WikiPrépaLivrets

Petites Mines Mathématiques Sup 2001Sujet

1,5(2 votes)
Faisable en Sup
Logo concours Petites Mines (sup, 2000-2010)

Explorer les annales

BanqueAutresAnnée2001FilièreSUPMatièreMathématiques
Annales Autres SUP MathématiquesAutres SUP 2001SUP MathématiquesMathématiques 2001

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Lire en ligneLaTeXWord
  • Corrigé : pas encore disponible
  • Rapport du jury : non disponible

Présentation du sujet

Fonctions Bêta et Gamma d'Euler, matrices nilpotentes et exponentielle de matrice
Afficher ou masquer la section

Le sujet comporte deux problèmes indépendants. Le premier construit progressivement la fonction Gamma d'Euler comme limite d'intégrales, à partir de l'étude d'une fonction Bêta et d'un encadrement logarithmique, et établit sa relation fonctionnelle. Le second étudie l'exponentielle d'une matrice nilpotente d'indice trois puis, par diagonalisation, celle d'une matrice 2x2 quelconque, retrouvant dans les deux cas la propriété E(s)E(t) = E(s+t).

  1. 1Problème 1, Partie A : la fonction Bêtapremière annéeÉtude de l'intégrale I(a,b) définissant la fonction Bêta, calcul explicite pour des entiers et application au calcul d'intégrales trigonométriques.
  2. 2Problème 1, Partie B : étude d'une fonction auxiliairepremière annéeÉtude des variations de la fonction f_a(x) = x ln(1 - a/x) à l'aide d'un encadrement logarithmique, et étude de la limite de la suite (1 - a/n)^n.
  3. 3Problème 1, Partie C : la fonction Gammapremière annéeConstruction de la fonction Gamma comme limite d'une suite d'intégrales F_n(x), démonstration de la convergence à l'aide des parties précédentes, puis établissement de la relation fonctionnelle F(x+1) = (x+1)F(x).
  4. 4Problème 2, Partie A : matrices nilpotentes d'indice troispremière annéeÉtude de l'exponentielle E(t) = I + tA + (t²/2)A² d'une matrice nilpotente d'indice trois, démonstration de la relation E(s)E(t) = E(s+t) et de l'injectivité de E.
  5. 5Problème 2, Partie B : diagonalisation d'une matrice 2x2première annéeDiagonalisation d'une matrice 2x2 par recherche de deux droites propres supplémentaires, et calcul de ses puissances successives.
  6. 6Problème 2, Partie C : exponentielle de matrice par sériespremière annéeConstruction de l'exponentielle de la matrice de la partie B comme limite d'une série matricielle, expression à l'aide de projecteurs et retrouve la relation E(s)E(t) = E(s+t).

Ces sujets peuvent vous intéresser

Pas encore de corrigé pour ce sujet : voici des sujets proches corrigés.

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

CONCOURS COMMUN 2001
DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES

Epreuve de Mathématiques(toutes filières)Jeudi 17 mai 2001 de 14 h 00 à 18 h 00

Instructions générales:

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend : 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4 et 4/4.
Les candidats sont invités à porter unc attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondante.

PROBLEME 1

Les parties A et B sont indépendantes, nais sont utilisées par la partie C.

PARTIE A :

Pour tout réel a positif ou nul, on note g_a la fonction définie sur ℝ_+^∗ par g_a(t) = t^a.
A.1. Montrer que la fonction g_a est prolongeable par continuité en 0 (on notera toujours g_a la fonction ainsi prolongée, qui est donc définie et continue sur ℝ_+). Préciser la valeur de g_a(0). Montrer que la fonction g_a est de classe C^1 sur ℝ_+pour a ⩾ 1.
Soient a et b deux réels positifs ou nuls. On pose
I(a, b) = ∫_0^1 g_a(t)g_b(1 − t)dt
A.2. Justifier l'existence de l'intégrale I(a, b). Comparer I(a, b) et I(b, a).
On écrira abusivement I(a, b) = ∫_0^1 t^a(1 − t)^b dt.
A.3. Soient a et b deux réels positifs ou nuls. Trouver une relation entre I(a + 1, b) et I(a, b + 1).
A.4. Calculer I(a, 0). En déduire que, pour tout entier naturel n, on a
I(a, n) = (n!)/((a + 1)(a + 2)…(a + n + 1)).
A.5. Soient p et q deux entiers naturels. Exprimer I(p, q) à l'aide de factorielles.
A.6. En déduire la valeur de l'intégrale
J(p, q) = ∫_0^(π/2)(sinθ)^(2p + 1)(cosθ)^(2q + 1)dθ
où p et q sont deux entiers naturels.

PARTIE B :

Pour tout réel a strictement positif, on note f_a la fonction définie par
f_a(x) = xln(1 − a/x)
B.1. Préciser l'ensemble de définition de f_a.
On note C_a la courbe représentant la restriction de la fonction f_a à l'intervalle ]a, + ∞[.
B.2. Si a et x sont deux réels tels que 0 < a < x, démontrer l'encadrement
a/x ⩽ lnx − ln(x − a) ⩽ a/(x − a)
B.3. En déduire les variations de la fonction f_a sur l'intervalle ]a, + ∞[ (on dressera un tableau de variations). Préciser la nature des branches infinies de la courbe C_a.
B.4. Donner l'allure des courbes C_1, C_2 et C_3 sur un même schéma.
B.5. On fixe a > 0 et on considère la suite y = (y_n) définie, pour tout entier naturel n tel que n > a, par y_n = (1 − a/n)^n.
Etudier le comportement (sens de variation, limite) de la suite ( y_n ).

PARTIE C :

Pour tout réel positif ou nul x et tout entier naturel non nul n, on pose
F_n(x) = ∫_0^n(1 − u/n)^n u^x du
C.1. Montrer que F_n(x) = n^(x + 1)I(x, n).
C.2. En utilisant les résultats de la partie B, montrer que, pour tout x fixé, la suite (F_n(x))_(n ∈ ℕ^∗) est croissante.
C.3. On fixe x ⩾ 0.
a. Montrer l'existence d'un réel strictement positif U tel que
∀u ∈ ℝ_+ u ⩾ U ⟹ e^(− u) ⩽ 1/(u^(x + 2))
b. En déduire que, pour tout entier naturel non nul n, on a
F_n(x) ⩽ ∫_0^U e^(− u)u^x du + 1/U
c. Montrer que la suite (F_n(x))_(n ∈ ℕ^∗) est convergente.
Pour tout réel positif ou nul x, on pose F(x) = lim_(n → + ∞)F_n(x).
C.4. Démontrer la relation fonctionnelle
∀x ∈ ℝ_+ F(x + 1) = (x + 1)F(x)
En déduire la valeur de F(k) pour k entier naturel.

PROBLEME 2

Les parties B et C sont liées, mais la partie A est indépendante du reste du problène.
On rappelle que, si p est un entier naturel non nul, la notation M_p(ℝ) représente l'algèbre des matrices carrées d'ordre p à coefficients réels.

PARTIE A :

Soit p un entier naturel non nul. Une matrice A de M_p(ℝ) est dite nilpotente d'indice trois si elle vérifie A^2 ≠ 0 et A^3 = 0.
Dans toute cette partie, on note A une matrice de M_p(ℝ), nilpotente d'indice trois. On note I la matrice-unité d'ordre p.
Pour tout réel t, on note E(t) la matrice
E(t) = I + tA + (t^2)/2A^2
A.1. Vérifier la relation
∀(s, t) ∈ ℝ^2 E(s)E(t) = E(s + t).
A.2. En déduire que (E(t))^n = E(nt) pour t ∈ ℝ et n ∈ ℕ.
A.3. Montrer que la matrice E(t) est inversible. Quel est son inverse ?
A.4. Montrer que la famille ( I, A, A^2 ) est libre dans l'espace vectoriel M_p(ℝ).
A.5. En déduire que l'application E : t ↦ E(t), de ℝ vers M_p(ℝ), est injective.
A.6. Dans cette question, p = 3 et A = (0, 1, 1; 0, 0, 1; 0, 0, 0). Expliciter la matrice E(t) sous la forme d'un tableau matriciel pour t ∈ ℝ.

PARTIE B :

Dans cette partie, on note B_0 = (e_1^(→−), e_2^(→−)) la base canonique de ℝ^2. Soit la matrice A = (4, − 6; 1, − 1) appartenant à M_2(ℝ). On note f l'endomorphisme de ℝ^2 qui lui est canoniquement associé.
B.1. Montrer que F = Ker(f − 2id_(R^2)) et G = Ker(f − id_(R^2)) sont deux droites vectorielles, supplémentaires dans ℝ^2. Préciser un vecteur directeur u⃗ de F, et un vecteur directeur v⃗ de G.
B.2. Sans calculs, déterminer la matrice de l'endomorphisme f de ℝ^2 dans la base B = (u⃗, v⃗).
B.3. En déduire qu'il existe une matrice P inversible et une matrice D diagonale (toutes deux carrées d'ordre deux) telles que A = PDP^(− 1). Expliciter P, D et P^(− 1).
B.4. Expliciter D^n pour tout n enticr naturel. Démontrer la rclation A^n = PD^n P^(− 1). En déduire l'expression de A^n sous forme de tableau matriciel.

PARTIE C.

On reprend les notations de la partie B.
C.1. En utilisant l'inégalité de Taylor-Lagrange, montrer que, pour tout réel t, on a
e^t = lim_(n → + ∞)(∑_(k = 0)^n(t^k)/(k!))
On pourra admettre le résultat de cette question pour traiter les suivantes.
C.2. Pour tout réel t, pour tout entier naturel n, on note E_n(t) la matrice définie par E_n(t) = ∑_(k = 0)^n(t^k)/(k!)A^k. On écrira cette matrice sous la forme E_n(t) = (a_n(t), b_n(t); c_n(t), d_n(t)). Expliciter (sous forme de sommes) ses coefficients a_n(t), b_n(t), c_n(t), d_n(t).
C.3. Pour tout t ∈ ℝ, on note E(t) la matrice E(t) = (a(t), b(t); c(t), d(t)), avec a(t) = lim_(n → + ∞)a_n(t), b(t) = lim_(n → + ∞)b_n(t), etc. Expliciter la matrice E(t).
Réponse partielle : on obtient a(t) = 3e^(2t) − 2e^t.
C.4. Montrer qu'il existe deux matrices Q et R (carrées d'ordre deux) telles que
∀t ∈ ℝ E(t) = e^(2t)Q + e^t R
et expliciter Q et R.
C.5. Calculer les matrices Q^2, R^2, QR, RQ. Que peut-on dire des endomorphismes q et r de ℝ^2 canoniquement associés aux matrices Q et R (on pourra préciser la réponse en utilisant les droites F et G de la question B.1.)?
C.6. En déduire que
∀(s, t) ∈ ℝ^2 E(s)E(t) = E(s + t)
Que dire de (E(t))^n pour n ∈ ℕ ?, de (E(t))^(− 1) ?
L'application E : t ↦ E(t), de ℝ vers M_2(ℝ), est-elle injective ?

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques du concours commun Sup des Mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes 2001 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques du concours commun Sup des Mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes 2001 ?

Le premier problème porte sur les intégrales généralisées et la construction des fonctions Bêta et Gamma d'Euler. Le second porte sur les matrices nilpotentes, la diagonalisation et l'exponentielle de matrice.

Les parties des deux problèmes sont-elles indépendantes ?

Dans le problème 1, les parties A et B sont indépendantes mais toutes deux utilisées par la partie C. Dans le problème 2, la partie A est indépendante du reste, tandis que les parties B et C sont liées, la partie C reprenant la matrice diagonalisée en partie B.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet ?

Les intégrales généralisées et leur convergence, les suites numériques et leurs limites, le développement en série entière de l'exponentielle, ainsi que la diagonalisation des matrices et la notion de matrice nilpotente.

Ce sujet est-il accessible en première année de prépa ?

Oui, il s'agit d'une épreuve de fin de première année (sup) du concours commun Mines Albi-Alès-Douai-Nantes, dont le contenu correspond au programme de mathématiques de première année.

Pas de description pour le moment