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Petites Mines Mathématiques Sup 2010Sujet

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CONCOURS COMMUN 2010
DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES

Epreuve de Mathématiques
(toutes filières)

Lundi 17 mai 2010 de 14 h 00 à 18 h 00

Instructions générales :

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code barres correspondant à l'épreuve commune de Mathématiques.

L'emploi d'une calculatrice est interdit

Remarque importante :

Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

PREMIER PROBLEME :

PARTIE I :

On considère la fonction f définie par la relation f(x) = (ln(1 + x))/x.
  1. Déterminer l'ensemble de définition D de f.
  2. Donner le développement limité de ln(1 + x) au voisinage de 0 à l'ordre 2 .
Montrer que f admet en 0 un prolongement par continuité. On précisera par quelle valeur f est alors prolongée et on continuera à appeler f le prolongement ainsi obtenu. On appellera D^′ le nouvel ensemble de définition de f.
3) f est-elle dérivable en 0 ? Si oui, préciser f^′(0).
Calculer f^′(x) sur D puis prouver que f est de classe C^1 sur D^′.
4) Etudier les variations de f. On dressera son tableau de variations.
On pourra utiliser la fonction auxiliaire k définie par : k(x) = x − (1 + x)ln(1 + x).
5) On considère la courbe Γ définie en coordonnées polaires par : ρ = f(θ).
a) Préciser l'allure de Γ lorsque θ → + ∞ ainsi que le coefficient directeur de la tangente au point de paramètre θ = 0.
b) On pose Y(θ) = ρ(θ) ⋅ sin(θ + 1). Déterminer lim_(θ → − 1)Y(θ). On admet que le résultat de ce calcul prouve que Γ admet une asymptote d'équation y = − tan(1).x lorsque θ → − 1 et on ne demande pas de justifier cette propriété.
c) Tracer l'allure de la courbe Γ. On fera apparaître la tangente et l'asymptote évoquées ci-dessus.

PARTIE II :

Dans la suite, on s'intéressera à l'intégrale suivante : ∫_0^1 f(t)dt.
On notera L la valeur de cette intégrale mais on ne cherchera pas à calculer cette valeur.
Pour tout entier naturel n non nul on définit les polynômes
P_n(X) = X − (X^2)/2 + (X^3)/3 − (X^4)/4 + … + (− 1)^(n − 1)(X^n)/n
et Q_n(X) = X − (X^2)/(2^2) + (X^3)/(3^2) − (X^4)/(4^2) + … + (− 1)^(n − 1)(X^n)/(n^2).
6) Préciser pourquoi l'intégrale précédente est bien définie.
7) Justifier : ∀t ∈ [0, 1], 1 − t + t^2 − t^3 + … + (− 1)^(n − 1)t^(n − 1) = (1 − (− 1)^n t^n)/(1 + t).
8) En déduire: ∀x ∈ [0, 1], P_n(x) = ln(1 + x) − ∫_0^x((− t)^n)/(1 + t)dt.
Dans toute la suite on notera: ∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ [0, 1], R_n(x) = ∫_0^x((− t)^n)/(1 + t)dt.
9) Etablir la majoration : ∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ [0, 1], |R_n(x)| ⩽ (x^(n + 1))/(n + 1).
10) Comparer pour tout x ∈ ]0, 1] Q_n^′(x) et (P_n(x))/x.
11) En notant g_n l'application définie pour tout x de ]0, 1] par g_n(x) = (P_n(x))/x − (ln(1 + x))/x et par g_n(0) = 0, montrer : |Q_n(1) − L| ⩽ ∫_0^1|g_n(x)|dx ⩽ 1/((n + 1)^2).
En déduire lim_(n → ∞)Q_n(1).
12) Déterminer un entier naturel N tel que Q_N(1) approxime L à 10^(− 4) près.

PARTIE III :

On s'intéresse à présent aux dérivées successives de f, que l'on note f^((n)), n ∈ ℕ^∗.
13) Montrer que f est indéfiniment dérivable sur ]0, + ∞[.
14) Calculer f^(′′)(x) sur ]0, + ∞[.
15) Montrer que pour tout entier naturel n non nul il existe un polynôme T_n à coefficients réels et un réel a_n tels que :
∀x ∈ ℝ_+^∗, f^((n))(x) = (T_n(x))/((1 + x)^n x^n) + a_n(ln(1 + x))/(x^(n + 1)).
16) Montrer que tous les coefficients de T_n sont des entiers.
17) En utilisant la formule de Leibniz, calculer f^((n))(x) et en déduire la valeur de T_n.
On ne cherchera pas à expliciter une expression de chacun des coefficients de x^k, (k ∈ ℕ) de ce polynôme.
Vérifier cette expression pour n = 2.

SECOND PROBLEME :

Le but de ce problème est d'étudier différentes matrices qui commutent avec leur transposée, c'est-à-dire qui vérifient la relation : M.^t M = ^t M.M (1)
Dans la suite de l'énoncé, on se contentera alors de dire dans ce cas que la matrice M vérifie la relation (1).

PARTIE I :

Dans toute cette partie, toutes les matrices envisagées seront dans l'espace M_2(ℝ), c'est-à-dire ayant 2 lignes, 2 colonnes et des coefficients réels.
On notera en particulier : I = [1, 0; 0, 1], A = [0, 1; 1, 0] et C = [0, − 1; 1, 0]
  1. Montrer que les matrices A et C vérifient la relation (1).
  2. Calculer A^2. En déduire que pour tout entier naturel non nul n, A^n vérifie la relation (1).
  3. Montrer que A est inversible.
Soit u l'unique endomorphisme de ℝ^2 dont la matrice relative à la base canonique B = (i⃗, j⃗) est A.
4) Préciser les valeurs de u(i⃗) et u(j⃗) en fonction de i⃗ et j⃗.
Montrer que u est une symétrie. Préciser l'ensemble de ses vecteurs invariants.
Dans toute la suite on notera U = A + I.
5) Montrer que la matrice U vérifie la relation (1). Montrer : ∀n ∈ ℕ^∗, ∃α_n ∈ ℝ, U^n = α_n U.
En déduire que toutes ses puissances U^n, n ∈ ℕ^∗ vérifient (1).
On notera dans la suite E_2 l'ensemble des matrices de M_2(ℝ) qui vérifient la relation (1).
6) Calculer les produits de la matrice A + C et de sa transposée.
En déduire que E_2 n'est pas un sous-espace vectoriel de M_2(ℝ).
7) Etant donnée une matrice M = [a, b; c, d] quelconque de M_2(ℝ), déterminer les conditions nécessaires et suffisantes sur a, b, c et d pour que M appartienne à E_2. On donnera les deux formes possibles des matrices de E_2.
8) En déduire que E_2 est la réunion de deux sous-espaces vectoriels de M_2(ℝ), dont on précisera pour chacun une base.
9) Etant données M et N deux matrices de E_2, a-t-on nécessairement M.N ∈ E_2 ? On pourra utiliser certaines matrices introduites précédemment dans l'énoncé.

PARTIE II :

On se place ici dans l'espace M_3(ℝ), et on considère la base canonique de ℝ^3 que l'on note B^′ = (i⃗, j⃗, k⃗).
On définit alors h comme l'unique endomorphisme de ℝ^3 vérifiant : h(i⃗) = − k⃗, h(j⃗) = i⃗, h(k⃗) = j⃗ ainsi que S = Mat_(B^′)(h).
L'ensemble des matrices de M_3(ℝ) qui commutent avec leur transposée (donc qui vérifient la relation (1)) est noté E_3.
10) Représenter la matrice S.
11) Déterminer S^2 et montrer que S et S^2 sont dans E_3.
12) Montrer que pour tous réels a, b et c, la matrice R = aI_3 + bS + cS^2 appartient à E_3.
13) En déduire que E_3 contient un espace vectoriel de dimension 3 que l'on notera F.
14) Montrer que F est stable par multiplication matricielle.

PARTIE III :

On se place à présent dans l'espace M_4(ℝ), et on considère la base canonique de ℝ^4 que l'on note B^(′′) = (e_1^(→−), e_2^(→−), e_3^(→−), e_4^(→−)).
On définit la matrice Bpar : B = [1, a, 1, 1; − 1, 0, 0, 1; 1, 0, 0, − 1; 1, 1, − 1, 1]
où a est un réel quelconque, et on appelle u l'unique endomorphisme de ℝ^4 tel que Mat_B " (u) = B.
L'ensemble des matrices de M_4(ℝ) qui commutent avec leur transposée (donc qui vérifient la relation (1)) est noté E_4.
15) Déterminer les réels a tels que B ∈ E_4.
Dans toute la suite on pose a = − 1.
16) Déterminer une base de Ker(u) et de Im(u).
17) Calculer u(e_1^(→−) + e_2^(→−) − e_3^(→−) − e_4^(→−)). Que remarque-t-on?
18) Calculer B[1; 0; 0; 1] et B[1; − 1; 1; − 1]. Commenter le résultat obtenu.
19) On note C = (e_2^(→−) + e_3^(→−), e_1^(→−) + e_2^(→−) − e_3^(→−) − e_4^(→−), e_1^(→−) + e_4^(→−), e_1^(→−) − e_2^(→−) + e_3^(→−) − e_4^(→−)) et on admet sans démonstration que C est une base de ℝ^4.
Déduire des questions précédentes Mat_C(u).
En déduire l'existence d'une matrice P ∈ M_4(ℝ) que l'on précisera telle que B = PΔP^(− 1), où Δ est une matrice diagonale. On ne demande pas d'expliciter la matrice P^(− 1).
20) Montrer : ∀n ∈ ℕ^∗ B^n = PΔ^n P^(− 1). En déduire une expression simple de B^(2p) et B^(2p + 1) pour tout entier naturel p en fonction de B et B^2.

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