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CONCOURS DE RECRUTEMENT D'ELEVES PILOTE DE LIGNE

EPREUVE DE MATHEMATIQUES

Durée : 2 Heures
Coefficient : 1
Le sujet comprend:
  • 1 page de garde,
  • 2 pages (recto-verso) d'instructions pour remplir le QCM,
  • 12 pages de texte, numérotées de 1 à 12 .

CALCULATRICE AUTORISEE

Questions liées: 1 à 16
17 à 25
26 à 30

PARTIE I

Dans toute cette partie le corps de base est celui des nombres réels; on désigne par E(x) la partie entière du nombre réel x et par n un entier naturel.

Question 1

Soit un polynôme de degré n à une indéterminée à coefficients entiers de la forme a_n x^n + … + a_o avec a_o ≠ 0, admettant une racine rationnelle p/q ou p ∈ ℤ^∗, q ∈ ℤ^∗, p et q étant premiers entre eux ou étrangers. On a alors:
a) p divise a_n et q divise a_o
b) p et q divisent a_o
c) p divise a_0 et q divise a_n car q divise a_n p^n
d) p divise a_0 mais pq ne divise pas a_n a_0

Question 2

Soit f la fonction polynôme définie par ∀x ∈ ℝ f(x) = x^3 − x − 1
a) f admet au moins 2 racines réelles car sa dérivée s'annule en 2 points
b) f admet une racine rationnelle et 2 racines complexes conjuguées
c) f ne possède aucune racine réelle
d) f admet 2 racines complexes conjuguées et une racine réelle dans l'intervalle
[ − (√3)/3, (√3)/3]

Question 3

Soit x un réel quelconque, on peut écrire cos(nx) sous la forme P_n(cosx) où P_n est un polynôme à une indéterminée.
a) de degré n + 1 à coefficients entiers relatifs
b) de degré n à coefficients réels non entiers
c) de degré n à coefficients entiers relatifs
d) unique car l'application cos est surjective de ℝ sur [ − 1, 1]

Question 4

Le polynôme P_n défini dans la question 3 s'écrit pour n = 0
a) P_o(X) = X
b) P_o(X) = 1/2
et pour n = 1
c) P_1(X) = 2X^2 − 1
d) P_1(X) = X

Question 5

On a la relation, pour tout réels a, b
a) cosacosb = 2(cos(a + b) − cos(a − b))
b) cosacosb = 1/2(cos(a + b) − cos(a − b))
et la suite (P_n)_(n ∈ ℕ) définie dans la question 3 vérifie, pour tout entier n strictement positif.
c) P_(n + 1)(X) − P_(n − 1)(X) = 2XP_n(X)
d) P_(n + 1)(X) + P_(n − 1)(X) = XP_n(X)

Question 6

Cette suite de polynômes (P_n)_(n ∈ ℕ) est telle que:
a) P_n(X) = X^n − C_n^2 X^(n − 2)(1 − X^2) + … + (− 1)^k C_n^(2k)X^(n − 2k)(1 − X^2)^k + … et P_n est impair si n est pair
b) le coefficient de X^n est, pour tout entier n non nul,
C_n^o + C_n^2 + … + C_n^(2k) + … = 2^(n − 1)
c) P_n(− 1) = (− 1)^(n − 1)∀n ∈ ℕ^∗
d) P_n(0) = (− 1)^n∀n ∈ ℕ

Question 7

Pour tout entier n strictement positif les racines x_k de ce polynôme P_n sont:
a) π/(2n) + (kπ)/n où k est un entier tel que 0 ≤ k ≤ n − 1
b) π/(2n) + (2kπ)/n où k est un entier est un entier tel que 0 ≤ k ≤ n − 1
c) des réels n'appartenant pas à l'intervalle [ − 1, 1]
d) les n réels de l'intervalle ] − 1, 1[ définis par x_k = cos(π/(2n) + (kπ)/n) où k est un entier tel que 0 ≤ k ≤ n − 1

Question 8

Supposons n ≥ 2, on note pour k entier tel que 0 ≤ k ≤ n − 2, x_k les racines de P_n et y_k celles de P_(n − 1), on a alors:
a) x_(k + 1) > y_k > x_k
b) x_(k + 1) > x_k > y_k
c). x_k > y_k > x_(k + 1)carπ/(2(n − 1)) + (kπ)/(n − 1) − π/(2n) − ((k + 1)π)/n < 0
et π/(2(n − 1)) + (kπ)/(n − 1) − π/(2n) − (kπ)/n > 0
d) x_k > y_k > x_(k + 1) car π/(2(n − 1)) + (kπ)/(n − 1) − π/(2n) − ((k + 1)π)/n > 0
et π/(2(n − 1)) + (kπ)/(n − 1) − π/(2n) − (kπ)/n < 0
On considère l'équation différentielle, pour n ∈ ℕ(E_n)y^(′′) + n^2 y = 0

Question 9

La fonction f_n définie sur ℝ par f_n(x) = cos(nx)
a) forme une base de l'espace des solutions de ( E_n )
b) est une solution de ( E_n ) pour tout n ∈ ℕ
c) vérifie l'équation ( E_n ) uniquement pour n ∈ ℕ^∗
d) vérifie l'équation différentielle y^(′′) − n^2 y = 0 pour tout n ∈ ℕ

Question 10

Si on pose X = cosx on obtient pour y fonction de x
a) (d^2 y)/(dx^2) = − X(dy)/(dX)
b) (d^2 y)/(dx^2) = sin^2 x(d^2 y)/(dx^2) − cosx(dy)/(dx)
et l'équation ( E_n ) est transformée en l'équation ( E_n^′ ) de la forme,
c) (1 + X^2)(d^2 y)/(dX^2) − X(dy)/(dX) + n^2 y = 0
d) (1 − X^2)(d^2 y)/(dX^2) − X(dy)/(dX) + n^2 y = 0

Question 11

Pour tout n, entier naturel, la fonction polynôme P_n définie à la question 3
a) est solution de ( E_n )
b) est solution de (E_n^′)car(1 + x^2)P_n^(′′)(x) − xP_n^′(x) + n^2 P_n(x) = 0∀x ∈ ℝ
c) ne vérifie ni (E_n), ni (E_n^′)
d) vérifie (E_n^′)car∀x ∈ [ − 1, 1] (1 + x^2)P_n^(′′)(x) − xP_n^′(x) + n^2 P_n(x) = 0
Question 12
Pour tout entier naturel n, on considère la fonction polynôme Q_n(x) = ∑_(k = 0)^(E(n/2))a_(n, k)x^(n − 2k) Si Qn est solution de l'équation ( E_n^′ ), définie à la question 10 , les coefficients a_(n, k) vérifient pour tout k compris entre 0 et E(n/2).
a) (n − 2k)(n − 2k − 1)a_(n, k) + (n − 2k + 2)(n − 2k + 1)a_(n, k − 1) − (n − 2k)a_(n, k) + n^2 a_(n, k) = 0
b) a_(n, k) = − 1/(4k)1/(n − k)(n − 2k + 2)(n − 2k + 1)a_(n, k − 1)
c) a_(n, k) = ((− 1)^k)/(2^(2k))n/(n − k)C_(n − k)^k
d) a_(n, k) = ((− 1)^(k − 1))/(2^(2k))n/(n − k)C_(n − k)^k a_(n, 0)

Question 13

Pour tout entier naturel n, le polynôme P_n défini à la question 3 est donc de la forme:
E(n/2 + 1)
a) P_n(X) = ∑_(k = 0)^(12)((− 1)^k)/(n − k)n2^(n − 2k − 1)C_(n − k)^k X^(n − 2k)
E(n/2)
b) P_n(X) = ∑_(k = 0)^∞((− 1)^(k − 1))/(n − k)n2^(n − 2k − 1)C_(n − k)^k X^(n − 2k)
E(n/2)
c) P_n(X) = ∑_(k = 0)(− 1)^k n/(n − k)2^(n − 2k − 1)C_(n − k)^k X^(n − 2k + 1)
E(n/2)
d) P_n(X) = ∑_(k = 0)(− 1)^k n/(n − k)2^(n − 2k − 1)C_(n − k)^k X^(n − 2k)
Soient p et q, 2 entiers naturels non nuls premiers entre eux (ou étrangers), tels que le rationnel r = p/q vérifie 0 < r < 1/2 et cos(rπ) ∈ ℚ(ℚ désignant l'ensemble des nombres rationnels)

Question 14

On a alors:
a) q = 2 et cos(π/q) ∈ ℚ
b) ∃(u, v) ∈ ℤ^2 tqπp/qu + πv = π/q
c) q ≥ 3 et ∃(u, v) ∈ ℤ^2 tqcos(π/q) = P_u(cos(rπ))
d) q ≥ 3cos(π/q) ∈ ℚcar∃ν ∈ ℤ∃n ∈ ℕtqcos(π/q) = (− 1)^ν P_n(cos(rπ))

Question 15

La relation q = 4k où k est un entier non nul.
a) est impossible puisque q = 2
b) est impossible car q est nécessairement impair
c) peut être réalisée
d) est impossible car P_k(cos(π/(4k))) = cosπ/4 ∉ ℚ

Question 16

L'égalité q = h entier impair
a) ne peut être réalisée
Si cette égalité est réalisée on a:
b) P_h(cos(π/h)) = − 1
c) cos(π/h) est racine du polynôme P_h.
d) cos(π/h) est racine de 2^(h − 1)X^h + … + a_((h, h − 1)/2)X + 1 = 0 car P_h a un terme constant nul.

PARTIE II

On désignera par E l'espace vectoriel réel ℝ[X], des polynômes à une indéterminée à coefficients réels et par F le sous-espace vectoriel des polynômes de E de degré inférieur ou égal à 3 .
On considère l'application f qui à tout élément P de E associe le polynôme f(P) défini par [f(P)](X) = P(X) − P(X − 1) et on note f_F la restriction de f à F

Question 17

Le sous-espace vectoriel F est de dimension
a) 3
b) 4
et on a:
c) f est une application linéaire de E dans F
d) f_F est un endomorphisme de F

Question 18

La matrice M de l'application f_F par rapport aux bases canoniques des espaces de départ et d'arrivée de cette application s'écrit:
a) M = [1, − 1, 1; 0, 2, − 3; 0, 0, 3]
b) M = [0, 0, 0, 0; 1, 0, 0, 0; − 1, 2, 0, 0; 1, − 3, 3, 0]
c) M = [0, 1, − 1, 1; 0, 0, 2, − 3; 0, 0, 0, 3]
d) M = [0, 1, − 1, 1; 0, 0, 2, − 3; 0, 0, 0, 3; 0, 0, 0, 0]

Question 19

De manière générale, pour des matrices de type ( n, p ) ( n lignes et p colonnes) à coefficients dans le corps K(K = ℝ ou ℂ), on a:
a) 2 matrices équivalentes sont semblables
b) 2 matrices équivalentes ont même rang
et lorsque l'on ajoute à la ligne i_o d'une matrice de 𝔐_(n, p)(K) la ligne i_i multipliée par λ ∈ K, le rang de cette matrice,
c) est inchangée
d) peut être modifié

Question 20

Le rang de l'application f_F
a) vaut 3 car est égal au nombre de colonnes non nulles de M
b) est nécessairement inférieur ou égal à 3 car l'espace F est de dimension 3
c) vaut 2 car il y a 2 colonnes de M linéairement indépendantes
d) vaut 3 car on peut extraire au plus 3 colonnes ou lignes linéairement indépendantes de M

Question 21

Les sous-espaces vectoriels noyau et image de f_F sont tels que:
a) dimkerff_F = dimF − rgf_F = 2
b) kerf_F = ℝ
c) la famille de polynômes ( 1, X ) forme une base de Imf_F
d) Imf_F est le sous-espace ℝ_2[x] des polynômes de degré inférieur ou égal à 2
On considère la famille ( A_0, A_1, A_2, A_3 ) des polynômes de E définie par A_0 = 1 et ∀i ∈ {1, 2, 3}f_F(A_i) = iA_(i − 1) avec O racine de A_i.

Question 22

Ces polynômes vérifient:
a) 0 < degA_i ≤ 3∀i ∈ {0, 1, 2, 3}
b) A_i est divisible par X, ∀i ∈ {0, 1, 2, 3}
c) A_2(X) = X(X + 1) et A_3(X) = X(X + 1)(X + 2)
d) la famille ( A_0, A_1, A_2, A_3 ) forme une base de F
On note B base canonique de F et A la base de F formée à l'aide des polynômes ( A_0, A_1, A_2, A_3 ) classés par ordre croissant de degré.

Question 23

La matrice de passage P de la base B à la base 𝒜 s'écrit:
a) P = [1, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0; 0, 1, 1, 0; 0, 2, 3, 1]
b) P = [1, 0, 0; 0, 1, 1; 0, 0, 1]
c) P = [1, 0, 0, 0; 0, 1, 1, 2; 0, 0, 1, 3; 0, 0, 0, 1]
d) P = [1, 0, 0, 0; 0, 1, 1, 1; 0, 0, 1, 3; 0, 0, 3, 1]

Question 24

La matrice M^′ de l'application f_F lorsque l'on rapporte F à la base 𝒜 s' écrit:
a) M^′ = [0, 0, 0, 0; 1, 0, 0, 0; 0, 2, 0, 0; 0, 0, 3, 0]
b) M^′ = [1, 0, 0; 0, 2, 0; 0, 0, 3]
c) M^′ = PMP^(− 1) = [0, 1, 0, 0; 0, 0, 2, 0; 0, 0, 0, 3; 0, 0, 0, 0]
d) M^′ = [0, 1, 0, 0; 0, 0, 2, 0; 0, 0, 0, 3; 0, 0, 0, 0] = P^(− 1)MP

Question 25

Soit g l'application définie par g(X^i) = A_i∀i ∈ {0, 1, 2, 3}. On a alors:
a) g est un endomorphisme injectif mais non bijectif de F
b) g est un endomorphisme bijectif de F car g transforme une base de F en une base de F
et la matrice G de g par rapport à la base canonique de F vérifie:
c) G = P^(− 1) = [1, 0, 0, 0; 0, 1, − 1, 1; 0, 0, 1, − 3; 0, 0, 0, 1]
d) G = P

PARTIE III

On pose pour tout entier naturel n : I_n = ∫_0^(π/2)sin^n xdx

Question 26

La suite (I_n)_(n ∈ ℕ) est telle que:
a) I_0 = 0
b) I_1 = − 1
c) I_n − I_(n − 1) peut être nul pour certaines valeurs de n ∈ ℕ^∗
d) I_n − I_(n − 1) > 0∀n ∈ ℕ^∗

Question 27

Pour tout entier n ≥ 2 on a la relation:
a) I_n = I_(n − 2) − 1/(n + 1)I_n
b) I_n = n/(n − 1)I_(n − 2)
c) I_n = (n − 1)/nI_(n − 2)
d) I_n = (n + 1)/nI_(n − 1)

Question 28

Le terme général I_n de cette suite s'écrit, pour tout entier naturel n
a) I_n = (n + 1)I_o
b) I_(2p) = (2^(2p)(p!)^2)/((2p)!)π/2 et I_(2p + 1) = ((2p + 1)!)/(2^(2p)(p!)^2)∀p ∈ ℕ
c) I_(2p) = ((2p)!)/(2^(2p + 1)(p!)^2)π et I_(2p + 1) = − (2^(2p)(p!)^2)/((2p + 1)!)∀p ∈ ℕ
d) I_(2p) = ((2p)!)/(2^(2p + 1)(p!)^2)π et I_(2p + 1) = (2^(2p)(p!)^2)/((2p + 1)!)∀p ∈ ℕ

Question 29

La suite (I_n)_(n ∈ ℕ)
a) est strictement croissante
b) est décroissante et peut être stationnaire et elle vérifie les inégalités
c) I_(2p + 1) > I_(2p) > I_(2p − 1) ∀p ∈ ℕ^∗
d) I_(2p + 1) < I_(2p − 1) et I_(2p) > I_(2p − 2) ∀p ∈ ℕ^∗

Question 30

La suite (I_n)_(n ∈ ℕ)
a) est convergente car les suites (I_(2p))_(p ∈ ℕ) et (I_(2p + 1))_(p ∈ ℕ) sont adjacentes
b) est divergente car les suites (I_(2p))_(p ∈ ℕ) et (I_(2p + 1))_(p ∈ ℕ) ne convergent pas vers la même limite
et pour tout entier naturel n, on a, en introduisant le changement de variable x = cost
c) ∫_0^1(1 − x^2)^n dx = I_(2n + 1)
d) ∫_0^1(1 − x^2)^n dx = − I_(2n)

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