ENAC Mathématiques Sup 2001Sujet
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Questions liées: 1 à 10
11 à 19
20 à 32
11 à 19
20 à 32
- I -
On considère 3 réels
u_o, v_o, w_o vérifiant
u_o > v_o > w_o > 0 et les suites
(u_n), (v_n), (w_n) définies par
u_o, v_o, w_o et
∀n ∈ ℕ3u_(n + 1) = u_n + v_n + w_n
- Soit
f la fonction de la variable réelle définie parf(x) = (x + b + c)^3 − 27xbc oùb etc sont des réels strictement positifs tels queb ≠ c . On notef^′ la dérivée def si elle existe:
a)f^′ est positive sur[ − (b + c) − 3√(bc), − (b + c) + 3√(bc)]
b)f^′ est négative sur[b + c − 3√(bc), b + c + 3√(bc)]
c)f est maximum enb + c − 3√(bc)
d)f est minimum en− (b + c) + 3√(bc) - Dans le cas où
− (b + c) + 3√(bc) < 0 , le minimum de la fonctionf surℝ_+ est :
a)27bc(√b − √c)^2
b)(b + c)^3
Dans le cas où
− (b + c) − 3√(bc) ≥ 0 , le minimum de la fonction
f sur
ℝ_+ est:
c) 0
d)27[(b + c) + √(bc)(3 − bc)]
3. La fonctionf
a) n'admet pas de minimum surℝ_+
b) a un minimum négatif ou nul surℝ_+ et on a:
c)∀a > 0 (a + b + c)^3 − 27abc > 0
d)∀a > 0 (a + b + c)^3 − 27abc < 0
4. Supposantu_n, v_n, w_n réels strictement positifs pour
n entier fixé, on obtient en prenant
b = v_n et
c = w_n
a)u_(n + 1) < v_(n + 1)
b)u_(n + 1) > w_(n + 1) > 0 en prenant
b = 1/(v_n) et
c = 1/(w_n)
c)u_(n + 1) > v_(n + 1)
d)v_(n + 1) > w_(n + 1) > 0
5. Pour toutn ∈ ℕ , on peut écrire :
a)v_(n + 1) = 3√(u_n + v_n + w_n)
b)v_(n + 1) = √(u_n v_n w_n)
c)u_(n + 1)w_(n + 1) − v_(n + 1)^2 = (u_n v_n w_n(u_n + v_n + w_n))/(u_n v_n + u_n w_n + v_n w_n) − u_n v_n w_n
d)u_(n + 1)w_(n + 1) − v_(n + 1)^2 = (u_n v_n w_n(u_n + v_n + w_n))/(u_n v_n + u_n w_n + v_n w_n) − (u_n^2 v_n^2 w_n^2)^(1/3)
6. La quantitéA_n = u_(n + 1)w_(n + 1) − v_(n + 1)^2 peut, pour tout
n entier, s'exprimer sous la forme
A_n = B_n[u_n v_n w_n(u_n + v_n + w_n)^3 − (u_n v_n + u_n w_n + v_n w_n)^3] où
B_n s'écrit:
a)B_n = ((u_n v_n w_n)^2)/((u_n v_n + u_n w_n + v_n w_n)^3)
b)
B_n = ((u_n v_n w_n)^(2/3))/(u_n v_n + u_n w_n + v_n w_n)1/((u_n v_n w_n)^(2/3)(u_n + v_n + w_n)^2 + (u_n v_n + u_n w_n + v_n w_n)^2 + (u_n v_n w_n)^(1/3)(u_n + v_n + w_n)(u_n v_n + u_n w_n + v_n w_n))
c)B_n = ((u_n v_n w_n)^(2/3))/(u_n v_n + u_n w_n + v_n w_n)1/((u_n v_n w_n)^(2/3)(u_n + v_n + w_n)^2 + (u_n v_n + u_n w_n + v_n w_n)^2)
d)B_n = ((u_n + v_n + w_n)^2)/((u_n v_n + u_n w_n + v_n w_n)^3)
7. Pour toutn ∈ ℕ , le terme
u_n v_n w_n(u_n + v_n + w_n)^3 − (u_n v_n + u_n w_n + v_n w_n)^3 = C_n peut s'écrire :
a)C_n = − (u_n w_n − v_n^2)[v_n^2 u_n w_n + v_n(u_n^3 + w_n^3) + u_n^2 w_n^2]
b)C_n = (u_n w_n − v_n^2)[ − u_n^2 v_n w_n + u_n(v_n^3 + w_n^3) − v_n^2 w_n^2]
et le signe deA_n est, donc pour tout
n ∈ ℕ ,
c) égal au signe deu_n w_n − v_n^2 donc au signe de
u_o w_o − v_o^2
d) opposé au signe deu_n w_n − v_n^2
8. La suite(u_n) est :
a) décroissante car(v_n − u_n) + (w_n − u_n) < 0 ∀n ∈ ℕ
b) croissante caru_(n + 1) − u_n ≥ 0 ∀n ∈ ℕ et la suite
(w_n) est:
c) décroissante caru_n(v_n − w_n) + v_n(u_n − w_n) < 0
d) croissante carw_(n + 1) − w_n = (u_n(v_n − w_n) + v_n(u_n − w_n))/(u_n v_n + u_n w_n + v_n w_n) > 0
9. Les suites(u_n) et
(w_n) sont :
a) convergentes car elles sont toutes deux croissantes et majorées
b) convergentes car elles sont adjacentes puisque l'on a aussi
c) 0
d)
3. La fonction
a) n'admet pas de minimum sur
b) a un minimum négatif ou nul sur
c)
d)
4. Supposant
a)
b)
c)
d)
5. Pour tout
a)
b)
c)
d)
6. La quantité
a)
b)
c)
d)
7. Pour tout
a)
b)
et le signe de
c) égal au signe de
d) opposé au signe de
8. La suite
a) décroissante car
b) croissante car
c) décroissante car
d) croissante car
9. Les suites
a) convergentes car elles sont toutes deux croissantes et majorées
b) convergentes car elles sont adjacentes puisque l'on a aussi
et les 3 suites
(u_n); (v_n) et
(w_n)
c) sont convergentes mais de limites différentes caru_n > v_n > w_n ∀n ∈ ℕ
d) sont convergentes et ont même limite caru_n ≤ v_n ≤ w_n ∀n ∈ ℕ^∗
10. Dans le cas particulier oùu_o w_o = v_o^2 , la suite
(v_n) a pour limite, si elle converge :
a) 0
b)√(u_o v_o) et dans le cas particulier où
u_o w_o > v_o^2 , la suite
(v_n) est :
c) adjacente à la suite (u_n )
d) adjacente à la suite (w_n )
c) sont convergentes mais de limites différentes car
d) sont convergentes et ont même limite car
10. Dans le cas particulier où
a) 0
b)
c) adjacente à la suite (
d) adjacente à la suite (
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