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Petites Mines Mathématiques Sup 2006Sujet

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Étude d'une fonction complexe et d'une conique associée, polynôme à racines entières, ensembles de matrices 2x2, et étude d'une fonction trigonométrique et d'une courbe polaire
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Le premier problème étudie une fonction complexe f(z) = z²/(z-2i), le nombre de ses antécédents, puis une courbe plane Gamma définie à l'aide de f identifiée comme une conique, avant d'étudier un polynôme à trois racines entières et deux ensembles de matrices 2x2. Le deuxième problème étudie une famille de fonctions f_n(x) = sin(x)/(2-cos(x)) - x/n, en particulier f_0 dont on trace la courbe, une équation différentielle associée, une courbe polaire correspondante, et la convergence d'une suite de zéros de f_n.

  1. 1Problème 1, questions 1 à 8 : étude de f et de la conique GammaOn étudie le domaine de définition, l'injectivité et la surjectivité de f(z) = z²/(z-2i), puis on identifie la courbe Gamma définie à partir d'une fonction g liée à f comme une conique dont on précise la nature et les éléments caractéristiques.
  2. 2Problème 1, questions 9 à 13 : polynôme à racines entièresOn détermine la valeur de l'entier a pour laquelle le polynôme P_a possède trois racines entières, à l'aide des relations entre coefficients et racines.
  3. 3Problème 1, questions 14 à 21 : ensembles de matrices et endomorphisme associéOn étudie l'inversibilité des matrices M_x,y, la structure d'espace vectoriel d'un ensemble de matrices translaté, puis l'endomorphisme de multiplication par une matrice fixée.
  4. 4Problème 2 : étude de la fonction f_0, équation différentielle et courbe polaireOn étudie les variations de f_0(x) = sin(x)/(2-cos(x)), on en déduit une primitive et la résolution d'une équation différentielle associée, puis on étudie la courbe polaire correspondante et la convergence d'une suite de zéros de f_n.

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CONCOURS COMMUN 2006 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve de Mathématiques
(toutes filières)

Jeudi 11 mai 2006 de 14h00 à 18h00

Instructions générales :

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondante.

L'emploi d'une calculatrice est interdit

PREMIER PROBLÈME

ℝ désigne l'ensemble des nombres réels. On notera M_2(ℝ) l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels. On rappelle que ( M_2(ℝ), +, .) est un espace vectoriel sur ℝ et × désigne la multiplication des matrices.
ℂ désigne l'ensemble des complexes. On notera |z| le module d'un complexe z.
Les différentes parties de ce problème ont un lien entre elles mais peuvent être traitées séparément.

Étude d'une fonction.

Soit f la fonction qui à un complexe z associe, lorsque c'est possible, f(z) = (z^2)/(z − 2i).
  1. Déterminer le domaine de définition D de f
  2. a. Déterminer les racines carrées complexes de 8 − 6i.
    b. En déduire tous les antécédents de 1 + i par f.
  3. Soit h un complexe. Discuter suivant les valeurs de h le nombre d'antécédents de h par f.
  4. Déterminer l'image f(D) de D par f. La fonction f est-elle une application surjective de D dans ℂ ?
  5. f est elle une application injective de D dans ℂ ?
Soit g l'application définie sur D à valeur dans ℂ et telle que :
∀z ∈ D, g(z) = |z − 2i|^2(z^2)/(z − 2i) + z^3
  1. Soit z un complexe appartenant à D de partie réelle x et de partie imaginaire y. Trouver la partie réelle et la partie imaginaire de g(z). Montrer en particulier que la partie réelle de g(z) est: 2x^3 − 2xy^2 − 4xy.
Soit le plan P rapporté à un repère orthonormé direct R(O, e⃗_1, e⃗_2). Soit Γ l'ensemble des points M du plan d'affixe z tels que g(z) est un imaginaire pur.
7. Montrer que Γ est inclus dans la réunion d'une droite Δ et d'une conique C. Préciser Γ.
8. Déterminer la nature de C. Préciser le centre et les axes de C. Déterminer l'excentricité de C ainsi que les coordonnées de ses foyers dans le repère R.

Étude d'un polynôme.

Soit a un entier naturel. Soit P_a la fonction polynôme définie sur ℝ par: ∀t ∈ ℝ, P_a(t) = t^3 − t(a^2 + 2a) + 2.
Le but de cette partie est de trouver a tel que P_a possède trois racines dans ℤ.
On suppose que a existe. Soient t_1, t_2, t_3 les 3 racines de P_a avec t_1 ≤ t_2 ≤ t_3.
9. Que valent t_1 + t_2 + t_3 et t_1 t_2 t_3 ?
10. Calculer P_a(0) et en déduire que t_1 < 0.
11. Déduire du 9. et du 10. que t_1 ≤ 0 ≤ t_2 ≤ t_3 ≤ − t_1 puis les valeurs de t_1, t_2, t_3.
12. Montrer que P_a^′(t_2) = 0. En déduire la valeur de a.
13. Réciproquement, montrer que la valeur de a ainsi trouvée convient bien.

Étude de deux ensembles de matrices.

Soit (x, y) un élément quelconque de ℝ^2. On note M_(x, y) la matrice (x − y, y; 2, x + y).
Soit Σ le sous-ensemble de M_2(ℝ) tel que Σ = {M_(x, y), (x, y) ∈ ℝ^2}.
14. Quelle relation doivent vérifier x et y pour que la matrice M_(x, y) ne soit pas inversible ?
Calculer le produit M_(x, y) × M_(− x, y). En déduire l'inverse de M_(x, y) lorsqu'il existe.
15. Σ est-il un sous-espace vectoriel de ( M_2(ℝ), +,. ) ? On justifiera sa réponse.
Soit A = (0, 0; − 2, 0) ∈ M_2(ℝ) et J = {A + M_(x, y), (x, y) ∈ ℝ^2}.
16. Montrer que J est un sous-espace vectoriel de ( M_2(ℝ), +, .).
17. Quelle est la dimension de J ? Déterminer une base de J.
18. Montrer que la loi × est interne dans J.

Étude d'une application de M_2(ℝ).

Soit B une matrice quelconque de M_2(ℝ). Soit φ_B l'application de M_2(ℝ) dans M_2(ℝ) qui à la matrice X associe la matrice φ_B(X) = B × X.
19. Montrer que φ_B est un endomorphisme de l'espace vectoriel ( M_2(ℝ), _,,.).
20. On suppose dans cette question que B = M_(2, 1) = (1, 1; 2, 3).
20.a φ_B est elle surjective ? Bijective?
20.b . Déterminer la matrice de φ_B dans la base canonique de M_2(ℝ).
On rappelle que la base canonique de M_2(ℝ) est constituée des matrices
(E_(1, 1), E_(1, 2), E_(2, 1), E_(2, 2)) où E_(1, 1) = (1, 0; 0, 0), E_(1, 2) = (0, 1; 0, 0), E_(2, 1) = (0, 0; 1, 0) et E_(2, 2) = (0, 0; 0, 1).
21. On prend dans cette question B = M_(0, − 2) = (2, − 2; 2, − 2). φ_B est elle surjective ? Bijective ?

DEUXIÈME PROBLÈME.

Soit n un entier naturel. Si n est non nul, on note f_n la fonction définie sur ℝ qui associe à un réel x lorsque c'est possible f_n(x) = (sinx)/(2 − cosx) − x/n. On note f_0 la fonction définie sur ℝ qui associe à un réel x lorsque c'est possible f_0(x) = (sinx)/(2 − cosx).
Généralités sur f_n.
Soit n un entier naturel fixé.
  1. Déterminer le domaine de définition D de f_n.
  2. f_n est-elle paire ? f_n est-elle impaire ? On justifiera sa réponse.
  3. f_n est-elle 2π-périodique ?
  4. Montrer qu'il suffit d'étudier f_n sur [0, π] pour tracer sa courbe sur D tout entier. On justifiera sa réponse.

Étude de la fonction f_0.

  1. Étudier la dérivabilité de f_0 sur D. Déterminer l'expression de sa dérivée.
  2. Étudier le signe de la dérivée de f_0 sur [0, π].
  3. Déterminer le tableau de variations sur [0, π] et tracer l'allure de la courbe de f_0 sur ℝ dans le plan rapporté à un repère orthonormé.
    On rappelle que : √3 a pour valeur 1,732 comme valeur approchée par défaut à 10^(− 3) près.
  4. Déterminer les valeurs maximales et minimales atteintes par f_0(x) quand x parcourt ℝ. En déduire la valeur maximale atteinte par |f_0(x)| lorsque x parcourt ℝ.

Utilisation d'une primitive de f_0.

  1. Déterminer une primitive de f_0 sur ℝ. En déduire ∫_0^(π/3)(sint)/(2 − cost)dt.
Soit l'équation différentielle (E) : y^′(x) + (sinx)/(2 − cosx)y(x) = 2sinx.
10. Résoudre sur ℝ l'équation sans second membre (H) associée à (E).
11. Chercher une solution particulière de (E) sous la forme x ↦ acos(x) + b avec (a, b) ∈ ℝ^2. Résoudre ( E ) sur ℝ.
12. Trouver la fonction h définie sur ℝ, solution de (E) et qui vérifie : h(0) = 1.

Étude d'une courbe polaire.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ℜ(O, i⃗, j⃗). Soit Γ la courbe définie par l'équation polaire : ρ = (sinθ)/(2 − cosθ). Pour tout réel θ on notera u⃗_θ le vecteur u⃗_θ = cosθi⃗ + sinθj⃗ et M(θ) le point du plan tel que OM(θ)^(→−) = (sinθ)/(2 − cosθ)u⃗_θ.
13. Soit un élément θ de D. Montrer qu'il existe une symétrie s telle que s(M(θ)) = M(− θ).
14. Déterminer une équation cartésienne de la tangente à Γ au point M(π/2).
15. Tracer l'allure de la courbe Γ.
Étude de la fonction g : x ↦ (sinx)/(x(2 − cosx)).
16. Déterminer le domaine de définition de g.
17. Montrer que g admet une limite finie l en 0 .
On prolonge g par continuité en posant : g(0) = l.
18. Déterminer le développement limité en 0 d'ordre 3 de g ainsi prolongée.
19. Montrer que g est dérivable en 0 et déterminer g^′(0).
On admet que g est dérivable sur ]0, π] et que pour tout x de ]0, π], g^′(x) est strictement négatif.
20. Montrer que g est une bijection entre [0, π] et un ensemble I à définir. On notera h sa réciproque.
Étude d'une suite qui annule f_n.
Soit n un entier naturel non nul.
21. Montrer que si a est un réel strictement positif qui annule f_n, alors a appartient à l'intervalle [0, n√3].
22. Montrer qu'il existe un unique réel x_n appartenant à [0, π] tel que f_n(x_n) = 0.
23. Montrer que la suite ( x_n ) est convergente et déterminer sa limite.

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de maths sup Petites Mines 2006 ?
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Sur quels chapitres porte ce sujet de maths sup Petites Mines 2006 ?

Le premier problème porte sur les nombres complexes, les polynômes et l'algèbre linéaire des matrices ; le second porte sur l'étude de fonctions trigonométriques, les équations différentielles et les courbes polaires.

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

L'énoncé précise que les différentes parties du premier problème ont un lien entre elles mais peuvent être traitées séparément.

Ce sujet est-il faisable en première année ?

Le sujet s'adresse aux étudiants de sup et porte sur des notions de première année (nombres complexes, polynômes, matrices, étude de fonctions, équations différentielles simples).

Quel est le fil conducteur du second problème sur la fonction f_n ?

Étudier une même fonction trigonométrique sous plusieurs angles : ses variations, sa primitive, l'équation différentielle qu'elle permet de résoudre, la courbe polaire qu'elle définit, et la convergence d'une suite de ses zéros perturbés.

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