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Petites Mines Mathématiques (MPSI) Sup 2006Sujet et corrigé

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CONCOURS COMMUN 2006 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve de Mathématiques
(toutes filières)

Jeudi 11 mai 2006 de 14h00 à 18h00

Instructions générales :

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondante.

L'emploi d'une calculatrice est interdit

PREMIER PROBLÈME

ℝ désigne l'ensemble des nombres réels. On notera M_2(ℝ) l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels. On rappelle que ( M_2(ℝ), +, .) est un espace vectoriel sur ℝ et × désigne la multiplication des matrices.
ℂ désigne l'ensemble des complexes. On notera |z| le module d'un complexe z.
Les différentes parties de ce problème ont un lien entre elles mais peuvent être traitées séparément.

Étude d'une fonction.

Soit f la fonction qui à un complexe z associe, lorsque c'est possible, f(z) = (z^2)/(z − 2i).
  1. Déterminer le domaine de définition D de f
  2. a. Déterminer les racines carrées complexes de 8 − 6i.
    b. En déduire tous les antécédents de 1 + i par f.
  3. Soit h un complexe. Discuter suivant les valeurs de h le nombre d'antécédents de h par f.
  4. Déterminer l'image f(D) de D par f. La fonction f est-elle une application surjective de D dans ℂ ?
  5. f est elle une application injective de D dans ℂ ?
Soit g l'application définie sur D à valeur dans ℂ et telle que :
∀z ∈ D, g(z) = |z − 2i|^2(z^2)/(z − 2i) + z^3
  1. Soit z un complexe appartenant à D de partie réelle x et de partie imaginaire y. Trouver la partie réelle et la partie imaginaire de g(z). Montrer en particulier que la partie réelle de g(z) est: 2x^3 − 2xy^2 − 4xy.
Soit le plan P rapporté à un repère orthonormé direct R(O, e⃗_1, e⃗_2). Soit Γ l'ensemble des points M du plan d'affixe z tels que g(z) est un imaginaire pur.
7. Montrer que Γ est inclus dans la réunion d'une droite Δ et d'une conique C. Préciser Γ.
8. Déterminer la nature de C. Préciser le centre et les axes de C. Déterminer l'excentricité de C ainsi que les coordonnées de ses foyers dans le repère R.

Étude d'un polynôme.

Soit a un entier naturel. Soit P_a la fonction polynôme définie sur ℝ par: ∀t ∈ ℝ, P_a(t) = t^3 − t(a^2 + 2a) + 2.
Le but de cette partie est de trouver a tel que P_a possède trois racines dans ℤ.
On suppose que a existe. Soient t_1, t_2, t_3 les 3 racines de P_a avec t_1 ≤ t_2 ≤ t_3.
9. Que valent t_1 + t_2 + t_3 et t_1 t_2 t_3 ?
10. Calculer P_a(0) et en déduire que t_1 < 0.
11. Déduire du 9. et du 10. que t_1 ≤ 0 ≤ t_2 ≤ t_3 ≤ − t_1 puis les valeurs de t_1, t_2, t_3.
12. Montrer que P_a^′(t_2) = 0. En déduire la valeur de a.
13. Réciproquement, montrer que la valeur de a ainsi trouvée convient bien.

Étude de deux ensembles de matrices.

Soit (x, y) un élément quelconque de ℝ^2. On note M_(x, y) la matrice (x − y, y; 2, x + y).
Soit Σ le sous-ensemble de M_2(ℝ) tel que Σ = {M_(x, y), (x, y) ∈ ℝ^2}.
14. Quelle relation doivent vérifier x et y pour que la matrice M_(x, y) ne soit pas inversible ?
Calculer le produit M_(x, y) × M_(− x, y). En déduire l'inverse de M_(x, y) lorsqu'il existe.
15. Σ est-il un sous-espace vectoriel de ( M_2(ℝ), +,. ) ? On justifiera sa réponse.
Soit A = (0, 0; − 2, 0) ∈ M_2(ℝ) et J = {A + M_(x, y), (x, y) ∈ ℝ^2}.
16. Montrer que J est un sous-espace vectoriel de ( M_2(ℝ), +, .).
17. Quelle est la dimension de J ? Déterminer une base de J.
18. Montrer que la loi × est interne dans J.

Étude d'une application de M_2(ℝ).

Soit B une matrice quelconque de M_2(ℝ). Soit φ_B l'application de M_2(ℝ) dans M_2(ℝ) qui à la matrice X associe la matrice φ_B(X) = B × X.
19. Montrer que φ_B est un endomorphisme de l'espace vectoriel ( M_2(ℝ), _,,.).
20. On suppose dans cette question que B = M_(2, 1) = (1, 1; 2, 3).
20.a φ_B est elle surjective ? Bijective?
20.b . Déterminer la matrice de φ_B dans la base canonique de M_2(ℝ).
On rappelle que la base canonique de M_2(ℝ) est constituée des matrices
(E_(1, 1), E_(1, 2), E_(2, 1), E_(2, 2)) où E_(1, 1) = (1, 0; 0, 0), E_(1, 2) = (0, 1; 0, 0), E_(2, 1) = (0, 0; 1, 0) et E_(2, 2) = (0, 0; 0, 1).
21. On prend dans cette question B = M_(0, − 2) = (2, − 2; 2, − 2). φ_B est elle surjective ? Bijective ?

DEUXIÈME PROBLÈME.

Soit n un entier naturel. Si n est non nul, on note f_n la fonction définie sur ℝ qui associe à un réel x lorsque c'est possible f_n(x) = (sinx)/(2 − cosx) − x/n. On note f_0 la fonction définie sur ℝ qui associe à un réel x lorsque c'est possible f_0(x) = (sinx)/(2 − cosx).
Généralités sur f_n.
Soit n un entier naturel fixé.
  1. Déterminer le domaine de définition D de f_n.
  2. f_n est-elle paire ? f_n est-elle impaire ? On justifiera sa réponse.
  3. f_n est-elle 2π-périodique ?
  4. Montrer qu'il suffit d'étudier f_n sur [0, π] pour tracer sa courbe sur D tout entier. On justifiera sa réponse.

Étude de la fonction f_0.

  1. Étudier la dérivabilité de f_0 sur D. Déterminer l'expression de sa dérivée.
  2. Étudier le signe de la dérivée de f_0 sur [0, π].
  3. Déterminer le tableau de variations sur [0, π] et tracer l'allure de la courbe de f_0 sur ℝ dans le plan rapporté à un repère orthonormé.
    On rappelle que : √3 a pour valeur 1,732 comme valeur approchée par défaut à 10^(− 3) près.
  4. Déterminer les valeurs maximales et minimales atteintes par f_0(x) quand x parcourt ℝ. En déduire la valeur maximale atteinte par |f_0(x)| lorsque x parcourt ℝ.

Utilisation d'une primitive de f_0.

  1. Déterminer une primitive de f_0 sur ℝ. En déduire ∫_0^(π/3)(sint)/(2 − cost)dt.
Soit l'équation différentielle (E) : y^′(x) + (sinx)/(2 − cosx)y(x) = 2sinx.
10. Résoudre sur ℝ l'équation sans second membre (H) associée à (E).
11. Chercher une solution particulière de (E) sous la forme x ↦ acos(x) + b avec (a, b) ∈ ℝ^2. Résoudre ( E ) sur ℝ.
12. Trouver la fonction h définie sur ℝ, solution de (E) et qui vérifie : h(0) = 1.

Étude d'une courbe polaire.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ℜ(O, i⃗, j⃗). Soit Γ la courbe définie par l'équation polaire : ρ = (sinθ)/(2 − cosθ). Pour tout réel θ on notera u⃗_θ le vecteur u⃗_θ = cosθi⃗ + sinθj⃗ et M(θ) le point du plan tel que OM(θ)^(→−) = (sinθ)/(2 − cosθ)u⃗_θ.
13. Soit un élément θ de D. Montrer qu'il existe une symétrie s telle que s(M(θ)) = M(− θ).
14. Déterminer une équation cartésienne de la tangente à Γ au point M(π/2).
15. Tracer l'allure de la courbe Γ.
Étude de la fonction g : x ↦ (sinx)/(x(2 − cosx)).
16. Déterminer le domaine de définition de g.
17. Montrer que g admet une limite finie l en 0 .
On prolonge g par continuité en posant : g(0) = l.
18. Déterminer le développement limité en 0 d'ordre 3 de g ainsi prolongée.
19. Montrer que g est dérivable en 0 et déterminer g^′(0).
On admet que g est dérivable sur ]0, π] et que pour tout x de ]0, π], g^′(x) est strictement négatif.
20. Montrer que g est une bijection entre [0, π] et un ensemble I à définir. On notera h sa réciproque.
Étude d'une suite qui annule f_n.
Soit n un entier naturel non nul.
21. Montrer que si a est un réel strictement positif qui annule f_n, alors a appartient à l'intervalle [0, n√3].
22. Montrer qu'il existe un unique réel x_n appartenant à [0, π] tel que f_n(x_n) = 0.
23. Montrer que la suite ( x_n ) est convergente et déterminer sa limite.

FIN DE L'ÉPREUVE

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