ENAC Mathématiques Sup 2018Sujet et corrigé

Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette correspondant à l'épreuve que vous passez, c'est-à-dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci-dessous).

POSITIONNEMENT DES ÉTIQUETTES

Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, positionner celle-ci en position verticale avec les chiffres d'identification à gauche (le trait vertical devant traverser la totalité des barres de ce code).

EXEMPLES :

2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur NOIRE et ATTENTION vous devez noircir complètement la case en vue de la bonne lecture optique de votre QCM.
3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après vous être relu soigneusement.
4) Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des inscriptions superflues, sous peine d'être rejeté par la machine et de ne pas être corrigé.
5) Cette épreuve comporte 36 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont liées. La liste des questions liées est donnée au début du texte du sujet.
Chaque candidat devra choisir au plus 24 questions parmi les 36 proposées.
Il est inutile de répondre à plus de 24 questions : la machine à lecture optique lira les réponses en séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura détecté des réponses à 24 questions, quelle que soit la valeur de ces réponses.

Chaque question comporte au plus deux réponses exactes.

A chaque question numérotée entre 1 et 36 , correspond sur la feuille-réponses une ligne de cases qui porte le même numéro (les lignes de 37 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne comporte 5 cases A, B, C, D, E.
Pour chaque ligne numérotée de 1 à 36 , vous vous trouvez en face de 4 possibilités :
soit vous décidez de ne pas traiter cette question, la ligne correspondante doit rester vierge.
soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse, vous devez noircir l'une des cases $A, B, C, D$ .
soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes, vous devez noircir deux des cases $A, B, C, D$ et deux seulement.
soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées $A, B, C, D$ n'est bonne, vous devez alors noircir la case $E$ .

En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée.

7) EXEMPLES DE RÉPONSES

Question 1 :

1^2 + 2^2

vaut:
A) 3
B) 5
C) 4
D) -1

Question 2 : le produit (-1) (-3) vaut :
A) -3
B) -1
C) 4
D) 0

Question 3 : Une racine de l'équation

x^2 - 1 = 0

est:
A) 1
B) 0
C) -1
D) 2

Vous marquerez sur la feuille réponse :

Questions liées

1 à 4
6-7
8 à 11
13-14
15 à 17
25 à 27

Notations

Les lettres

ℝ, ℂ, ℕ

ℤ

désignent respectivement les ensembles des réels, des complexes, des entiers naturels et des entiers relatifs. On rappelle que

e^(ix) = cosx + isinx

où

i

désigne le nombre complexe tel que

i^2 = - 1

x

est un nombre réel.

PARTIE I

Question 1

On considère l'équation différentielle

(1 - x^2)y^' - 2xy = x^2 (E)

. Une solution sur

V = ] - \infty; - 1[U] - 1; 1[U]1; + \infty[

de l'équation homogène associée à (E) est :
A)

y(x) = C(1 - x^2)

, avec

C \in ℝ

y(x) = C(1 + x^2)

, avec

C \in ℝ

y(x) = C/(1 - x^2)

, avec

C \in ℝ

y(x) = - ln(1 - x^2) + C

, avec

C \in ℝ

Question 2

L'ensemble des solutions sur

V

de l'équation homogène associée à (E) forme un sous-espace vectoriel de dimension

n

de l'ensemble des fonctions continues et dérivables sur

V

, avec :
A)

n = 0

n = 1

n = 2

n = 3

Question 3

On montre que la fonction

y_p

est une solution particulière de (E) sur

V

, avec :
A)

y_p(x) = (x^3)/3

y_p(x) = (x^3)/3(1 - x^2)

y_p(x) = (x^3)/(3(1 - x^2))

y_p(x) = (x^3)/3ln(1 - x^2)

Question 4

A) L'ensemble des solutions de (E) sur

V

est de la forme

y(x) = ((x^3)/3 + C)(1 - x^2)

, avec

C \in ℝ

B) L'ensemble des solutions de (E) sur

V

est de la forme

y(x) = ((x^3)/3 + C)(1 + x^2)

, avec

C \in ℝ

C) L'ensemble des solutions de (E) sur

V

est de la forme

y(x) = ((x^3)/3 + C)ln(1 - x^2)

, avec

C \in ℝ

D) L'ensemble des solutions de (E) sur

V

est de la forme

y(x) = ((x^3)/3 + C)/(1 - x^2)

, avec

C \in ℝ

PARTIE II

Question 5

Soit la suite

(u_n)_(n \in ℕ)

définie par

u_n = 1/(2^n) + 2^n

. Alors

u_n

vérifie
A)

2u_(n + 2) + 5u_(n + 1) + 2u_n = 0

2u_(n + 2) - 5u_(n + 1) + 2u_n = 0

2u_(n + 2) - 3u_(n + 1) - 2u_n = 0

2u_(n + 2) + 3u_(n + 1) - 2u_n = 0

Question 6

Soit la suite

(u_n)_(n \in ℕ)

définie par la relation de récurrence

3u_(n + 2) - 2u_(n + 1) - 5u_n = 0(R)

et par la donnée de

u_0 = 1

u_1 = (13)/3

. Les réels

q

tels que la suite géométrique

(q^n)

vérifie la relation

(R)

sont :
A)

q_1 = - 5/3

q_2 = - 1

q_1 = 5/3

q_2 = - 1

q_1 = - 5/3

q_2 = 1

q_1 = 5/3

q_2 = 1

Question 7

Alors la suite

(u_n)_(n \in ℕ)

est définie par :
А)

u_n = 2(5/3)^n - (- 1)^n

В)

u_n = - 5/4(- 5/3)^n + 9/4(1)^n

u_n = 2(5/3)^n - (1)^n

u_n = 2(- 5/3)^n - (1)^n

PARTIE III

Question 8

La décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle

Q(x) = 1/(x(x - 1)^2)

est
A)

Q(x) = 1/(x^2) - 1/x + 1/(x - 1)

Q(x) = 1/x - 1/(x - 1) - 1/((x - 1)^2)

Q(x) = 1/x - 1/(x - 1) + 1/((x - 1)^2)

Q(x) = 1/(x^2) - 1/(x - 1) - 1/((x - 1)^2)

Question 9

Une primitive

F

sur

]0; 1[

de la fonction

Q(x) = 1/(x(x - 1)^2)

est
A)

F(x) = ln(x) - ln(1 - x) - 1/(x - 1)

F(x) = ln(x) - ln(x - 1) + 1/(x - 1)

F(x) = - 1/x - ln(x) + ln(1 - x)

.
D)

F(x) = - 1/x - ln(1 - x) + 1/(x - 1) + C

, avec

C \in ℝ

Question 10

Une primitive

F

sur

]1; + \infty[

de la fonction

Q(x) = 1/(x(x - 1)^2)

est
A)

F(x) = ln(x) - ln(1 - x) - 1/(x - 1)

F(x) = ln(x) - ln(1 - x) + 1/(x - 1)

F(x) = - 1/x - ln(x) + ln(1 - x)

.
D)

F(x) = - 1/x - ln(1 - x) + 1/(x - 1) + C

, avec

C \in ℝ

Question 11

On en déduit que :
A)

I = \int_2^3 Q(x)dx

existe et vaut

I = ln(3/4) - 1/2

I = \int_2^3 Q(x)dx

existe et vaut

I = ln(3/4) + 1/2

I = \int_2^3 Q(x)dx

existe et vaut

I = 1/6 - ln(3)

I = \int_2^3 Q(x)dx

n'existe pas

Question 12

Une primitive de

g(x) = e^(- x)e^(- 2inx)

est donnée par
A)

G(x) = - e^(- x)e^(- 2inx)

G(x) = - 2ine^(- x)e^(- 2inx)

G(x) = (- 1)/(2in + 1)e^(- x)e^(- 2inx)

G(x) = 1/(- 2inx - x)e^(- x)e^(- 2inx)

Question 13

Soit la fonction

f

définie pour

t < 0

par :

f(t) = (2t)/((1 + t^2)(1 + t)^2)

La décomposition en éléments simples de

f

est:
A)

f(t) = 1/((1 + t)^2) + 2/(1 + t) + (2t - 1)/(1 + t^2)

.
B)

f(t) = 1/((1 + t)^2) + 2/(1 + t) + 2/(1 + t^2)

.
C)

f(t) = 1/((1 + t)^2) + 2/(1 + t) + (2t - 2)/(1 + t^2)

.
D)

f(t) = - 1/((1 + t)^2) + 1/(1 + t^2)

Question 14

Soit la fonction

f

définie pour

t < 0

par :

f(t) = (2t)/((1 + t^2)(1 + t)^2)

Une primitive de

f

est :
A)

F(t) = - 1/(1 + t) + 2ln(1 + t) + ln(1 + t^2) - arctan(1 + t^2) + C, C \in ℝ

F(t) = - 1/(1 + t) + 2ln(- 1 - t) + 2arctan(1 + t^2) + C, C \in ℝ

F(t) = 1/(1 + t) + arctant + C, C \in ℝ

F(t) = - 1/(1 + t) + 2ln(- 1 - t) + ln(1 + t^2) - arctan(1 + t^2) + C, C \in ℝ

Question 15

Pour tout entier naturel

n

on pose

I_n = \int_0^1 x[ln(1/x)]^n dx

I_0 = 1/3

I_0 = 1/2

I_0 = 1

I_0 = 1/4

Question 16

On peut montrer que :
A)

I_n = n/2I_(n - 1)

pour

n > 0

I_(n + 1) = (n + 1)/2I_n

I_n = (n - 1)/2I_(n - 1)

pour

n > 0

I_(n + 1) = n/2I_n

Question 17

On en déduit ainsi la valeur de

I_n

en fonction de

n

:
A)

I_n = (n!)/(2^n)

I_n = ((n + 1)!)/(2^n)

I_n = (n!)/(2^(n + 1))

I_n = ((n + 1)!)/(2^(n + 1))

PARTIE IV

Question 18

La série

\sum_(n = 1)^\inftyn/((- 2)^n(n - 1)!)

A) est convergente mais pas absolument convergente
B) est absolument convergente, donc convergente
C) est convergente, donc absolument convergente
D) n'est ni convergente, ni absolument convergente

Question 19

La série

\sum_(n = 1)^(+ \infty)(cos(nπ) - cos((nπ)/2))/(n^2)

A) converge car son terme général tend vers 0
B) converge car son terme général est équivalent à

1/(n^2)

quand

n \to + \infty

C) converge car c'est une série à termes positifs
D) converge vers

(3π^2)/(16)

Question 20

Soient les suites définies, pour

n \in ℕ^*

, par

u_n = \sum_(p = 1)^n 1/p - lnn

v_n = u_(n + 1) - u_n

.
A)

\sum_(n \geq 1)v_n

diverge car

\sum_(n \geq 1)1/n

diverge
B)

\sum_(n \geq 1)v_n

converge car

\sum_(n \geq 1)1/(n^2)

converge
C)

\sum_(n \geq 1)v_n

converge car

\sum_(n \geq 1)1/(n^3)

converge
D)

\sum_(n \geq 1)v_n

diverge car

v_n

ne tend pas vers zéro

PARTIE V

Pour tout nombre réel

α

, on désigne par [

α

] la partie entière de

α

Question 21

Le produit de quatre entiers consécutifs est nécessairement divisible par:
A) 16
B) 18
C) 20
D) 24

Question 22

Soient

a

b

deux entiers positifs tels que

b

divise

a^2 + 1

, alors :
A)

b

divise

a^4 + 1

b

divise

a^4 + 1 \Leftrightarrow b

divise 2
C)

b

divise

a^4 + 1 \Leftrightarrow b = 1

b

divise

a^4 + 1 \Leftrightarrow b = 2

Question 23

Le nombre de zéros à la fin de 23! est :
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5

Question 24

Pour

n \geq 5

, le dernier chiffre de

n!

qui soit différent de zéro est toujours :
A) un nombre pair
B) un nombre impair
C) un nombre pair si

n

est pair
D) un nombre impair si

n

est impair

Question 25

Le nombre

p

est un diviseur premier de

2^(21) - 1

si :
A)

p = 2

p = 3

p = 7

p = 11

Question 26

Le nombre

p

est un diviseur premier de

2^(21) - 1

si :
A)

p = 113

p = 127

p = 131

p = 137

Question 27

Le nombre

p

est un diviseur premier de

3^(12) - 1

si :
A)

p = 3

p = 5

p = 7

p = 11

Question 28

Quel que soit

n \in ℕ^*

, quel que soit

x \in ℝ

, on a :
A)

[([nx])/n] = [x]

В)

[([nx])/n] = [x] + 1

[([nx])/n] = [x] - 1

D) On ne peut pas exprimer

[([nx])/n]

indépendamment de

n

Question 29

Le reste de la division de l'entier

N = 2000^(1000)

par 7 est
A) 1
B) 2
C) 5
D) 6

PARTIE VI

Question 30

Soit

a

un nombre réel non nul ; on considère la matrice

A = (0, a, a^2; 1/a, 0, a; 1/(a^2), 1/a, 0)

.
Le déterminant de

A

vaut
A) 0 car il n'y a que des 0 sur la diagonale
B) 2
C) 1
D)

a

Question 31

ℝ^3

est rapporté à une base orthonormée. La matrice de la projection orthogonale sur le plan d'équation

2x - 2y + z = 0

est
A)

M = (- 3, 4, - 2; 4, - 3, 2; - 2, 2, 0)

В)

M = 1/3(- 1, 4, - 2; 4, - 1, 2; - 2, 2, 2)

M = 1/3(7, - 4, 2; - 4, 7, - 2; 2, - 2, 4)

M = 1/9(5, 4, - 2; 4, 5, 2; - 2, 2, 8)

Question 32

Soient les matrices à trois lignes et à trois colonnes

A = (2, 4, 3; 1, 3, 0; 0, - 1, 1) et B = (- 3, 8, - 16; - 3, 7, - 12; - 1, 2, - 3)

L'inverse de la matrice

M = BA

:
A) vaut

M^(- 1) = (2, 28, - 25; 1, 21, - 21; 0, 5, - 6)

B) vaut

M^(- 1) = (2, - 1, 0; - 28, 21, - 5; - 25, 21, - 6)

C) vaut

M^(- 1) = (- 21, 43, - 63; 6, - 12, 17; 5, - 10, 14)

D) n'existe pas car

detM = 0

Question 33

Dans

E

espace vectoriel sur

ℝ

de dimension

3, B = (i⃗, j⃗, k⃗)

désigne une base de

E

.
L'application linéaire

f

E

dans

E

est définie par :

u⃗ = f(i⃗) = - 3i⃗ + j⃗ + k⃗; v⃗ = f(j⃗) = - 2i⃗ + j⃗ + 4k⃗; w⃗ = f(k⃗) = 4i⃗ - j⃗ + 2k⃗

{u⃗, v⃗, w⃗}

est une base de

E

{u⃗, v⃗, w⃗}

n'est pas une base de

E

C) L'ensemble des vecteurs

x⃗

tels que

f(x⃗) = 0\to

est

{0\to}

D) L'ensemble des vecteurs

x⃗

tels que

f(x⃗) = 0\to

est

{kx_0^(→−), k ∈ ℝ}

, avec

x_0^(\to-) = - 2i⃗ + j⃗ + k⃗

PARTIE VII

Question 34

Soit la fonction

f

définie par

f(0) = 0 et f(x) = (e^x - x - 1)/x si x \neq 0

f

est continue sur

ℝ

f

est dérivable sur

ℝ

f^'(0) = 1

f

n'est pas dérivable en 0

Question 35

Soit la fonction de

ℝ^*

dans

ℝ

définie par

f(x) = (x + 1)/(e^(1/x))

:
A) La courbe représentative de

f

n'admet pas d'asymptote au voisinage de

+ \infty

B) La courbe représentative de

f

admet la droite d'équation

y = x

comme asymptote au voisinage de

+ \infty

C) La courbe représentative de

f

admet la droite d'équation

y = - x

comme asymptote au voisinage de

- \infty

D) La courbe représentative de

f

admet la droite d'équation

y = x/2

comme asymptote au voisinage de

+ \infty

Question 36

Soit

a

un paramètre réel. Les solutions de l'équation

2(1 + i)z^2 + 2(a + i)z + ia(1 - i) = 0

sont:
A)

z_1 = - a/(1 + i)

z_2 = - (1 + i)/2

z_1 = - a/(1 + i)

z_2 = - (1 - i)/2

z_1 = a/(1 + i)

z_2 = - (1 + i)/2

z_1 = - a/(1 - i)

z_2 = (1 + i)/2

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ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée : 2 Heures Coefficient : 1

Tout Dispositif Électronique est Interdit (EN PARTICULIER L'USAGE DE LA CALCULATRICE)

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

A LIRE TRÈS ATTENTIVEMENT

ATTENTION, IL NE VOUS EST DÉLIVRÉ QU'UN SEUL QCM

POSITIONNEMENT DES ÉTIQUETTES

Chaque question comporte au plus deux réponses exactes.

7) EXEMPLES DE RÉPONSES

Vous marquerez sur la feuille réponse :

Questions liées

Notations

PARTIE I

Question 1

Question 2

Question 3

Question 4

PARTIE II

Question 5

Question 6

Question 7

PARTIE III

Question 8

Question 9

Question 10

Question 11

Question 12

Question 13

Question 14

Question 15

Question 16

Question 17

PARTIE IV

Question 18

Question 19

Question 20

PARTIE V

Question 21

Question 22

Question 23

Question 24

Question 25

Question 26

Question 27

Question 28

Question 29

PARTIE VI

Question 30

Question 31

Question 32

Question 33

PARTIE VII

Question 34

Question 35

Question 36

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Durée : 2 Heures
Coefficient : 1