Petites Mines Mathématiques Sup 2002Sujet et corrigé
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Étude de la fonction arctan(t)/t et d'une suite associée ; endomorphismes contractants et point fixe d'une application affineAfficher ou masquer la section
Présentation du sujet
Étude de la fonction arctan(t)/t et d'une suite associée ; endomorphismes contractants et point fixe d'une application affine
Le problème d'analyse étudie la fonction f(t) = arctan(t)/t, puis une fonction moyenne phi construite à partir de f, la convergence d'une suite récurrente définie par cette fonction, et une équation différentielle dont phi est l'unique solution. Le problème d'algèbre étudie l'ensemble des endomorphismes contractants d'un espace euclidien de dimension 3, des exemples explicites de telles matrices, et le théorème du point fixe pour une application affine associée, appliqué à l'étude de trois suites récurrentes couplées.
- 1Problème d'analyse, question 1 : étude de la fonction fOn étudie la continuité, la parité, la dérivabilité et les variations de la fonction f(t) = arctan(t)/t.
- 2Problème d'analyse, question 2 : étude de la fonction moyenne phiOn définit phi(x) comme la valeur moyenne de f sur [0,x], on étudie sa continuité, son encadrement par f et 1, ses variations et sa limite en l'infini.
- 3Problème d'analyse, question 3 : suite récurrente et équation différentielleOn étudie la convergence de la suite définie par itération de phi vers l'unique point fixe alpha, puis on résout une équation différentielle dont phi est l'unique solution sur R.
- 4Problème d'algèbre : endomorphismes contractants et point fixe affineOn étudie l'ensemble S des endomorphismes contractants d'un espace euclidien de dimension 3, des exemples explicites (demi-tour, matrices diagonalisables), et on applique le théorème du point fixe à une application affine pour étudier la convergence de trois suites couplées.
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CONCOURS COMMUN SUP 2002 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES
Épreuve de Mathématiques
(toutes filières)
Mardi 21 mai 2002 de 14 h00 à 18 h00
Instructions générales:
Les candidats :
Les candidats :
- doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées
1/4, 2/4, 3/4 et4/4 , - sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées,
- colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondante.
Problème d'Analyse
- Soit
f l'application deℝ dansℝ définie par:f(0) = 1 et∀t ≠ 0, f(t) = (Arctan(t))/t .
1.1 Montrer quef est continue surℝ et paire.
1.2 Donner le développement limité à l'ordre 1 def(t) au voisinage de 0 . En déduire quef est dérivable en 0 , et donnerf^′(0) .
1.3 Justifier quef est dérivable surℝ , et calculerf^′(t) , pourt ∈ ℝ^∗ .
1.4 A l'aide d'une intégration par parties, montrer que:∀t ∈ ℝ^∗, ∫_0^t(w^2)/((1 + w^2)^2)dw = − 1/2t^2 f^′(t) .
En déduire le sens de variation de
f .
1.5 Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (unité : 2 cm ).
(On ne demande pas l'étude des points d'inflexion)
2. Soitφ l'application de
ℝ dans
ℝ définie par:
φ(0) = 1 et
∀x ≠ 0, φ(x) = 1/x∫_0^x f(t)dt .
2.1 Montrer queφ est continue sur
ℝ et paire.
2.2 Montrer que:∀x ∈ ℝ, f(x) ≤ φ(x) ≤ 1 . (on pourra commencer par supposer
x > 0 )
2.3 Montrer que:∀x ∈ ℝ^∗, φ^′(x) = 1/x(f(x) − φ(x)) .
1.5 Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (unité : 2 cm ).
(On ne demande pas l'étude des points d'inflexion)
2. Soit
2.1 Montrer que
2.2 Montrer que:
2.3 Montrer que:
Montrer que
φ est dérivable en 0 , avec
φ^′(0) = 0 . Donner les variations de
φ .
2.4 Montrer que:lim_(x → + ∞)1/x∫_1^x f(t)dt = 0 . En déduire que
lim_(x → + ∞)φ(x) = 0 .
2.5 Tracer la courbe représentative deφ dans le mêmé repère que celle de
f .
(On ne demande pas l'étude des points d'inflexions)
3. Soit (u_n ) la suite définie par
u_0 ∈ ℝ et pour tout
n de
ℕ : u_(n + 1) = φ(u_n) , où
φ est l'application du 2).
3.1 Montrer que:∀t ≥ 0, 0 ≤ t/(1 + t^2) ≤ 1/2 .
3.2 Montrer que, pour toutx strictement positif :
|φ^′(x)| ≤ 1/x(1 − f(x)) = 1/(x^2)∫_0^x(t^2)/(1 + t^2)dt . (On pourra utiliser 2.2 et 2.3). En déduire que, pour tout
x strictement positif :
|φ^′(x)| ≤ 1/4 , et que cette inégalité reste vérifiée pour tout
x de
ℝ .
3.3 Montrer que l'équation :x ∈ ℝ, φ(x) = x admet une unique solution. On note
α cette solution. Montrer que
α ∈ ]0; 1] .
3.4 Prouver que:∀n ∈ ℕ, |u_(n + 1) − α| ≤ 1/4|u_n − α| .
2.4 Montrer que:
2.5 Tracer la courbe représentative de
(On ne demande pas l'étude des points d'inflexions)
3. Soit (
3.1 Montrer que:
3.2 Montrer que, pour tout
3.3 Montrer que l'équation :
3.4 Prouver que:
En déduire que (
u_n ) est convergente, et préciser sa limite.
4. On considère l'équation différentielle :x^2 y^′ + xy = Arctan(x) .
4.1 Résoudre cette équation différentielle sur] − ∞, 0[ et sur
]0, + ∞[ .
4.2 Montrer queφ est l'unique solution sur
ℝ de cette équation différentielle.
4. On considère l'équation différentielle :
4.1 Résoudre cette équation différentielle sur
4.2 Montrer que
Problème d'Algèbre
Dans ce problème,
E désigne un espace vectoriel euclidien de dimension trois,
B = (e_1, e_2, e_3) une base orthonormée de
E . La norme de
E est notée
‖ . #. On note
L(E) l'ensemble des endomorphismes de
E, GL(E) l'ensemble des automorphismes de
E, Id_E l'application identique de
E, o_E le vecteur nul de
E .
E désigne un espace affine euclidien associé à
E, R = (O, e_1, e_2, e_3) un repère orthonormé de
E .
- Soit
ψ l'endomorphisme deE dont la matrice relativement àB estA = 1/4(− 1, 2, 2; 2, − 1, 2; 2, 2, − 1) .
1.1 Montrer que4/3ψ est un demi-tour dont on précisera l'axeD .
1.2 En déduire queψ est la composée commutative de deux endomorphismes simples deE que l'on précisera. - On note
S l'ensemble des endomorphismesφ deE pour lesquels :
2.1 Montrer que
ψ appartient à
S ∩ GL(E) .
2.2Id_E appartient-il à
S ?
2.3 Montrer queS est stable pour o.
S ∩ GL(E) est-il un sous-groupe de
(GL(E), o) ?
2.4 Soitφ un élément de
S . Montrer que
Ker(φ − Id_E) = {o_E} . En déduire que
(φ − Id_E) appartient à
GL(E) .
2.5 Montrer queφ ∈ S si et seulement si
∃k ∈ [0; 1[, ∀x ∈ E, (‖x‖ = 1 ⟹ ‖φ(x)‖ ≤ k) .
2.6 Soitφ ∈ L(E) . On suppose qu'il existe une base orthonormée de
E dans laquelle la matrice de
φ est diagonale, à éléments diagonaux sírictement inférieurs a i en valeur absolue. Montrer que
φ ∈ S .
3. Soitμ l'endomorphisme de
E dont la matrice relativement à
B est
M = 1/6(3, 1, − 1; 1, 3, 1; − 1, 1, 1) .
3.1 On définit :e_1^′ = 1/(√3)(e_1 − e_2 − e_3), e_2^′ = 1/(√2)(e_1 + e_2) et
e_3^′ = 1/(√6)(e_1 − e_2 + 2e_3) .
2.2
2.3 Montrer que
2.4 Soit
2.5 Montrer que
2.6 Soit
3. Soit
3.1 On définit :
Vérifier que (
e_1^′, e_2^′, e_3^′ ) est une base orthonormée
B^′ de
E .
3.2 Déterminer la matrice deμ dans la base
B^′ . En déduire que
μ ∈ S .
4. Soitφ_α l'endomorphisme de
E dont la matrice relativement à
B est
M_α = α(1, − 1, 0; 0, 1, 1; 1, 0, − 1) . On se propose de prower que
φ_α ∈ S si et seulement si
|α| < 1/2 .
Soitx = x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3 un vecteur de
E de norme 1 .
4.1 Montrer que:‖φ_Ω(x)‖^2 = α^2(1 + (x_1 − x_2 − x_3)^2) .
4.2 Le vecteurx s'écrit, dans la base
B^′ du
3.1 : x = x_1^′ e_1^′ + x_2^′ e_2^′ + x_3^′ e_3^′ .
3.2 Déterminer la matrice de
4. Soit
Soit
4.1 Montrer que:
4.2 Le vecteur
Montrer que :
‖φ_α(x)‖^2 = α^2(1 + 3x_1^(′2)) . En déduire que :
‖φ_α(x)‖ ≤ 2|α| .
Déterminer l'ensemble desx de
E de norme 1 pour lesquels l'inégalité précédente est une égalité.
4.3 Montrer queφ_α ∈ S si et seulement si
|α| < 1/2 .
5. Soitf une application affine de
E dans
E dont l'endomorphisme associé
φ appartient à
S .
5.1 SoitM un point de
E . Montrer que
M est invariant par
f si et seulement si
(φ − Id_E)(OM^(→−)) = f(O)O^(→−) .
5.2 En déduire quef admet un point invariant et un seul, que l'on note
Ω .
5.3 Justifier l'égalité :∀M ∈ E, Ωf(M)^(→−) = φ(ΩM^(→−)) .
5.4 On définit la suite (M_n ) de points de
E par
M_0 ∈ E et
∀n ∈ ℕ, M_(n + 1) = f(M_n) . 5.4.1 Montrer que
lim_(n → + ∞)‖ΩM_n^(→−)‖ = 0 .
5.4.2 Soient(x_n), (y_n) et
(z_n) les suites réelles définies par :
x_0 , yo et
z_0 sont des réels, et :
∀n ∈ ℕ, {x_(n + 1) = 1/4x_n − 1/4y_n + 1; y_(n + 1) = 1/4y_n + 1/4z_n + 1/2; z_(n + 1) = 1/4x_n − 1/4z_n + 1 .
Montrer que(x_n), (y_n) et
(z_n) sont convergentes, et préciser leurs limites respectives.
Déterminer l'ensemble des
4.3 Montrer que
5. Soit
5.1 Soit
5.2 En déduire que
5.3 Justifier l'égalité :
5.4 On définit la suite (
5.4.2 Soient
Montrer que
Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte ce sujet de maths sup Petites Mines 2002 ?Afficher ou masquer la section
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4 questionsSur quels chapitres porte ce sujet de maths sup Petites Mines 2002 ?
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