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Petites Mines Mathématiques (MPSI) Sup 2009Sujet et corrigé

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Mathématiques, concours commun Mines Albi-Alès-Douai-Nantes MPSI 2009 : opérateurs de moyenne sur les polynômes, sphères et coniques, fonction sinus hyperbolique
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Ce sujet comporte deux problèmes indépendants. Le problème I étudie un opérateur de moyennisation sur les polynômes de degré au plus 2, calcule ses puissances par diagonalisation et montre qu'elles convergent vers l'intégrale du polynôme sur [0,1], puis étudie une famille de sphères et de droites tangentes qui balaient une quadrique de révolution. Le problème II étudie une fonction construite à partir du sinus hyperbolique, sa courbe paramétrée associée, une équation différentielle qu'elle résout, une suite définie implicitement et une fonction définie par une intégrale.

  1. 1Problème I, partie A et B : opérateur de moyenne et puissances de matriceOn étudie la linéarité de l'opérateur f de moyennisation sur les polynômes de degré au plus 2 et de la forme linéaire évaluation en 1, puis on diagonalise sa matrice pour calculer ses puissances successives.
  2. 2Problème I, partie C : preuve par récurrenceOn redémontre par récurrence directe la formule explicite de f^n(P) et on retrouve la convergence vers l'intégrale de P sur [0,1] à l'aide d'un théorème d'analyse (sommes de Riemann).
  3. 3Problème I, partie D : sphères et droites dans l'espacepremière annéeOn étudie une famille de sphères S_m, une conique intersection d'un plan et d'une quadrique, et une famille de droites tangentes à toutes les sphères et incluses dans la quadrique.
  4. 4Problème II, parties A à C : étude d'une fonction et équation différentielleOn étudie la fonction f(x) = x sh(1/x), sa courbe paramétrée associée, son prolongement continu en 0, et la résolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre.
  5. 5Problème II, parties D et E : suite implicite et fonction intégraleOn étudie une suite définie par une équation implicite faisant intervenir f, puis une fonction J définie par une intégrale de f et son tableau de variations.

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CONCOURS COMMUN 2009
DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve de Mathématiques
(toutes filières)

Lundi 18 mai 2009 de 14 h 00 à 18 h 00

Instructions générales :

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondant à l'épreuve commune de Mathématiques.

L'emploi d'une calculatrice est interdit

Remarque importante :

Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Problème I : Algèbre et Géométrie

A. Etude de deux applications

La notation ℝ_2[X] désigne le ℝ-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2 . On identifiera dans la suite de ce problème les éléments de ℝ_2[X] et leurs fonctions polynomiales associées. On note B = (1, X, X^2) la base canonique de ℝ_2[X]. On définit les deux applications suivantes:
f : ℝ_2[X], ⟶ ℝ_2[X]; P, ⟼ 1/2[P(X/2) + P((X + 1)/2)]
et
φ : ℝ_2[X], ⟶ ℝ; P, ⟼ P(1)
On rappelle aussi que l'on note f^0 = Id_(ℝ_2[X]), et pour tout n ∈ ℕ^∗, f^n = f ∘ f^(n − 1).
  1. Vérifier que f est bien à valeurs dans ℝ_2[X] et montrer que f est linéaire.
  2. Montrer que φ est linéaire.
  3. Ecrire la matrice de f dans la base B de ℝ_2[X], en indiquant les calculs intermédiaires.
  4. L'application f est-elle injective? surjective?
  5. Déterminer une base de Kerφ. Quelle est la dimension de Kerφ ?
  6. L'application φ est-elle injective? surjective?

B. Calcul des puissances successives d'une matrice

On note I_3 la matrice identité de M_3(ℝ) et A la matrice
A = (1, 1/4, 1/8; 0, 1/2, 1/4; 0, 0, 1/4)
Enfin, on note B^′ la famille de ℝ_2[X] définie par
B^′ = (1, − 2X + 1, 6X^2 − 6X + 1).
  1. Justifier que la famille B^′ est une base de ℝ_2[X].
  2. Ecrire la matrice de passage Q de B à B^′.
  3. Justifier que Q est inversible et calculer son inverse.
  4. Ecrire la matrice M de f dans la base B^′ en donnant les calculs intermédiaires.
  5. Calculer A^n pour tout n ∈ ℕ. On explicitera les neuf coefficients de A^n.
  6. Pour n ∈ ℕ et P = a + bX + cX^2 avec (a, b, c) ∈ ℝ^3, déterminer f^n(P) en fonction de a, b, c.
  7. En déduire que
∀P ∈ ℝ_2[X], lim_(n → + ∞)φ(f^n(P)) = ∫_0^1 P(t)dt

C. Une autre preuve du résultat précédent

  1. A l'aide d'un raisonnement par récurrence, démontrer que
∀P ∈ ℝ_2[X], ∀n ∈ ℕ^∗, f^n(P) = 1/(2^n)∑_(k = 0)^(2^n − 1)P((X + k)/(2^n))
  1. En déduire, en utilisant un résultat du cours d'analyse que l'on énoncera avec précision, que
∀P ∈ ℝ_2[X], lim_(n → + ∞)φ(f^n(P)) = ∫_0^1 P(t)dt

D. Etude d'une famille de sphères et d'une famille de droites

L'espace affine usuel est rapporté à un repère orthonormé direct R = (O, i⃗, j⃗, k⃗). Les différentes équations qui apparaissent dans la partie D . sont relatives au repère R. Pour tout m réel, on considère l'ensemble S_m d'équation cartésienne
S_m : x^2 + y^2 + z^2 − 2mz√2 + m^2 − 2 = 0
On appelle aussi E l'ensemble des points de l'espace vérifiant l'équation
E : x^2 + y^2 = z^2 + 2
On note enfin P le plan d'équation y = 0, c'est-à-dire le plan ( xOz ).
16. Démontrer que, pour tout m réel, S_m est une sphère dont on déterminera le centre et le rayon.
17. Montrer que l'intersection de P et de E est une conique G, dont on déterminera la nature et les asymptotes éventuelles.
18. Représenter dans le plan P la conique G.
19. Donner l'excentricité ainsi que les coordonnées du ou des foyer(s) dans le repère R de la conique G.
20. Pour tout θ ∈ ℝ, on définit la droite (D_θ) ayant pour système d'équations cartésiennes
(D_θ) : {x − zcosθ = √2sinθ; y − zsinθ = − √2cosθ
Pour tout θ ∈ ℝ, déterminer un point et un vecteur directeur de la droite ( D_θ ). On choisira un vecteur directeur dont la troisième coordonnée est égale à 1.
21. Soient θ et m deux réels quelconques. Prouver que la droite ( D_θ ) est tangente à la sphère S_m.
22. Montrer que pour tout θ ∈ ℝ, la droite (D_θ) est incluse dans E.
23. Réciproquement, montrer que si M est un point de l'ensemble E de coordonnées ( x, y, z ) dans le repère R, alors il existe θ ∈ ℝ tel que M appartienne à la droite ( D_θ ).
24. Que peut-on déduire des deux questions précédentes?

Problème II : Analyse

Dans tout ce problème, on notera sh la fonction sinus hyperbolique, ch la fonction cosinus hyperbolique et th la fonction tangente hyperbolique.

A. Etude d'une fonction

Soit f la fonction définie sur ℝ^∗ par f(x) = xsh(1/x).
  1. Etudier la parité de f.
  2. (a) Rappeler un équivalent de la fonction sh en 0 et en déduire les limites de f en + ∞ et en − ∞.
    (b) Déterminer la limite de f en 0 .
  3. Justifier que f est dérivable sur ℝ^∗ et que pour tout x ∈ ℝ^∗,
f^′(x) = [th(1/x) − 1/x] × ch(1/x)
  1. Montrer que, pour tout X ∈ ℝ_+^∗, th(X) < X.
  2. En déduire le tableau de variations de f.
  3. Donner le développement limité à l'ordre 4 en 0 de la fonction X ⟼ (sh(X))/X.
  4. En déduire qu'au voisinage de + ∞ et de − ∞, f admet un développement de la forme
f(x) = a_0 + (a_1)/x + (a_2)/(x^2) + (a_3)/(x^3) + (a_4)/(x^4) + o(1/(x^4))
où a_0, …, a_4 sont cinq réels que l'on précisera.
8. Montrer que la fonction x ∈ ℝ^∗ ⟼ f(1/x) ∈ ℝ se prolonge sur ℝ en une fonction continue notée F, puis prouver que F est dérivable sur ℝ.

B. Tracé d'une courbe paramétrée

On s'intéresse à l'arc paramétré défini pour t ≠ 0 par les équations
{x(t) = tsh(1/t); y(t) = texp(1/t)
On note Γ son support. On donne la valeur approchée sh(1) ≈ 1, 18 à 10^(− 2) près.
9. Dresser le tableau des variations des fonctions x et y sur ℝ^∗, en précisant les limites.
10. Déterminer les asymptotes de Γ et préciser la position de Γ par rapport à chacune de ses asymptotes. On résumera l'étude à l'aide de schémas.
11. Tracer l'allure de Γ, ainsi que ses asymptotes et la tangente à Γ au point M de paramètre t = 1. On prendra 2 cm comme unité en abscisses et en ordonnées.

C. Une équation différentielle

On considère l'équation différentielle ( E ) suivante, que l'on va résoudre sur différents intervalles
xy^′ + y = ch(x).
  1. Résoudre sur l'intervalle ℝ_+^∗ l'équation différentielle (E).
  2. Donner sans justification les solutions de l'équation différentielle ( E ) sur l'intervalle ℝ_−^∗.
  3. Justifier que la fonction F (définie dans la question A.8.) est l'unique fonction définie et dérivable sur ℝ qui soit solution de l'équation différentielle (E) sur ℝ.

D. Etude d'une suite

  1. Montrer que pour n ∈ ℕ^∗, l'équation
f(x) = (n + 1)/n
admet une unique solution dans ℝ_+^∗. On la note u_n.
On définit ainsi une suite (u_n)_(n ∈ ℕ^∗) que l'on va étudier dans les questions qui suivent.
16. Montrer que la suite (u_n)_(n ∈ ℕ^∗) est croissante.
17. Montrer que la suite (u_n)_(n ∈ ℕ^∗) tend vers + ∞ quand n tend vers + ∞.
18. En utilisant la question A.7., déterminer un équivalent de u_n quand n tend vers + ∞.

E. Une fonction définie par une intégrale

Pour x ∈ ℝ_+^∗, on pose J(x) = ∫_(x/2)^x f(t)dt.
19. Montrer que pour tout x ∈ ℝ, sh(2x) = 2ch(x)sh(x).
20. Justifier que J est dérivable sur ℝ_+^∗ et que pour tout x ∈ ℝ_+^∗,
J^′(x) = f(x)[1 − 1/2ch(1/x)]
  1. En déduire le signe de J^′ sur ℝ_+^∗; on exprimera le (ou les) zéro(s) de J^′ à l'aide de la fonction ln.
  2. On admet les résultats suivants:
    () lim_(x → 0^+)J(x) = + ∞,
    (    ) lim_(x → + ∞)J(x) = + ∞ et J admet au voisinage de + ∞ une asymptote d'équation y = x/2,
    (*) la courbe représentative de J est toujours "au dessus" de l'asymptote précédente.
    Donner le tableau de variations de J sur ℝ_+^∗.
  3. Tracer l'allure de la courbe représentative de J.
On donne pour le tracé : 1/(ln(2 + √3)) ≈ 0, 76 et J(1/(ln(2 + √3))) ≈ 0, 65 à 10^(− 2) près.

Fin du sujet

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de mathématiques Petites Mines MPSI 2009 ?
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Sur quels chapitres porte ce sujet de mathématiques Petites Mines MPSI 2009 ?

Il porte sur la réduction des endomorphismes et la géométrie de l'espace pour le problème I, et sur l'étude de fonctions, les fonctions hyperboliques et les équations différentielles pour le problème II.

Les deux problèmes sont-ils indépendants ?

Oui, le problème I d'algèbre et de géométrie et le problème II d'analyse sont entièrement indépendants.

Ce sujet est-il faisable en première année ?

Oui, il correspond au programme de première année MPSI : réduction élémentaire des matrices, géométrie de l'espace, étude de fonctions et équations différentielles du premier ordre.

Quel résultat commun relie les parties B et C du problème I ?

Les deux parties démontrent, par des méthodes différentes (diagonalisation puis récurrence directe), que la limite de phi(f^n(P)) est l'intégrale de P sur [0,1].

Pas de description pour le moment