais ( E, φ ) n'est pas un espace vectoriel euclidien.
Question 30 : On choisit dans cette question (f, g) ∈ P × I. Si on note, pour A un sous-espace vectoriel quelconque de E, A^⊥ l'orthogonal de A, on peut écrire que :
A) ∫_(− 1)^0 f(t)g(t)dt = − ∫_0^1 f(t)g(t)dt.
B) ∫_(− 1)^0 f(t)g(t)dt = ∫_0^1 f(t)g(t)dt.
C) À ce stade du raisonnemen : P ⊂ I^⊥ ou I ⊂ P^⊥.
D) À ce stade du raisonnement : P ⊂ I^⊥ et I ⊂ P^⊥.
Question 31 : Si f ∈ P^⊥, on peut donc écrire que :
A) Comme f ∈ E, il existe (f_P, f_I) ∈ P × I tel que f = f_P + f_I et ∀g ∈ P, φ(f_I, g) = 0.
B) Comme f ∈ E, il existe (f_P, f_I) ∈ P × I tel que f = f_P + f_I et ∀g ∈ I, φ(f_P, g) = 0.
C) En choisissant judicieusement g, P^⊥ ⊂ I et P^⊥ = I.
D) Le cosinus hyperbolique est la projetion orthogonale sur P de la fonction exponentielle.

EXERCICE 5

Soit (a, b, c) ∈ ℝ^3, c ≠ 0 et (a, b) ≠ (0, 0) et l'on considère l'équation aux dérivées partielles suivante, d'inconnue f de classe au moins C^2(ℝ^2) :
a(∂^2 f)/(∂x^2) + b(∂^2 f)/(∂x∂y) + c(∂^2 f)/(∂y^2) = 0
On effectue le changement de variable suivant : u = x + αy et v = x + βy où (α, β) ∈ ℝ^2.
On posera dans la suite de cet exercice g(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)), P = a + bX + cX^2 et K = 2a + b(α + β) + 2cαβ.
Question 32 : On peut alors affirmer que :
A) L'application H : ℝ^2, → ℝ^2; (x, y), ↦ (u, v) est bijective si et seulement si α ≠ β et sous cette condition, H et H^(− 1) sont de classe C^∞(ℝ^2).
B) (∂g)/(∂v) = α(∂f)/(∂x) + β(∂f)/(∂y) et (∂g)/(∂u) = (∂f)/(∂x) + (∂f)/(∂y)
C) (∂f)/(∂y) = (∂g)/(∂u) + β(∂g)/(∂v) et (∂f)/(∂x) = α(∂g)/(∂u) + (∂g)/(∂v)
D) g vérifie l'équation P(α)(∂^2 g)/(∂u^2) + K(∂^2 g)/(∂u∂v) + P(β)(∂^2 g)/(∂v^2) = 0 (E^′).
On se place, dans les questions 33 et 34, dans le cas où b^2 − 4ac > 0.
Question 33 : On peut alors affirmer que :
A) P possède deux racines distinctes r_1 et r_2 vérifiant r_1 + r_2 = − a/c et r_1 r_2 = b/c.
B) P possède deux racines distinctes r_1 et r_2. On peut donc choisir deux réels α et β différents et tels que P(α) = P(β) = 0 et K ≠ 0.
C) K = P^′(α) + P^′(β) et pour que K soit nul, il faudrait que α et β soient racines doubles de P, ce qui est ici impossible. Donc K ≠ 0, pour tout α ≠ β.
D) g vérifie l'équation (∂^2 g)/(∂u∂v) = 0.
Question 34 : On est toujours dans le cas où b^2 − 4ac > 0. On peut dire que :
A) On a (∂g)/(∂u) = M où M est une constante réelle.
B) On a (∂g)/(∂u) = M(u) + N où M est une fonction de classe au moins C^1(ℝ) et N une constante réelle.
C) Les fonctions solutions de ( E ) sont toutes de la forme f(x, y) = h_1(x + r_1 y) + h_2(x + r_2 y) où h_1 et h_2 sont des fonctions arbitraires de classe au moins C^2(ℝ) et r_1 et r_2 sont les deux racines du polynôme P.
D) Les fonctions solutions de ( E ) sont toutes de la forme f(x, y) = h_1(x + r_1 y) ⋅ h_2(x + r_2 y) où h_1 et h_2 sont des fonctions arbitraires de classe au moins C^2(ℝ) et r_1 et r_2 sont les deux racines du polynôme P.
On se place, dans les questions 35 et 36, dans le cas où b^2 − 4ac = 0.
Question 35 : On peut alors affirmer que :
A) P ne possède plus qu'une racine double r, mais le raisonnement précédent reste correct et on a : les fonctions solutions de (E) sont toutes de la forme f(x, y) = h(x + ry) où h est une fonction arbitraire de classe au moins C^2(ℝ).
B) P ne possède plus qu'une seule racine double r, et en choisissant α = r et β = 0, on obtient K = 0.
C) P ne possède plus qu'une seule racine double r, et en choisissant α = r et β = 0, on obtient K ≠ 0.
D) P ne possède plus qu'une seule racine double r, et en choisissant α = r et β = 0, on ne sait pas si K est nul ou pas (cela dépend de la valeur de r ).
Question 36 : On est toujours dans le cas où b^2 − 4ac = 0 et l'on peut affirmer que :
A) (E^′) est équivalente à (∂^2 g)/(∂v^2) = 0
B) (E^′) est équivalente à (∂^2 g)/(∂u^2) = 0
C) f(x, y) = xcos(x + ry) + sin(x + ry) où r est l'unique racine du polynôme P est solution de (E).
D) Les solutions de ( E ) sont toutes de la forme f(x, y) = x.h(x + ry) où r est l'unique racine du polynôme P et où h est une fonction de classe au moins C^2(ℝ).

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte ce QCM de maths ENAC sup 2009 ?
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Sur quels chapitres porte ce QCM de maths ENAC sup 2009 ?

Il balaie cinq thèmes indépendants : l'intégration et les endomorphismes, la géométrie du plan complexe, l'étude de fonctions et de suites récurrentes, les espaces préhilbertiens, et les équations aux dérivées partielles.

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

L'énoncé précise explicitement que les questions sont liées par exercice (exercice 1 : questions 1 à 12, exercice 2 : 13 à 22, etc.) et que les cinq exercices sont indépendants les uns des autres.

Ce sujet est-il faisable en première année ?

Certaines questions des exercices 1, 3 et 4 sur l'intégration, les fonctions et les espaces vectoriels sont accessibles en première année, mais l'exercice 5 sur les équations aux dérivées partielles dépasse le programme usuel de sup.

Quel est le format de ce sujet de mathématiques ENAC ?

C'est un questionnaire à choix multiples (QCM) où chaque question propose plusieurs assertions parmi lesquelles il faut identifier celles qui sont vraies.

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