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CONCOURS DE RECRUTEMENT D'ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée : 2 Heures
Coefficient : 1

Cette épreuve comporte :

1 page de garde (recto),
2 pages (recto-verso) d'instructions pour remplir le QCM,
1 page d'avertissements (recto),
11 pages de texte (recto-verso) numérotées de 1 à 11

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

A LIRE TRÈS A TTENTIVEMENT

L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple qui sera corrigé automatiquement par une machine à lecture optique.

ATTENTION, IL NE VOUS EST DÉLIVRÉ QU'UN SEUL QCM

Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette correspondant à l'épreuve que vous passez, c'est-à-dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci-dessous).

POSITIONNEMENT DES ÉTIQUETTES

Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, positionner celle-ci en position verticale avec les chiffres d'identification à gauche (le trait vertical devant traverser la totalité des barres de ce code).

EXEMPLES:

2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur NOIRE et ATTENTION vous devez noircir complètement la case en vue de la bonne lecture optique de votre QCM.
3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après vous être relu soigneusement.
4) Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des inscriptions superflues, sous peine d'être rejeté par la machine et de ne pas être corrigé.
5) Cette épreuve comporte 36 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont liées. La liste des questions liées est donnée au début du texte du sujet.
Chaque candidat devra choisir au plus 24 questions parmi les 36 proposées.
II est inutile de répondre à plus de 24 questions: la machine à lecture optique lira les réponses en séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura détecté des réponses à 24 questions, quelle que soit la valeur de ces réponses.

Chaque question comporte au plus deux réponses exactes.

A chaque question numérotée entre 1 et 36 , correspond sur la feuille-réponses une ligne de cases qui porte le même numéro (les lignes de 37 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne comporte 5 cases A , B , C, D, E.
Pour chaque ligne numérotée de 1 à 36 , vous vous trouvez en face de 4 possibilités :
soit vous décidez de ne pas traiter cette question, la ligne correspondante doit rester vierge.

soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse, vous devez noircir l'une des cases $A, B, C, D$ .
soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes, vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement.
soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées $A, B, C, D$ n'est bonne, vous devez alors noircir la case $E$ .

En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée.

7) EXEMPLES DE RÉPONSES

Question 1:

1^2 + 2^2

vaut:
A) 3
B) 5
C) 4
D) -1

Question 2 : le produit (-1) (-3) vaut:
A) -3
B) -1
C) 4
D) 0

Question 3 : Une racine de l'équation

x^2 - 1 = 0

est:
A) 1
B) 0
C) -1
D) 2

Vous marquerez sur la feuille réponse :

QUESTIONS LIEES

1 à 5
6 à 8
9 à 15
16 à 23
24 à 32
33 à 36

Notations

Les lettres

ℝ, ℂ

ℕ

désignent respectivement les ensembles des réels, des complexes et des entiers naturels.

Partie I

On note

GL_n(ℝ)

le sous-ensemble de

M_(n, n)(ℝ)

(matrices carrées de dimension

n

), formé des matrices inversibles. On l'appelle le groupe linéaire d'ordre

n

. La notation «

\cdot

» désigne le produit matriciel.

Question 1

GL_n(ℝ)

est un sous-espace vectoriel de

M_(n, n)(ℝ)

(B)

GL_n(ℝ)

n'est pas un sous-espace vectoriel de

M_(n, n)(ℝ)

(GL_n(ℝ), \cdot)

est un groupe commutatif
(D)

(GL_n(ℝ), \cdot)

n'est pas un groupe commutatif

E_(i, j)

désigne la matrice élémentaire dont tous les termes sont nuls, sauf

e_(ij) = 1.I

désigne la matrice identité de

ℝ^n

Question 2

(A) Pour toute matrice élémentaire

E_(i, j), i \neq j

, la matrice

I + E_(i, j)

est inversible et admet un inverse de la forme

I + αE_(i, j)

, avec

α \in ℝ

.
B) Pour toute matrice élémentaire

E_(i, j), i \neq j

, la matrice

I + E_(i, j)

n'est pas inversible.
(C) Pour toute matrice élémentaire

E_(i, i)

, la matrice

I + E_(i, i)

est inversible et admet un inverse de la forme

I + αE_(i, i)

, avec

α \in ℝ

.
D) Pour toute matrice élémentaire

E_(i, i)

, la matrice

I + E_(i, i)

n'est pas inversible.

On appelle centralisateur de

GL_n(ℝ)

, noté

C(GL_n(ℝ))

, l'ensemble des matrices de

GL_n(ℝ)

qui commutent avec toute matrice inversible.

Question 3

On a :
A)

C(GL_n(ℝ)) = GL_n(ℝ)

C(GL_n(ℝ)) = {∑_(i = 1)^n α_i E_(i, i), (α_1, ⋯, α_n) ∈ ℝ^n}

C(GL_n(ℝ)) = {∑_(i = 1)^n αE_(i, i), α ∈ ℝ}

C(GL_n(ℝ)) = {∑_(i = 1)^n∑_(j = 1)^n α_i E_(i, j), (α_1, ⋯, α_n) ∈ ℝ^n}

Soit la matrice :

P = (1, 1, 0, - 1; - 1, 0, 1, 1; 1, 1, - 1, 0; 0, 1, - 1, 1) \in M_(n, n)(ℝ)

Question 4

A) La matrice

P

est inversible, et

P^(- 1) = (1, - 1, 1, 0; 1, 0, 1, 1; 0, 1, - 1, - 1; - 1, 1, 0, 1)

B) La matrice

P

est inversible, et

P^(- 1) = (- 1, 1, 3, - 2; 1, 0, - 1, 1; 0, 1, 1, - 1; - 1, 1, 2, - 1)

C) La matrice

P

est inversible, et

P^(- 1) = (1, 0, 1, 0; 1, 0, - 1, 1; 0, 1, - 1, - 1; - 1, 1, 2, - 1)

D) La matrice

P

n'est pas inversible

Une matrice

A

est dite nilpotente si

A^k = 0

A^(k - 1) \neq 0

. On note

N_n(ℝ)

le sous-ensemble des matrices de

M_(n, n)(ℝ)

formé des matrices nilpotentes.

Question 5

A) La somme de 2 matrices nilpotentes est une matrice nilpotente
B) Le produit de 2 matrices nilpotentes est une matrice nilpotente
C) La somme de 2 matrices nilpotentes n'est jamais inversible
D) Si

A \in N_n(ℝ)

matrice nilpotente d'ordre

k

, alors on a

k \leq n

Partie II

Soit

f : [0; 1] \mapsto ℝ

une fonction continue et

n \in ℕ^*

. On pose

u_n(f) = (\int_0^1|f(t)|^n dt)^(1/n)

Question 6

Soit

λ

un nombre réel, on a:
A)

u_n(λf) = λ^n u_n(f)

u_n(λf) = λ^(1/n)u_n(f)

u_n(λf) = λu_n(f)

(D)

u_n(λf) = |λ|u_n(f)

On suppose que

f(x) \geq 0

pour tout

x \in [0; 1]

, et que la maximum de la fonction

f

est égal à 1 . Soit

ε > 0

Question 7

A) Pour tout entier

n \geq 1

, on a

u_n(f) \geq 1

(B) Il existe des nombres

u

v

vérifiant

0 \leq u < v \leq 1

tels que

f(x) \geq 1 - ε

pour tout

x \in [u; v]

C) Pour tout entier

n \geq 1, u_n(f)

vérifie

u_n(f) \leq (v - u)^(1/n)(1 - ε)

D) La suite

u_n(f)

admet pour limite 1

Soit

g : [0; 1] \mapsto ℝ

une fonction continue, et

M

le maximum de la fonction

x \mapsto |g(x)|

sur [0;1]

Question 8

On a :
A)

lim_(n \to \infty)u_n(g) = M

lim_(n \to \infty)u_n(g) = 1/M

lim_(n \to \infty)u_n(g) = |M|

lim_(n \to \infty)u_n(g) = 1/(|M|)

Partie III

Pour tout entier

n \in ℕ

, on pose

I_n = \int_0^(π/2)(cost)^n dt

Question 9

A) La suite

I_n

est croissante
(B) La suite

I_n

est décroissante
C) La suite

I_n

n'est ni croissante, ni décroissante
D) Il existe

n_0 \in ℕ

tel que la suite

I_n

soit décroissante pour

n \geq n_0

Question 10

On a:
A)

I_0 = 1

(B)

I_0 = π/2

(C)

I_1 = 1

I_1 = π/4

Question 11

A l'aide d'une intégration par parties, on montre que la suite

I_n

satisfait la propriété :
A)

(n + 1)I_(n + 1) = nI_n

nI_(n + 2) = (n + 2)I_n

(n + 2)I_(n + 2) = nI_n

(n + 1)I_(n + 2) = (n + 2)I_n

Question 12

On en déduit que la suite

I_n

vérifie :
(A)

lim_(n \to \infty)(nI_n I_(n - 1)) = π/2

lim_(n \to \infty)(nI_n I_(n - 1)) = 1

(C)

lim_(n \to \infty)(I_(n - 1)/I_n) = 1

lim_(n \to \infty)(I_(n - 1)/I_n) = π/2

Question 13

On déduit des résultats précédents
A)

lim_(n \to \infty)n(I_n)^2 = 2/π

(B)

lim_(n \to \infty)n(I_n)^2 = π/2

lim_(n \to \infty)I_n = \sqrt(2/π)

(3)

lim_(n \to \infty)I_n = \sqrt(π/2)

Question 14

On peut montrer que :
A)

I_(2n) = (1 \times 3 \times \dots \times (2n - 1))/(2 \times 4 \times \dots \times 2n)

pour tout

n \geq 1

I_(2n) = (1 \times 3 \times \dots \times (2n + 1))/(2 \times 4 \times \dots \times 2n)

pour tout

n \geq 1

(C)

I_(2n) = (1 \times 3 \times \dots \times (2n - 1))/(2 \times 4 \times \dots \times 2n) \cdot π/2

pour tout

n \geq 1

I_(2n) = (1 \times 3 \times \dots \times (2n + 1))/(2 \times 4 \times \dots \times 2n) \cdot π/2

pour tout

n \geq 1

Question 15

On déduit des résultats précédents que :
A)

lim_(n \to \infty)(1 \times 3 \times \dots \times (2n + 1))/(2 \times 4 \times \dots \times 2n) \cdot 1/(\sqrtn) = \sqrt(2/π)

(B)

lim_(n \to \infty)(1 \times 3 \times \dots \times (2n + 1))/(2 \times 4 \times \dots \times 2n) \cdot 1/(\sqrtn) = 2/(\sqrtπ)

lim_(n \to \infty)(1 \times 3 \times \dots \times (2n + 1))/(2 \times 4 \times \dots \times 2n) \cdot 1/(\sqrtn) = (\sqrt2)/π

lim_(n \to \infty)(1 \times 3 \times \dots \times (2n + 1))/(2 \times 4 \times \dots \times 2n) \cdot 1/(\sqrtn) = 2/π

Pour tout entier

n \in ℕ

et tout nombre

x \in ] - π/2; π/2[

, on pose

F_n(x) = \int_0^x(tant)^n dt

Question 16

On a:
A)

F_1(x) = 1 + tan^2 x

F_1(x) = x

(C)

F_2(x) = tanx - x

F_2(x) = 2(tanx + tan^3 x)

Question 17

Pour

|x| < π/2

, on a l'égalité
A)

F_(n + 2)(x) + F_n(x) = 1/(n - 1)(tanx)^(n - 1)

F_(n + 2)(x) + F_n(x) = 1/n(tanx)^n

(C))

F_(n + 2)(x) + F_n(x) = 1/(n + 1)(tanx)^(n + 1)

F_(n + 2)(x) + F_n(x) = 1/(n + 2)(tanx)^(n + 2)

Question 18

On en déduit :
A)

F_4(x) = (tan^2 x)/2 - tanx + x

(B)

F_4(x) = (tan^3 x)/3 - tanx + x

F_4(x) = (tan^4 x)/4 - tanx + x

F_4(x) = - (tanx)/2 + x

Pour tout entier

n

, on pose

J_n = \int_0^(π/4)(tant)^n dt

Question 19

A) La suite

J_n

est croissante et convergente
(B) La suite

J_n

est décroissante et convergente
C) La suite

J_n

est croissante et divergente
D) La suite

J_n

est décroissante et divergente

Soit

a

un réel vérifiant

0 < a < π/4

Question 20

On peut montrer que :
A)

J_n \geq a(tana)^n + π/4 - a

J_n \leq a(tana)^n + π/4 - a

J_n \geq π/4 + a

J_n \leq π/4 + a

Question 21

On en déduit:
A)

lim_(n \to \infty)J_n = π/4

lim_(n \to \infty)J_n = 1 - π/4

lim_(n \to \infty)J_n = 0

lim_(n \to \infty)J_n = + \infty

Question 22

Pour tout entier

n \geq 1

, on a l'égalité :
A)

π/4 + (- 1)^n J_(2n + 2) = 1 - 1/3 + 1/5 + \dots + ((- 1)^n)/(2n - 1)

π/4 + (- 1)^n J_(2n + 2) = 1 - 1/3 + 1/5 + \dots + ((- 1)^(n - 1))/(2n + 1)

π/4 + (- 1)^n J_(2n + 2) = 1 - 1/3 + 1/5 + \dots + ((- 1)^(n + 1))/(2n - 1)

π/4 + (- 1)^n J_(2n + 2) = 1 - 1/3 + 1/5 + \dots + ((- 1)^n)/(2n + 1)

Question 23

On peut ainsi en déduire que :
A)

lim_(n \to \infty)1 - 1/3 + 1/5 + \dots + ((- 1)^n)/(2n - 1) = π/4

lim_(n \to \infty)1 - 1/3 + 1/5 + \dots + ((- 1)^(n - 1))/(2n + 1) = π/4

lim_(n \to \infty)1 - 1/3 + 1/5 + \dots + ((- 1)^(n + 1))/(2n - 1) = π/4

lim_(n \to \infty)1 - 1/3 + 1/5 + \dots + ((- 1)^n)/(2n + 1) = π/4

Partie IV

Soient

n \in ℕ∖{0; 1}

{ω_0, ⋯, ω_(n − 1)}

les racines n-ièmes de l'unité :

ω_k = ω^k avec ω = e^(i(2π)/n)

Soit

p \in ℕ

. La notation

(n/k)

désigne le coefficient binomial

(n!)/(k!(n - k)!)

Question 24

On établit que :
A)

\sum_(k = 0)^(n - 1)ω_k^p = (1 + ω^(np))/(1 - ω^p)

ω^p \neq 1

\sum_(k = 0)^(n - 1)ω_k^p = (1 - ω^(np))/(1 - ω^p)

ω^p \neq 1

\sum_(k = 0)^(n - 1)ω_k^p = nsiω^p = 1

\sum_(k = 0)^(n - 1)ω_k^p = 1

ω^p = 1

Question 25

Un calcul permet d'obtenir :
A)

\sum_(k = 0)^(n - 1)(n/k)ω_k = 2^n cos^n π/n - 1

\sum_(k = 0)^(n - 1)(n/k)ω_k = - 2^n cos^n π/n + 1

\sum_(k = 0)^(n - 1)(n/k)ω_k = 2^n cos^n π/n + 1

\sum_(k = 0)^(n - 1)(n/k)ω_k = - 2^n cos^n π/n - 1

Question 26

Le produit

\prod_(k = 1)^(n - 1)ω_k

vaut :
A)

(- 1)^n

(- 1)^(n - 1)

(- 1)^(n - 1) \cdot ω

(- 1)^n \cdot ω

Dans toute la suite,

E(x)

désigne la fonction « partie entière de

x

», et

j

est la racine cubique de l'unité dont la partie imaginaire est strictement positive.

Question 27

On a :
A)

(1 + 1)^n = \sum_(k = 0)^n 2(n/k)

(B)

(1 + 1)^n = \sum_(k = 0)^n(n/k)

(C))

(1 + j)^n = \sum_(k = 0)^n(n/k)j^k

(1 + j)^n = \sum_(k = 0)^n(n/k)j^(2k)

Question 28

De même,
A)

(1 + j^2)^n = \sum_(k = 0)^n(n/k)j¯^(- 2k)

В)

(1 + j^2)^n = \sum_(k = 0)^n(n/k)j^k

En posant

Z_n = 2^n + (1 + j)^n + (1 + j^2)^n

, on obtient ainsi
C)

Z_n = \sum_(k = 0)^n(n/k)(2 + j^k + j^(2k))

Z_n = \sum_(k = 0)^n(n/k)(1 + j^k + j¯^(2k))

La notation

k \equiv j(n)

signifie que le reste de la division euclidienne de

k

par

n

est

j

. On souhaite distinguer les cas selon lesquels

k \equiv 0(3), k \equiv 1(3)

k \equiv 2(3)

Question 29

On a la décomposition suivante :
A)

Z_n = \sum_(k = 0)^(E((n - 2)/3))(n/(3k))(1 + j^(3k) + j^(6k)) + \sum_(k = 0)^(E((n - 1)/3))(n/(3k + 1))(1 + j^(3k + 1) + j^(6k + 2)) + \sum_(k = 0)^(E(n/3))(n/(3k + 2))(1 + j^(3k + 2) + j^(6k + 4))

В)

Z_n = \sum_(k = 0)^(E((n - 1)/3))(n/(3k))(1 + j^(3k) + j^(6k)) + \sum_(k = 0)^(E(n/3))(n/(3k + 1))(1 + j^(3k + 1) + j^(6k + 2)) + \sum_(k = 0)^(E((n + 1)/3))(n/(3k + 2))(1 + j^(3k + 2) + j^(6k + 4))

Z_n = \sum_(k = 0)^(E((n - 1)/3))(n/(3k - 1))(1 + j^(3k) + j^(6k)) + \sum_(k = 0)^(E(n/3))((n^3)/(3k))(1 + j^(3k + 1) + j^(6k + 2)) + \sum_(k = 0)^(E((n + 1)/3))(n/(3k + 1))(1 + j^(3k + 2) + j^(6k + 4))

Z_n = \sum_(k = 0)^(E(n/3))(n/(3k))(1 + j^(3k) + j^(6k)) + \sum_(k = 0)^(E((n - 1)/3))(n/(3k + 1))(1 + j^(3k + 1) + j^(6k + 2)) + \sum_(k = 0)^(E((n - 2)/3))(n/(3k + 2))(1 + j^(3k + 2) + j^(6k + 4))

Question 30

On obtient alors :
A)

Z_n = 3\sum_(k = 0)^(E(n/3))(n/(3k))

В)

Z_n = 3\sum_(k = 0)^(E((n - 1)/3))(n/(3k))

Z_n = 3\sum_(k = 0)^(E((n - 2)/3))(n/(3k))

Z_n = 3\sum_(k = 0)^(E((n - 1)/3))(n/(3k - 1))

Question 31

On remarque que :
A)

(1 + j)^n + (1 + j^2)^n = - 2Re(1 + j)^n

(1 + j)^n + (1 + j^2)^n = 2Im(1 + j)^n

(1 + j)^n = 2^n cos^n π/3e^((inπ)/3)

(1 + j^2)^n = e^((- inπ)/3)

Question 32

Il en résulte que :
A)

(1 + j)^n + (1 + j^2)^n = - 2cos(nπ)/3

(1 + j)^n + (1 + j^2)^n = 2sin(nπ)/3

Finalement, on obtient :
C)

\sum_(k = 0)^(E(n/3))(n/(3k)) = 1/3(2^n + 2cos(nπ)/3)

\sum_(k = 0)^(E(n/3))(n/(3k)) = 1/3(2^n + 2sin(nπ)/3)

Partie V

Soit

(a, b, c) \in ℂ^3

. On considère le système d'inconnue

(x, y, z) \in ℂ^3

{x + y + z = a; x + jy + j^2 z = b; x + j^2 y + jz = c

où

j

désigne la racine cubique de l'unité dont la partie imaginaire est strictement positive.

Question 33

A) Quels que soient

(a, b, c) \in ℂ^3

, le système (S) n'admet pas de solution dans

ℂ^3

B) Quels que soient

(a, b, c) \in ℂ^3

, le système ( S ) admet une solution unique dans

ℂ^3

C) Quels que soient

(a, b, c) \in ℂ^3

, le système (S) admet une infinité de solutions dans

ℂ^3

D) Il existe un sous-ensemble

E \subset ℂ^3, E \neq ℂ^3

tel que le système ( S ) admet une solution si

(a, b, c) \in E

et aucune solution si

(a, b, c) \notin E

Question 34

Une solution de (S) est alors:
A)

(x, y, z) = ((a + bj^2 + cj)/3, (a + b + c)/3, (a + bj + cj^2)/3)

(x, y, z) = ((a + b + c)/3, (a + bj + cj^2)/3, (a + bj^2 + cj)/3)

(x, y, z) = ((a + b + c)/3, (a + bj^2 + cj)/3, (a + bj + cj^2)/3)

(x, y, z) = ((a + bj^2 + cj)/3, (a + bj + cj^2)/3, (a + b + c)/3)

Question 35

Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une solution de ( S ) soit réelle (i.e.

(x, y, z) \in ℝ^3

) est :
A)

a \in ℝ

b = c

a \in ℝ

b = c¯

(a, b, c) \in ℝ^3

a \in ℝ

(b, c) \in iℝ^2

Question 36

Une solution réelle de ( S ) est alors :
A)

(x, y, z) = ((a + 2Re(b))/3, (a + 2Re(bj^2))/3, (a + 2Re(bj))/3)

(x, y, z) = ((a + 2Im(b))/3, (a + 2Im(bj))/3, (a + 2Im(bj^2))/3)

(x, y, z) = ((a + 2b)/3, (a + 2Re(bj^2))/3, (a + 2Re(bj))/3)

(x, y, z) = ((a + 2Re(b))/3, (a + 2Re(bj))/3, (a + 2Re(bj^2))/3)

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ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée : 2 Heures Coefficient : 1

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A LIRE TRÈS A TTENTIVEMENT

ATTENTION, IL NE VOUS EST DÉLIVRÉ QU'UN SEUL QCM

POSITIONNEMENT DES ÉTIQUETTES

Chaque question comporte au plus deux réponses exactes.

7) EXEMPLES DE RÉPONSES

Vous marquerez sur la feuille réponse :

Notations

Partie I

Question 1

Question 2

Question 3

Question 4

Question 5

Partie II

Question 6

Question 7

Question 8

Partie III

Question 9

Question 10

Question 11

Question 12

Question 13

Question 14

Question 15

Question 16

Question 17

Question 18

Question 19

Question 20

Question 21

Question 22

Question 23

Partie IV

Question 24

Question 25

Question 26

Question 27

Question 28

Question 29

Question 30

Question 31

Question 32

Partie V

Question 33

Question 34

Question 35

Question 36

Commentaires• ENAC Mathématiques Sup 2014

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Durée : 2 Heures
Coefficient : 1