Petites Mines Mathématiques (MPSI) Sup 2008Sujet et corrigé

Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

PREMIER PROBLÈME

Dans tout ce problème,

n

désigne un entier non nul,

a

b

sont deux nombres réels.
La notation

ℝ_n[X]

désigne le

ℝ

-espace vectoriel des polynômes à coefficients dans

ℝ

et ayant un degré inférieur ou égal à

n

Pour tout

P \in ℝ_n[X]

, on pose :

φ_n(P) = (X - a)(X - b)P^' - n(X - (a + b)/2)P

Partie A : Etude de $φ_1$

Dans toute cette partie, on suppose que

n = 1

. On pose donc :

\forallP \in ℝ_1[X], φ_1(P) = (X - a)(X - b)P^' - (X - (a + b)/2)P

Démontrer que $φ_1$ est un endomorphisme de $ℝ_1[X]$ .
Soit $B_1 = (1, X)$ la base canonique de $ℝ_1[X]$ . Déterminer $M_1 = Mat_(B_1)(φ_1)$ .
Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $a$ et $b$ pour que $φ_1$ soit bijective.
On suppose, dans cette question seulement, que $a \neq b$ .
(a). Démontrer que la famille $B = {X - a, X - b}$ est une base de $ℝ_1[X]$ .
(b). Calculer $φ_1(X - a)$ et $φ_1(X - b)$ puis déduire $M = Mat_B(φ_1)$ .
(c). Déterminer la matrice de passage de la base $B$ à la base $B_1$ , notée $P_(B, B_1)$ . Déterminer de même la matrice de passage de la base $B_1$ à la base $B$ , notée $P_(B_1, B)$ .
(d). Donner, sans démonstration, une égalité reliant les matrices $M, M_1, P_(B, B_1)$ et $P_(B_1, B)$ .
(e). Soit $p \in ℕ$ . Calculer $M^p$ puis en déduire, grâce à la question 4.(d), une expression de $M_1^p$ (on donnera l'expression de chacun des coefficients de cette matrice).
On s'intéresse dans cette question à l'ensemble $Γ = {αI_2 + βM_1 + γM_1^2 + δM_1^3, (α, β, γ, δ) ∈ ℝ^4}$ .
(a). Démontrer que $Γ$ est un sous-espace vectoriel de $M_2(ℝ)$ .
(b). Prouver que les matrices $M_1^2$ et $M_1^3$ sont des combinaisons linéaires de $M_1$ et $I_2$ .
(c). Déterminer une base de $Γ$ .
On suppose dans cette question que $a = 4$ et $b = 2$ . En utilisant les résultats de la question 5.(b), déterminer l'application $φ_1^2$ . En déduire la nature de $φ_1$ et préciser ses éléments caractéristiques (on donnera une base de chacun des deux espaces vectoriels concernés).

Partie B : Quelques généralités sur $φ_n$

Démontrer que $φ_n$ est un endomorphisme de $ℝ_n[X]$ .
On se propose dans cette question de déterminer $Ker(φ_n)$ .

On pose

α = max(a, b)

et on considère l'intervalle

I = ]α, + \infty[

.
(a). Démontrer que la fonction

f : x ⟼ (2x - (a + b))/(x^2 - (a + b)x + ab)

est continue sur

I

.
(b). Déterminer une primitive

F

de la fonction

f

sur

I

.
(c). Résoudre sur l'intervalle

I

l'équation différentielle

(E)

y^' - (nx - n(a + b)/2)/((x - a)(x - b))y = 0

(d). On suppose que

n

est pair et on écrit

n = 2p

avec

p \in ℕ^*

. Déduire de la question 8.(c) une base de l'espace vectoriel

Ker(φ_(2p))

.
(e). On suppose maintenant que

n

est impair et on écrit

n = 2p + 1

avec

p \in ℕ

. Déduire de la question 8.(c) une base de l'espace vectoriel

Ker(φ_(2p + 1)

) (On pourra discuter suivant les valeurs de

a

b

Partie C : Intersections de courbes dans le cas où $n = 2$

Dans toute cette partie, on suppose que

n = 2, a = b

a > 1

.
On munit le plan d'un repère orthonormal

R = (O, i⃗, j⃗)

avec

‖i⃗‖ = ‖j⃗‖ = 1 cm

.
9. Calculer

φ_2(1), φ_2(X)

φ_2(X^2)

. Dans toute la suite, on désigne par

f

g

les fonctions polynômiales associées respectivement aux polynômes

φ_2(1)

φ_2(X^2)

. On note

C_f

C_g

les courbes représentatives de ces deux fonctions.
10. (a). Montrer que les courbes

C_f

C_g

admettent exactement deux points d'intersection: les points

A_a

B_a

dont les coordonnées cartésiennes dans

R

sont respectivement

A_a(a, 0)

B_a(1/a, - 2/a + 2a)

.
(b). Démontrer que, lorsque

a

varie dans

]1, + \infty[

, tous les points

B_a

appartiennent à un même ensemble

E

(indépendant de

a

) dont on précisera une équation cartésienne.
(c). Montrer que l'ensemble

E

est une conique dont on précisera (en le justifiant) la nature (aucune autre information n'est demandée sur

E

).
(d). Après une rapide étude, tracer l'allure de la courbe

E

dans

R

SECOND PROBLÈME

On considère dans tout ce problème les deux fonctions

F

G

définies sur

ℝ_+^*

par :

F(x) = (sin(x))/x G(x) = (1 - cos(x))/x

Partie A : Etudes de deux fonctions

(a). Montrer que les fonctions $F$ et $G$ sont continues sur $ℝ_+^*$ .
(b). Montrer que $F$ et $G$ sont prolongeables par continuité en 0 . On notera encore $F$ et $G$ ces prolongements.
(a). Montrer que les fonctions $F$ et $G$ sont dérivables sur $ℝ_+^*$ et calculer leurs dérivées.
(b). Démontrer, à l'aide de développements limités, que les fonctions $F$ et $G$ sont dérivables en 0 . Préciser les valeurs de $F^'(0)$ et $G^'(0)$ .
(a). Montrer que les réels strictement positifs tels que $F(x) = 0$ constituent une suite $(a_k)_(k \geq 1)$ strictement croissante. On donnera explicitement la valeur de $a_k$ .
(b). Montrer que les réels strictement positifs tels que $G(x) = 0$ constituent une suite $(b_k)_(k \geq 1)$ strictement croissante. Y-a-t'il un lien entre les suites $(a_k)_(k \geq 1)$ et $(b_k)_(k \geq 1)$ ?
(a). Soit $k \in ℕ^*$ . Montrer sans calcul qu'il existe un réel $x_k \in ]a_k, a_(k + 1)[$ tel que $F^'(x_k) = 0$ .
(b). Montrer que la fonction $F^'$ est de même signe que $h : x \mapsto xcos(x) - sin(x)$ sur $ℝ_+^*$ .
(c). Démontrer que pour tout $k \in ℕ^*$ , la fonction $h$ est strictement monotone sur $[a_k, a_(k + 1)]$ .
(d). En déduire l'unicité du réel $x_k$ défini dans la question 4.(a).
(e). Etablir que: $\forallk \in ℕ^*, x_k \in ]a_k, a_k + π/2[$ .
(f). Calculer $lim_(k \to + \infty)x_k$ puis déterminer un équivalent simple de la suite $(x_k)$ .
Tracer l'allure de la courbe représentative $C_F$ de la fonction $F$ lorsque l'abscisse $x$ varie dans $[0, 4π]$ . On se placera dans un repère orthogonal $(O, i⃗, j⃗)$ tel que $‖i⃗‖ = 1 cm$ et $‖j⃗‖ = 10 cm$ . On fera apparaître clairement les tangentes horizontales à la courbe et on précisera les abscisses des points d'intersection de $C_F$ avec l'axe ( $O, i⃗$ ).

Partie B : Deux fonctions définies par des intégrales

Dans toute cette partie, E désigne l'ensemble des fonctions de classe

C^1

sur

[0, 1]

. Si

f

appartient à

E

, on pose, pour tout

x \in ℝ

I_f(x) = \int_0^1 f(t)cos(xt)dt J_f(x) = \int_0^1 f(t)sin(xt)dt

Soit

f

une fonction appartenant à

E

.
6. Soit

x \in ℝ

. Justifier que les deux réels

I_f(x)

J_f(x)

sont bien définis.

On dispose donc de deux fonctions

I_f

J_f

définies sur

ℝ

.
7. Déterminer la parité des fonctions

I_f

J_f

.
8. On se propose de calculer dans cette question les limites de

I_f

J_f

+ \infty

et en

- \infty

.
(a). Etablir que:

\forallx > 0, I_f(x) + iJ_f(x) = (f(1)e^(ix) - f(0))/(ix) - 1/(ix)\int_0^1 f^'(t)e^(ixt)dt

.
(b). Expliquer rapidement pourquoi les fonctions

f

f^'

sont bornées sur

[0, 1]

On posera par la suite

M = sup_(x \in [0, 1])|f(x)|

M^' = sup_(x \in [0, 1])|f^'(x)|

.
(c). En déduire qu'il existe

A \in ℝ_+

tel que

\forallx > 0, |I_f(x) + iJ_f(x)| \leq A/x

.
(d). A l'aide de la question 8.(c), calculer

lim_(x \to + \infty)(I_f(x) + iJ_f(x))

En déduire

lim_(x \to + \infty)I_f(x)

lim_(x \to + \infty)J_f(x)

.
(e). En utilisant une propriété obtenue sur les fonctions

I_f

J_f

, calculer

lim_(x \to - \infty)I_f(x)

lim_(x \to - \infty)J_f(x)

.
9. L'objectif de cette question est de prouver que les fonctions

I_f

J_f

sont continues sur

ℝ

.
(a). Soient

p

q

deux réels. Rappeler la formule liant

cos(p) - cos(q)

sin((p + q)/2)

sin((p - q)/2)

.
(b). Démontrer que:

\forallu \in ℝ, |sin(u)| \leq |u|

(on pourra par exemple utiliser l'inégalité des accroissements finis).
(c). Soient

x

y

deux réels. Etablir que :

|I_f(x) - I_f(y)| \leq |x - y|\int_0^1 t|f(t)|dt

.
(d). En déduire que la fonction

I_f

est continue sur

ℝ

Par un raisonnement analogue, on pourrait démontrer que la fonction

J_f

est continue sur

ℝ

mais ce n'est pas demandé ici.
10. A l'aide d'une fonction

f

judicieusement choisie, établir un lien entre les fonctions

F

G

de la partie A , et les fonctions

I_f

J_f

de la partie B.

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CONCOURS COMMUN 2008 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve de Mathématiques (toutes filières)

Lundi 19 mai 2008 de 14H00 à 18H00

Instructions générales :

L'emploi d'une calculatrice est interdit

Remarque importante :

PREMIER PROBLÈME

Partie A : Etude de φ_1

Partie B : Quelques généralités sur φ_n

Partie C : Intersections de courbes dans le cas où n = 2

SECOND PROBLÈME

Partie A : Etudes de deux fonctions

Partie B : Deux fonctions définies par des intégrales

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Partie A : Etude de $φ_1$

Partie B : Quelques généralités sur $φ_n$

Partie C : Intersections de courbes dans le cas où $n = 2$