Petites Mines Mathématiques (Option) MPSI 2010Sujet et corrigé

.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondante.

L'emploi d'une calculatrice est interdit

Remarque importante :

Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les deux problèmes sont indépendants. Barème indicatif : même poids pour chaque problème.

PROBLÈME 1

Rappels et notations : Si

a

b

sont des réels avec

a > 0, a^b

désigne

exp(b(ln(a))

.
Par convention, on pose

0^b = 0

b > 0

, et

0^0 = 1

. Avec ces conventions, l'application

t \mapsto t^b

est continue sur

[0, 1]

b \geq 0

.
Dans tout le problème 1 , on pose pour

a

t

réels de

ℝ_+, f_a(t) = 1/(1 + t^a)

.
Les graphes demandés seront tracés dans

ℝ^2

muni du repère orthonormé usuel

(O, i⃗, j⃗)

avec

O = (0, 0)

i⃗ = (1, 0)

j⃗ = (0, 1)

Étude de courbes paramétrées

Dans cette partie,

a

b

sont des réels fixés de

[1, + \infty[

.
On se propose d'étudier l'arc paramétré

Γ_(a, b) = (I, F)

avec

I = [0, + \infty[

F

définie sur

I

par :

F(t) = (x(t), y(t))

où

x(t) = f_a(t) = 1/(1 + t^a)

y(t) = f_b(t) = 1/(1 + t^b)

Quel est le support de $Γ_(a, b)$ si $a = b$ ?
Quel est le lien géométrique entre les supports de $Γ_(a, b)$ et de $Γ_(b, a)$ ?
Étudier les variations de l'application $f_a$ sur $I$ .

Dans toute la suite de cette partie, on suppose que $1 \leq a < b$ .

Calculer $f_a(t) + f_a(1/t)$ pour $t > 0$ .
Que peut-on en déduire pour le support de $Γ_(a, b)$ privé de $(1, 1)$ ?
Donner le tableau de variations de $F$ sur $I$ .
Préciser l'allure locale au voisinage de $t = 0$ et de $t = + \infty$ du support de $Γ_(a, b)$ et illustrer ces allures locales par un schéma.
Montrer que le développement limité au voisinage de $t = 1$ à l'ordre 3 pour $f_a$ est de la forme :

f_a(t) = 1/2 - a/4(t - 1) + α(t - 1)^2 + β(t - 1)^3 + o((t - 1)^3)

où

α

β

sont des réels que l'on exprimera en fonction de

a

.
9) En déduire l'allure locale du support de

Γ_(1, 2)

au voisinage de

t = 1

. On précisera un vecteur directeur de la tangente en ce point.
10) Tracer l'allure du support de

Γ_(1, 2)

Fonction définie par une intégrale

Dans cette partie on pose, pour

x \in ℝ_+, φ(x) = \int_0^1 f_x(t)dt = \int_0^1 1/(1 + t^x)dt

.
11) Calculer

φ(0), φ(1)

φ(2)

.
12) Sans utiliser de dérivée, montrer que

φ

est croissante sur

ℝ_+

.
13) Montrer que si

x

y

sont dans

ℝ_+

avec

x \leq y

|φ(x) - φ(y)| \leq \int_0^1(t^x - t^y)dt \leq y - x

En déduire que $φ$ est continue sur $ℝ_+$ .
Montrer que pour $x \geq 0$ , on a $1 - φ(x) = \int_0^1(t^x)/(1 + t^x)dt$ .
En majorant l'intégrale $\int_0^1(t^x)/(1 + t^x)dt$ , en déduire que $lim_(x \to + \infty)φ(x) = 1$ .
À l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour $x \geq 0$ :

φ(x) = 1/2 + x\int_0^1(t^x)/((1 + t^x)^2)dt

Déterminer la pente de la demi-tangente au point d'abscisse 0 pour la courbe représentant $φ$ .
Esquisser l'allure de la courbe représentative de $φ$ sur $[0, + \infty[$ .
En utilisant l'expression de la question 15) et une intégration par parties, trouver un équivalent de $φ(x) - 1$ au voisinage de $+ \infty$ .

PROBLÈME 2

Définitions et notations : on désigne par

𝒫

l'ensemble des nombres premiers :

𝒫 = {2, 3, 5, 7, 11, \dots}

. Si

n

p

sont deux entiers naturels, on note

n|p

lorsque

n

divise

p

On désigne par

ℳ_3(ℝ)

l'ensemble des matrices carrées de taille 3 à coefficients réels. On note

I_3

la matrice identité de

ℳ_3(ℝ)

.
Si

M = (a, ⋆, ⋆; ⋆, b, ⋆; ⋆, ⋆, c) \in ℳ_3(ℝ)

, le réel

a + b + c

est appelé trace de

M

et noté

tr(M)

.
Les parties de ce problème sont dépendantes mais le candidat pourra admettre les résultats qui y sont montrés pour aborder une partie suivante.

Théorème de Fermat

Soit $p \in 𝒫$ et soit $k$ entier avec $1 \leq k \leq p - 1$ . Montrer que :

k(p/k) = p((p - 1)/(k - 1))

et en déduire que :

p| (p/k)

Montrer que :

\foralla \in ℕ, \forallp \in 𝒫, p|(a^p - a)

On pourra raisonner par récurrence sur

a

.
On note, pour

M

dans

ℳ_3(ℝ), det(M)

le déterminant de

M

et on admettra que si

M

est à coefficients entiers,

det(M)

est un entier.
23) Montrer que les matrices

M

ℳ_3(ℝ)

à coefficients entiers qui vérifient

\forallp \in 𝒫, p|det(M^p)

sont exactement les matrices non inversibles à coefficients entiers.

Étude d'un ensemble de matrices

On note

𝒜

l'ensemble :

𝒜 = {(a, 0, 0; 0, b, c; 0, − c, b), (a, b, c) ∈ ℝ^3}}}{{

Montrer que $𝒜$ est un $ℝ$ -espace vectoriel. Quelle est la dimension de cet espace ?
Montrer que $𝒜$ est un anneau commutatif.

Dans la suite de ce problème, on désigne par

M

la matrice :

M = (- 2, 0, 0; 0, 1, 1; 0, - 1, 1)

.
26) Justifier que (

I_3, M, M^2

) est une base de

𝒜

.
27) Exprimer

M^3

en fonction de

I_3

M

Étude d'une suite

Dans cette partie, on désigne par

u

la suite définie par :

u_0 = 3, u_1 = 0, u_2 = 4, \foralln \in ℕ, u_(n + 3) = 2u_(n + 1) - 4u_n

On se propose de montrer que

\forallp \in 𝒫, p|u_p

.
On pose, pour

k \in ℕ, M^k = (a_k, 0, 0; 0, b_k, c_k; 0, - c_k, b_k)

.
28) Justifier, pour

k \in ℕ

, l'existence de

a_k, b_k

c_k

.
29) Trouver une relation de récurrence vérifiée par la suite (

a_k

) seule et deux relations de récurrence liant les suites

(b_k)

(c_k)

.
30) En déduire, pour

k

dans

ℕ, a_k

en fonction de

k

.
31) Pour

k \in ℕ

, on appelle

z_k

le nombre complexe

z_k = b_k + ic_k

avec

i^2 = - 1

Exprimer

z_(k + 1)

en fonction de

z_k

et montrer que

b_k = Re((1 + i)^k)

.
32) Retrouver ce dernier résultat en trouvant une relation de récurrence vérifiée par la suite

(b_k)

.
33) Justifier que :

\foralln \in ℕ, u_n = tr(M^n)

Montrer que :

\forallp \in 𝒫, p|u_p

Étude d'un coefficient

Dans cette partie, on pose

e_1 = (1, 2, - 1), e_2 = (2, 1, 0)

e_3 = (- 1, 1, 2)

.
On munit

ℝ^3

de son produit scalaire usuel :
si

X = (x, y, z)

X^' = (x^', y^', z^')

sont dans

ℝ^3

, on pose (

X|X^'

) =

xx^' + yy^' + zz^'

.
Si

u

est un endomorphisme de

ℝ^3

, on pose

c(u) = (u(e_1)|e_1) + (u(e_2)|e_2) + (u(e_3)|e_3)

.
35) Montrer que (

e_1, e_2, e_3

) est une base de

ℝ^3

notée

ℬ

Jusqu'à la fin de ce problème,

u

désigne un endomorphisme de

ℝ^3

, dont la matrice dans la base

ℬ

est :

diag(λ_1, λ_2, λ_3) = (λ_1, 0, 0; 0, λ_2, 0; 0, 0, λ_3)

où

λ_1, λ_2

λ_3

sont des entiers naturels.
36) Que vaut

c(u)

et plus généralement

c(u^k)

pour

k \in ℕ

?
37) On suppose que :

\forallp \in 𝒫, p|c(u^p)

En utilisant la question 22), montrer que

u

est nul.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Petites Mines Mathématiques (Option) MPSI 2010

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...

Explorer les annales

Téléchargements

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

CONCOURS COMMUN 2010 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI)

Instructions générales :

L'emploi d'une calculatrice est interdit

Remarque importante :

Les deux problèmes sont indépendants. Barème indicatif : même poids pour chaque problème.

PROBLÈME 1

Étude de courbes paramétrées

Dans toute la suite de cette partie, on suppose que 1 ≤ a < b.

Fonction définie par une intégrale

PROBLÈME 2

Théorème de Fermat

Étude d'un ensemble de matrices

Étude d'une suite

Étude d'un coefficient

Commentaires• Petites Mines Mathématiques (Option) MPSI 2010

Commentaires• Petites Mines Mathématiques (Option) MPSI 2010

CONCOURS COMMUN 2010
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve spécifique de Mathématiques
(filière MPSI)

Dans toute la suite de cette partie, on suppose que $1 \leq a < b$ .