Petites Mines Mathématiques (MPSI) Sup 2004Sujet et corrigé

.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction: les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondante.

L'emploi d'une calculatrice est interdit

ANALYSE

PREMIERE PARTIE

Soit (E) l'équation différentielle :

(1 - x)^2 y^' = (2 - x)y

.
On note I l'intervalle ] -

\infty

, 1 [.

Calculer une primitive $A$ de la fonction a définie sur I par : $a(x) = (2 - x)/((1 - x)^2)$ .
Intégrer (E) sur I.

Soit f la fonction définie sur I par :

f(x) = 1/(1 - x)e^(1/(1 - x))

.
3. Calculer le développement limité de f au voisinage de 0 à l'ordre 3 .

DEUXIEME PARTIE

Prouver par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , il existe un polynôme $P_n$ tel que : $f^((n))(x) = P_n(1/(1 - x))e^(1/(1 - x))$ pour tout réel x appartenant à I.
La démonstration permet d'exprimer $P_(n + 1)(X)$ en fonction de $P_n(X), P^'_n(X)$ et X . Expliciter cette relation.
Préciser $P_0, P_1, P_2$ et $P_3$ .
En dérivant n fois les deux membres de l'équation (E), prouver que pour tout entier positif n :

P_(n + 1)(X) = [(2n + 1)X + X^2]P_n(X) - n^2 X^2 P_(n - 1)(X)

TROISIEME PARTIE

Le but de cette partie est d'établir quelques propriétés des nombres

a_n = f(n)(0)

.
7. Pour tout entier positif

n

, exprimer

a_(n + 1)

en fonction de

n

a_n

a_(n - 1)

.
8.
a) Préciser, sans nouveau calcul:

a_0, a_1, a_2

a_3

. En déduire

a_4

.
b) Préciser le développement limité de f au voisinage de 0 à l'ordre 4 .
9. On désigne par (

u_p

) la suite définie pour tout entier naturel p par :

u_p = \sum_(i = 0)^p 1/(i!)

En appliquant une formule de Taylor à la fonction exponentielle, prouver que la suite (

u_p

) converge vers e.
p et n désignant des entiers naturels quelconques, on pose:

S_p(n) = \sum_(i = 0)^p((n + i)!)/((i!)^2)

10.
a) Exprimer

S_p(0)

S_p(1)

à l'aide de

u_p

u_(p - 1)

pour

p \geq 1

.
b) Prouver que les suites

p \to S_p(0)

p \to S_p(1)

convergent et préciser leur limite en fonction de e.
11. Prouver que quels que soient les entiers p et n supérieurs ou égaux à 1 :

S_p(n + 1) - (2n + 2)S_p(n) + n^2 S_p(n - 1) = S_(p - 1)(n) - S_p(n)

12. En déduire que pour tout entier naturel n , la suite

p \to S_p(n)

converge.
13. Prouver que :

a_n = lim_(p \to + \infty)\sum_(i = 0)^p((n + i)!)/((i!)^2) = lim_(p \to + \infty)n!\sum_(i = 0)^p((n + i)/n) \cdot 1/(i!)

FIN DU PROBLEME D'ANALYSE

ALGEBRE ET GEOMETRIE

PREMIERE PARTIE

Soient

I

J

les matrices définies par :

I = [1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1]

J = [0, 1, 0; 0, 0, 1; 1, 0, 0]

E⃗

désigne l'espace vectoriel usuel orienté muni d'une base orthonormée directe

B = (i⃗, j⃗, k⃗)

.
Soit : f l'endomorphisme de

E⃗

défini par sa matrice J relativement à la base B et

u⃗ = 1/(\sqrt3)(i⃗ + j⃗ + k⃗)

Calculer $f(u⃗)$ et prouver que le plan Q d'équation : $x + y + z = 0$ est stable par f (c'est-à-dire que l'image par f de tout vecteur de Q appartient à Q ).
On pose $v⃗ = i⃗ + 1/2(- j⃗ - k⃗)$ et $w⃗ = u⃗ \land v⃗$ .
a) Vérifier que $(v⃗, w⃗)$ est une base du plan Q .
b) $(u⃗, v⃗, w⃗)$ est-elle une base orthonormée directe de $E⃗$ ?
c) Trouver un réel $θ$ tel que : $f(v⃗) = cos(θ)v⃗ + sin(θ)w⃗$ et $f(w⃗) = - sin(θ)v⃗ + cos(θ)w⃗$ .
d) Que pensez vous de la nature géométrique de la restriction de f à Q ?

DEUXIEME PARTIE

Pour tout vecteur

t⃗ = xi⃗ + yj⃗ + zk⃗

, on note

[t⃗] = [x; y; z]

la matrice

det⃗

relativement à la base B.
On définit ainsi les matrices colonnes à coefficients complexes

X_1 = \sqrt3.[u⃗], X_2 = [v⃗] + i[w⃗]

X_3 = [v⃗] - i[w⃗]

et on désigne par P la matrice carrée d'ordre 3:

P = [X_1, X_2, X_3]

3.
a) Exprimer les coefficients non réels de P en fonction de

j

j^2

.
(On rappelle que

j

désigne le nombre complexe

e^((2iπ)/3)

).
b) Soit

P¯

la matrice dont les coefficients sont les conjugués de ceux de

P

. Exprimer le produit

P.P¯

en fonction de la matrice I.
4.
a) Pour

i \in {1, 2, 3}

, calculer

JX_i

en fonction de

X_i

.
b) En déduire une matrice diagonale

Δ

telle que :

PΔ = JP

.
5.
a) Prouver que l'ensemble

C(J) = {M ∈ M_3(ℂ)/MJ = JM}

des matrices M qui commutent avec J est le sous-espace vectoriel de

M_3(ℂ)

engendré par I , J et

J^2

.
b) Donner une base et la dimension de

C(J)

.
6.

a, b

c

désignant des nombres complexes quelconques, on note:

M(a, b, c) = aI + bJ + cJ^2

.
a) Calculer la matrice

D(a, b, c) = P^(- 1)M(a, b, c)P

, en utilisant le résultat de la question 4.b).
b) Calculer de façon indépendante les déterminants de

M(a, b, c)

D(a, b, c)

.
c) En déduire que l'expression :

a^3 + b^3 + c^3 - 3abc

, est le produit de trois expressions de la forme

αa + βb + γc

où

α, β

γ

représentent des nombres complexes à préciser.
d) On suppose que

a, b, c

sont distincts et on considère ces nombres comme les affixes respectives des sommets

A, B, C

d'un triangle ( T ) dans un plan complexe d'origine O .
Prouver que la matrice

M(a, b, c)

est singulière (autrement dit : non inversible ) si et seulement si

(T)

est équilatéral ou si O est son centre de gravité.

TROISIEME PARTIE

On reprend les notations de la question précédente et on construit par récurrence une suite(

T_n

) de triangles de sommets

A_n, B_n

C_n

en posant:
.)

(T_0) = (T)

.
.)

λ

désignant un nombre réel, pour tout entier naturel n , (

T_(n + 1)

) est le triangle dont les sommets

A_(n + 1), B_(n + 1)

C_(n + 1)

sont tels que :

A_(n + 1)

est le barycentre des points pondérés (

B_n, λ

) et (

C_n, 1 - λ

B_(n + 1)

est le barycentre des points pondérés (

C_n, λ

) et (

A_n, 1 - λ

C_(n + 1)

est le barycentre des points pondérés (

A_n, λ

) et (

B_n, 1 - λ

).
On note:

a_n, b_n

c_n

les affixes respectives des sommets

A_n, B_n

C_n

Y_n = [a_n; b_n; c_n] et Z_n = P^(- 1) \cdot Y_n

Prouver que pour tout entier $n : Z_(n + 1) = D(0, λ, 1 - λ)$ . $Z_n$ .
Expliciter les coefficients de la matrice ( D ( $0, λ, 1 - λ))^n$ .

a) On admet qu'une suite géométrique non nulle de raison complexe q converge si et seulement si

q = 1

|q| < 1

.
Prouver que la suite définie pour tout entier n par

(λj + (1 - λ)j^2)^n

converge si et seulement si

λ

appartient à un intervalle à préciser.
b) Prouver que si cette condition est réalisée, les suites (

a_n

), (

b_n

) et (

c_n

) convergent.
10.
a) Exprimer

a_(n + 1) + b_(n + 1) + c_(n + 1)

en fonction de

a_n + b_n + c_n

.
b) Prouver que les suites

(a_n), (b_n)

(c_n)

ont même limite.
c) Exprimer cette limite en fonction de

a, b

et c .

FIN DU PROBLEME D'ALGEBRE ET GEOMETRIE - FIN DU SUJET

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Mardi 18 mai 2004 de 14h00 à 18h00

Instructions générales:

L'emploi d'une calculatrice est interdit

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DEUXIEME PARTIE

TROISIEME PARTIE

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