Petites Mines Mathématiques (MPSI) Sup 2000Sujet et corrigé

Pas encore noté

Faisable en Sup

Explorer les annales

BanqueAutres Année2000 FilièreSUP MatièreMathématiques

Annales Autres SUP Mathématiques Autres SUP 2000 SUP Mathématiques Mathématiques 2000

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Lire en ligne LaTeX Word

Rapport du jury : non disponible

Présentation du sujet

Fonction argument tangente hyperbolique, équation fonctionnelle et réduction de matrices

Le sujet comporte une partie d'analyse et une partie d'algèbre. L'analyse étudie la fonction réciproque de la tangente hyperbolique, une équation différentielle linéaire, puis une équation fonctionnelle liée à tanh via des suites récurrentes. L'algèbre étudie un polynôme (X+1)^(2n)-1 et ses racines, l'équation (f+Id)^(2n)=Id dans un espace vectoriel complexe, puis sa résolution matricielle par réduction dans un sous-espace de matrices 3x3.

1Analyse, partie I : fonction réciproque de tanhpremière annéeÉtude de la bijectivité de tanh, construction et étude de sa réciproque argth (dérivée, imparité, expression à l'aide de fonctions usuelles, développement limité en 0).
2Analyse, partie II : équation différentiellepremière annéeRésolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients non constants sur un intervalle.
3Analyse, partie III : équation fonctionnellepremière annéeRecherche des fonctions dérivables en 0 vérifiant une relation fonctionnelle reliant f(2x) à f(x), à l'aide de suites récurrentes et d'un raisonnement par l'absurde.
4Algèbre, partie I : polynôme (X+1)^(2n)-1première annéeFactorisation du polynôme, détermination de ses racines complexes et calcul d'un produit de sinus, puis décomposition en éléments simples de son inverse.
5Algèbre, partie II : équation (f+Id)^(2n)-Id=0 dans L(E)première annéeRecherche des homothéties et des symétries d'un espace vectoriel complexe solutions de l'équation, à l'aide de sommes de coefficients binomiaux.
6Algèbre, partie III : résolution matricielle dans un sous-espace de M3(C)première annéeÉtude d'un sous-espace de matrices 3x3 stable par produit, réduction d'une matrice de ce sous-espace par changement de base, et résolution de l'équation matricielle correspondante.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

CONCOURS COMMUN SUP 2000 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve de Mathématiques
(toutes filières)
Lundi 22 mai 2000 de 14 h 00 à 18 h 00

Instructions générales :

Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.

ANALYSE

Partie I : Étude de la fonction réciproque de la fonction

tanh

.
On notera respectivement cosh, sinh et tanh les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique définies par :

\forallx \in ℝ, cosh(x) = (e^x + e^(- x))/2, sinh(x) = (e^x - e^(- x))/2 et tanh(x) = (sinh(x))/(cosh(x)) = (e^x - e^(- x))/(e^x + e^(- x))

- Montrer, en étudiant ses variations, que tanh est une bijection de $ℝ$ sur un intervalle $I$ de $ℝ$ à préciser. On note artanh («argument tangente hyperbolique») sa réciproque.
- Exprimer la dérivée de tanh en fonction de tanh.
- Démontrer que artanh est impaire.
- Démontrer que artanh est dérivable sur $I$ et calculer sa dérivée.
- Exprimer artanh à l'aide de fonctions usuelles.
- Déterminer un développement limité à l'ordre 5 de artanh en 0 .

Partie II : Étude d'une équation différentielle

Soit l'équation différentielle

(E) : xy^' + 3y = 1/(1 - x^2)

.
7. - Résoudre (

E

) sur l'intervalle

J = ]0, 1[

Partie III : Étude d'une équation fonctionnelle

Le but de cette partie est de résoudre le problème suivant :
déterminer les fonctions

f

définies sur

ℝ

, à valeurs réelles et dérivables en 0 qui vérifient :

\forallx \in ℝ, f(2x) = (2f(x))/(1 + (f(x))^2)

- Déterminer les fonctions constantes solutions du problème posé.
- Déterminer les valeurs possibles de $f(0)$ si $f$ est solution.
- Montrer que, si $f$ est solution, on a $\forallx \in ℝ, - 1 \leq f(x) \leq 1$ . (on pourra exprimer $f(x)$ en fonction de $f(x/2)$ .)
- Montrer que si $f$ est solution, $- f$ est aussi solution.
- Montrer que tanh est solution du problème posé.

Dans les questions 13. à 17., on suppose que

f

est une solution du problème posé, que

f(0) = 1

et que

f

n'est pas constante.
On considère

x_0 \in ℝ

, tel que

f(x_0) \neq f(0)

et l'on définit la suite

(u_n)

par:

\foralln \in ℕ, u_n = f((x_0)/(2^n))

.
13. - Montrer que la suite

(u_n)

est convergente et préciser sa limite.
14. - Établir une relation entre

u_n

u_(n + 1)

; en déduire que la suite (

u_n

) garde un signe constant, puis étudier sa monotonie suivant le signe de

u_0

.
15. - En utilisant les résultats des questions 13. et 14., aboutir à une contradiction.
16. - Que peut-on dire si l'hypothèse «

f(0) = 1

» est remplacée par l'hypothèse «

f(0) = - 1

»?
17. - Conclusion?

Dans les questions 18. à 22., on suppose que

f

est une solution du problème posé et que

f(0) = 0

.
18. - En raisonnant par l'absurde et en considérant une suite du même type que celle des questions 13. à 17., montrer que:

\forallx \in ℝ, f(x) \neq - 1

f(x) \neq - 1

.
On définit alors la fonction

g

par :

\forallx \in ℝ, g(x) = artanh(f(x))

.
19. - Montrer que:

\forallx \in ℝ, g(2x) = 2g(x)

.
20. - Montrer que

g

est dérivable en zéro.
21. - Soit

x \in ℝ^⋆

; on définit la suite (

v_n

) par:

\foralln \in ℕ, v_n = (f(x/(2^n)))/(x/(2^n))

Montrer que (

v_n

) est convergente et déterminer sa limite.
22. - En déduire que

g

est linéaire.
23. - Déterminer toutes les fonctions solutions du problème posé.

ALGÈBRE

Les parties I, II et III sont, dans une large mesure, indépendantes.
Soit

n

un entier naturel non nul.

Partie I :

On pose :

A = (X + 1)^(2n) - 1

, polynôme de

ℝ[X]

- Montrer que l'on peut écrire $A = X \times B$ où $B$ est un polynôme de $ℝ[X]$ dont on précisera le degré, le coefficient dominant et le terme constant noté $b_0$ .
- Déterminer les racines de $A$ dans $ℂ$ . On posera $z_0 = 0$ et les autres racines $z_1, z_2, \dots, z_(2n - 1)$ seront mises sous forme trigonométrique.
  On pose $P_n = \prod_(k = 1)^(n - 1)sin(kπ)/(2n)$ .
- Montrer, à l'aide d'un changement d'indice, que $P_n = \prod_(k = n + 1)^(2n - 1)sin(kπ)/(2n)$ .

En déduire que, si

Q_n = \prod_(k = 1)^(2n - 1)sin(kπ)/(2n)

, alors

P_n = \sqrt(Q_n)

.
4. - Calculer de deux façons :

\prod_(k = 1)^(2n - 1)z_k

. Puis, en déduire

Q_n

et enfin,

P_n

.
5. - On pose

F = 1/A

. Déterminer la décomposition de

F

en éléments simples sur

ℂ

Partie II :

On travaille dans un

ℂ

-espace vectoriel

E

supposé non réduit au vecteur nul.

L(E)

désigne l'ensemble des endomorphismes de

E, I_E

est l'application identité de

E

θ

désigne l'application nulle.
Par convention :

\forallf \in L(E), f^0 = I_E

.
On étudie sur quelques cas particuliers, l'équation :

(f + I_E)^(2n) - I_E = θ

où

f \in L(E)

est l'inconnue.
6. - Déterminer les homothéties vectorielles qui sont solutions de l'équation proposée.
7. - En développant

(1 + 1)^(2n)

(1 - 1)^(2n)

déterminer les sommes

S = \sum_(k = 0)^n((2n)/(2k))

S^' = \sum_(k = 0)^(n - 1)((2n)/(2k + 1))

. (la notation

(n/k)

désigne le coefficient binomial

: (n!)/(k!(n - k)!)

.)
8. - Si

s

est une symétrie de

E

, exprimer

(s + I_E)^(2n) - I_E

en fonction de

s

I_E

. En déduire les symétries de

E

solutions de l'équation proposée.

Partie III :

On travaille dans

M_3(ℂ)

ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients dans

ℂ

I

désigne la matrice identité et

O

la matrice nulle.
On pose

G = {M_(a, b) ∈ M_3(ℂ)|(a, b) ∈ ℂ^2}

où

M_(a, b)

désigne la matrice

(a, b, b; b, a, b; b, b, a)

.
9. - Montrer que

G

est un sous-espace vectoriel de

M_3(ℂ)

dont on précisera la dimension et une base ; vérifier que

G

est stable pour le produit matriciel.
On cherche à résoudre l'équation matricielle

(*)(M + I)^(2n) - I = O

, avec

M

, matrice inconnue, dans

G

.
On note

E

ℂ

-espace vectoriel

ℂ^3

B = (e_1, e_2, e_3)

la base canonique de

E

.
Soient

M = M_(a, b)

un élément de

G

tel que

b \neq 0, u

l'endomorphisme de

E

canoniquement associé à

M

I_E

, l'application identité de

E

.
10. - Déterminer une base

(e_1^')

E_1 = Ker(u - (a + 2b).I_E)

.
11. - Déterminer une base

(e_2^', e_3^')

E_2 = Ker(u - (a - b).I_E)

.
12. - Montrer que

(e_1^', e_2^', e_3^')

est une base de

E

; on la note

B^'

.
13. - Déterminer la matrice

D

u

dans la base

B^'

.
14. - On note

P

la matrice de passage de

B

B^'

. Écrire

P

et déterminer

P^(- 1)

en précisant la méthode utilisée et en détaillant les calculs.
15. - Exprimer

M

en fonction de

P, D

P^(- 1)

.
16. - Montrer que :

M

est solution de l'équation () si et seulement si $D$ est solution de l'équation ().
17. - Déterminer toutes les matrices

D

solutions de l'équation ().
18. - En déduire toutes les solutions de l'équation () dans

G

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques du concours commun Sup des Mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes 2000 ?

La partie analyse porte sur les fonctions hyperboliques réciproques, les équations différentielles et les équations fonctionnelles. La partie algèbre porte sur les polynômes complexes, les endomorphismes remarquables et la réduction des matrices.

Les parties du sujet sont-elles indépendantes ?

L'énoncé précise que les parties I, II et III de la partie algèbre sont, dans une large mesure, indépendantes. La partie analyse s'organise en trois parties qui peuvent globalement être abordées séparément, la partie III réutilisant toutefois la fonction argth de la partie I.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet ?

Les fonctions usuelles et leurs réciproques, les équations différentielles linéaires du premier ordre, les suites récurrentes, les polynômes et leurs racines complexes, ainsi que les endomorphismes et la réduction des matrices en dimension finie.

Ce sujet est-il accessible en première année de prépa ?

Oui, il s'agit d'une épreuve de fin de première année (sup) du concours commun Mines Albi-Alès-Douai-Nantes, dont le contenu correspond au programme de mathématiques de première année.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Petites Mines Mathématiques (MPSI) Sup 2000

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...

Explorer les annales

Téléchargements

Présentation du sujet

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

CONCOURS COMMUN SUP 2000 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Lundi 22 mai 2000 de 14 h 00 à 18 h 00

Instructions générales :

ANALYSE

Partie II : Étude d'une équation différentielle

Partie III : Étude d'une équation fonctionnelle

ALGÈBRE

Partie I :

Partie II :

Partie III :

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques du concours commun Sup des Mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes 2000 ?

Les parties du sujet sont-elles indépendantes ?

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet ?

Ce sujet est-il accessible en première année de prépa ?

Commentaires• Petites Mines Mathématiques (MPSI) Sup 2000

Commentaires• Petites Mines Mathématiques (MPSI) Sup 2000

Épreuve de Mathématiques
(toutes filières)
Lundi 22 mai 2000 de 14 h 00 à 18 h 00