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Deux problèmes : un endomorphisme différentiel sur les espaces de polynômes puis l'étude des fonctions sin(x)/x et (1-cos x)/x et de deux fonctions définies par intégrales
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Le premier problème étudie un endomorphisme φ_n construit à partir de la dérivation sur l'espace des polynômes de degré au plus n, en commençant par le cas n=1 avant de traiter le cas général puis une application géométrique avec des intersections de courbes. Le second problème étudie les fonctions F(x)=sin(x)/x et G(x)=(1-cos x)/x, puis deux fonctions définies par des intégrales à paramètre et leur lien avec F et G.

  1. 1Premier problème, partie A : étude de φ1Montrer que φ1 est un endomorphisme de R1[X], déterminer sa matrice dans deux bases, étudier sa bijectivité, calculer les puissances de sa matrice et déterminer la nature de φ1 dans un cas particulier.
  2. 2Premier problème, partie B : généralités sur φ_nMontrer que φ_n est un endomorphisme de R_n[X] et déterminer son noyau en résolvant une équation différentielle linéaire du premier ordre, selon la parité de n.
  3. 3Premier problème, partie C : intersections de courbes (cas n=2)Calculer les images par φ2 des polynômes 1, X et X² et étudier les points d'intersection des courbes associées, dont le lieu géométrique est une conique.
  4. 4Second problème, partie A : étude de deux fonctionsÉtudier la continuité, la dérivabilité, les développements limités en 0 et les zéros des fonctions F(x)=sin(x)/x et G(x)=(1-cos x)/x, puis tracer la courbe de F.
  5. 5Second problème, partie B : deux fonctions définies par des intégralesÉtudier l'existence, la parité, les limites en l'infini et la continuité de deux fonctions définies par des intégrales à paramètre, puis établir leur lien avec F et G.

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CONCOURS COMMUN 2008 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve de Mathématiques (toutes filières)

Lundi 19 mai 2008 de 14H00 à 18H00

Instructions générales :

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondant à l'épreuve commune de Mathématiques.

L'emploi d'une calculatrice est interdit

Remarque importante :

Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

PREMIER PROBLÈME

Dans tout ce problème, n désigne un entier non nul, a et b sont deux nombres réels.
La notation ℝ_n[X] désigne le ℝ-espace vectoriel des polynômes à coefficients dans ℝ et ayant un degré inférieur ou égal à n.
Pour tout P ∈ ℝ_n[X], on pose :
φ_n(P) = (X − a)(X − b)P^′ − n(X − (a + b)/2)P

Partie A : Etude de φ_1

Dans toute cette partie, on suppose que n = 1. On pose donc :
∀P ∈ ℝ_1[X], φ_1(P) = (X − a)(X − b)P^′ − (X − (a + b)/2)P
  1. Démontrer que φ_1 est un endomorphisme de ℝ_1[X].
  2. Soit B_1 = (1, X) la base canonique de ℝ_1[X]. Déterminer M_1 = Mat_(B_1)(φ_1).
  3. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur a et b pour que φ_1 soit bijective.
  4. On suppose, dans cette question seulement, que a ≠ b.
    (a). Démontrer que la famille B = {X − a, X − b} est une base de ℝ_1[X].
    (b). Calculer φ_1(X − a) et φ_1(X − b) puis déduire M = Mat_B(φ_1).
    (c). Déterminer la matrice de passage de la base B à la base B_1, notée P_(B, B_1). Déterminer de même la matrice de passage de la base B_1 à la base B, notée P_(B_1, B).
    (d). Donner, sans démonstration, une égalité reliant les matrices M, M_1, P_(B, B_1) et P_(B_1, B).
    (e). Soit p ∈ ℕ. Calculer M^p puis en déduire, grâce à la question 4.(d), une expression de M_1^p (on donnera l'expression de chacun des coefficients de cette matrice).
  5. On s'intéresse dans cette question à l'ensemble Γ = {αI_2 + βM_1 + γM_1^2 + δM_1^3, (α, β, γ, δ) ∈ ℝ^4}.
    (a). Démontrer que Γ est un sous-espace vectoriel de M_2(ℝ).
    (b). Prouver que les matrices M_1^2 et M_1^3 sont des combinaisons linéaires de M_1 et I_2.
    (c). Déterminer une base de Γ.
  6. On suppose dans cette question que a = 4 et b = 2. En utilisant les résultats de la question 5.(b), déterminer l'application φ_1^2. En déduire la nature de φ_1 et préciser ses éléments caractéristiques (on donnera une base de chacun des deux espaces vectoriels concernés).

Partie B : Quelques généralités sur φ_n

  1. Démontrer que φ_n est un endomorphisme de ℝ_n[X].
  2. On se propose dans cette question de déterminer Ker(φ_n).
On pose α = max(a, b) et on considère l'intervalle I = ]α, + ∞[.
(a). Démontrer que la fonction f : x ⟼ (2x − (a + b))/(x^2 − (a + b)x + ab) est continue sur I.
(b). Déterminer une primitive F de la fonction f sur I.
(c). Résoudre sur l'intervalle I l'équation différentielle (E) :
y^′ − (nx − n(a + b)/2)/((x − a)(x − b))y = 0
(d). On suppose que n est pair et on écrit n = 2p avec p ∈ ℕ^∗. Déduire de la question 8.(c) une base de l'espace vectoriel Ker(φ_(2p)).
(e). On suppose maintenant que n est impair et on écrit n = 2p + 1 avec p ∈ ℕ. Déduire de la question 8.(c) une base de l'espace vectoriel Ker(φ_(2p + 1) ) (On pourra discuter suivant les valeurs de a et b ).

Partie C : Intersections de courbes dans le cas où n = 2

Dans toute cette partie, on suppose que n = 2, a = b et a > 1.
On munit le plan d'un repère orthonormal R = (O, i⃗, j⃗) avec ‖i⃗‖ = ‖j⃗‖ = 1 cm.
9. Calculer φ_2(1), φ_2(X) et φ_2(X^2). Dans toute la suite, on désigne par f et g les fonctions polynômiales associées respectivement aux polynômes φ_2(1) et φ_2(X^2). On note C_f et C_g les courbes représentatives de ces deux fonctions.
10. (a). Montrer que les courbes C_f et C_g admettent exactement deux points d'intersection: les points A_a et B_a dont les coordonnées cartésiennes dans R sont respectivement A_a(a, 0) et B_a(1/a, − 2/a + 2a).
(b). Démontrer que, lorsque a varie dans ]1, + ∞[, tous les points B_a appartiennent à un même ensemble E (indépendant de a ) dont on précisera une équation cartésienne.
(c). Montrer que l'ensemble E est une conique dont on précisera (en le justifiant) la nature (aucune autre information n'est demandée sur E ).
(d). Après une rapide étude, tracer l'allure de la courbe E dans R.

SECOND PROBLÈME

On considère dans tout ce problème les deux fonctions F et G définies sur ℝ_+^∗ par :
F(x) = (sin(x))/x G(x) = (1 − cos(x))/x

Partie A : Etudes de deux fonctions

  1. (a). Montrer que les fonctions F et G sont continues sur ℝ_+^∗.
    (b). Montrer que F et G sont prolongeables par continuité en 0 . On notera encore F et G ces prolongements.
  2. (a). Montrer que les fonctions F et G sont dérivables sur ℝ_+^∗ et calculer leurs dérivées.
    (b). Démontrer, à l'aide de développements limités, que les fonctions F et G sont dérivables en 0 . Préciser les valeurs de F^′(0) et G^′(0).
  3. (a). Montrer que les réels strictement positifs tels que F(x) = 0 constituent une suite (a_k)_(k ≥ 1) strictement croissante. On donnera explicitement la valeur de a_k.
    (b). Montrer que les réels strictement positifs tels que G(x) = 0 constituent une suite (b_k)_(k ≥ 1) strictement croissante. Y-a-t'il un lien entre les suites (a_k)_(k ≥ 1) et (b_k)_(k ≥ 1) ?
  4. (a). Soit k ∈ ℕ^∗. Montrer sans calcul qu'il existe un réel x_k ∈ ]a_k, a_(k + 1)[ tel que F^′(x_k) = 0.
    (b). Montrer que la fonction F^′ est de même signe que h : x ↦ xcos(x) − sin(x) sur ℝ_+^∗.
    (c). Démontrer que pour tout k ∈ ℕ^∗, la fonction h est strictement monotone sur [a_k, a_(k + 1)].
    (d). En déduire l'unicité du réel x_k défini dans la question 4.(a).
    (e). Etablir que: ∀k ∈ ℕ^∗, x_k ∈ ]a_k, a_k + π/2[.
    (f). Calculer lim_(k → + ∞)x_k puis déterminer un équivalent simple de la suite (x_k).
  5. Tracer l'allure de la courbe représentative C_F de la fonction F lorsque l'abscisse x varie dans [0, 4π]. On se placera dans un repère orthogonal (O, i⃗, j⃗) tel que ‖i⃗‖ = 1 cm et ‖j⃗‖ = 10 cm. On fera apparaître clairement les tangentes horizontales à la courbe et on précisera les abscisses des points d'intersection de C_F avec l'axe ( O, i⃗ ).

Partie B : Deux fonctions définies par des intégrales

Dans toute cette partie, E désigne l'ensemble des fonctions de classe C^1 sur [0, 1]. Si f appartient à E, on pose, pour tout x ∈ ℝ :
I_f(x) = ∫_0^1 f(t)cos(xt)dt J_f(x) = ∫_0^1 f(t)sin(xt)dt
Soit f une fonction appartenant à E.
6. Soit x ∈ ℝ. Justifier que les deux réels I_f(x) et J_f(x) sont bien définis.
On dispose donc de deux fonctions I_f et J_f définies sur ℝ.
7. Déterminer la parité des fonctions I_f et J_f.
8. On se propose de calculer dans cette question les limites de I_f et J_f en + ∞ et en − ∞.
(a). Etablir que: ∀x > 0, I_f(x) + iJ_f(x) = (f(1)e^(ix) − f(0))/(ix) − 1/(ix)∫_0^1 f^′(t)e^(ixt)dt.
(b). Expliquer rapidement pourquoi les fonctions f et f^′ sont bornées sur [0, 1].
On posera par la suite M = sup_(x ∈ [0, 1])|f(x)| et M^′ = sup_(x ∈ [0, 1])|f^′(x)|.
(c). En déduire qu'il existe A ∈ ℝ_+tel que ∀x > 0, |I_f(x) + iJ_f(x)| ≤ A/x.
(d). A l'aide de la question 8.(c), calculer lim_(x → + ∞)(I_f(x) + iJ_f(x)).
En déduire lim_(x → + ∞)I_f(x) et lim_(x → + ∞)J_f(x).
(e). En utilisant une propriété obtenue sur les fonctions I_f et J_f, calculer lim_(x → − ∞)I_f(x) et lim_(x → − ∞)J_f(x).
9. L'objectif de cette question est de prouver que les fonctions I_f et J_f sont continues sur ℝ.
(a). Soient p et q deux réels. Rappeler la formule liant cos(p) − cos(q) à sin((p + q)/2) et sin((p − q)/2).
(b). Démontrer que: ∀u ∈ ℝ, |sin(u)| ≤ |u| (on pourra par exemple utiliser l'inégalité des accroissements finis).
(c). Soient x et y deux réels. Etablir que : |I_f(x) − I_f(y)| ≤ |x − y|∫_0^1 t|f(t)|dt.
(d). En déduire que la fonction I_f est continue sur ℝ.
Par un raisonnement analogue, on pourrait démontrer que la fonction J_f est continue sur ℝ mais ce n'est pas demandé ici.
10. A l'aide d'une fonction f judicieusement choisie, établir un lien entre les fonctions F et G de la partie A , et les fonctions I_f et J_f de la partie B.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de maths des Petites Mines 2008 ?
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Sur quels chapitres porte ce sujet de maths des Petites Mines 2008 ?

Le premier problème porte sur les endomorphismes d'espaces de polynômes, le changement de base et les équations différentielles linéaires. Le second problème porte sur l'étude de fonctions, les développements limités et les fonctions définies par des intégrales à paramètre.

Les deux problèmes de ce sujet Petites Mines 2008 sont-ils indépendants ?

Oui, ce sont deux problèmes distincts qui ne partagent pas de notations communes, chacun organisé en parties successives qui s'appuient les unes sur les autres.

Que démontre la partie B du premier problème de ce sujet Petites Mines 2008 ?

Elle détermine le noyau de l'endomorphisme φ_n en le ramenant à la résolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre, avec une discussion selon que n est pair ou impair.

Quel lien le second problème établit-il entre ses deux parties ?

La dernière question du second problème relie les fonctions F et G de la partie A aux fonctions définies par des intégrales à paramètre I_f et J_f étudiées dans la partie B, en choisissant une fonction f particulière.

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