Petites Mines Mathématiques Sup 2005Sujet

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondante.

Les quatre parties A, B, C, D de ce problème sont totalement indépendantes entre elles.
Dans tout ce problème, on se place dans l'espace usuel muni d'un repère orthonormé direct R = (O, i⃗, j⃗, k⃗). On note E l'ensemble des points de l'espace et E l'ensemble des vecteurs de l'espace. Les différentes coordonnées et équations qui apparaissent dans l'énoncé sont relatives au repère R.

Si X⃗ = xi⃗ + yj⃗ + zk⃗, on pourra aussi noter X⃗ = (x, y, z).
Si α, β et δ sont trois réels fixés et si u⃗, v⃗ et w⃗ sont trois vecteurs fixés de E, on note f l'application linéaire de E dans E définie pour tout vecteur X⃗ de E par

On note D^′ la droite passant par O dirigée par a⃗ = i⃗ + j⃗ + k⃗, D la droite d'équations {y = z; x = 1, Q le plan d'équation y + z = 0 et enfin, pour tout réel m, P_m est le plan d'équation x + my − mz = 1.

A - 1) Donner un vecteur normal n_m^(→−) de P_m ainsi qu'un point et un vecteur directeur de D.
Vérifier que tous les plans P_m contiennent la droite D.
A - 2) Calculer r_m^(→−) = n_m^(→−) ∧ a⃗. En déduire que D^′ n'est pas orthogonale à P_m. On appelle alors R_m l'unique plan contenant D^′ et perpendiculaire à P_m. Obtenir une équation cartésienne de R_m.

A - 3) Déterminer, pour tout réel m, les coordonnées dans R de I_m point d'intersection des plans P_m, Q et R_m.

A - 4) On note ( S ) d'équation x^2 + y^2 + z^2 = x et Ω le point de Q de coordonnées (1/2, 0, 0).
Préciser la nature géométrique de ( S ) ainsi que les éléments géométriques qui le caractérisent.

A - 5) Vérifier que I_m appartient à ( S ) puis que I_m appartient à un cercle dont on donnera le centre et le rayon.

A - 6) Déterminer l'ensemble F des points M de E par lesquels passe un et un seul plan P_m.
Quelle est la réunion des plans P_m lorsque m décrit ℝ ?

Dans cette partie B, on prend u⃗ = v⃗ = i⃗ + j⃗ + k⃗, w⃗ = j⃗ + k⃗ − 5i⃗, α = 3, β = − 3 et δ = 1.
B-1) Vérifier que f(x, y, z) = (4y + 2z, d, e) où l'on exprimera d et e en fonction de x, y et z.
B-2) Déterminer une base et la dimension du noyau de f.f est-il un automorphisme de E ?
B - 3) Enoncer complètement le théorème du rang. Obtenir le rang de f.
B-4) Montrer, dans le cas général, que si φ est une application linéaire définie sur le ℝ-espace vectoriel G où G est engendré par les vecteurs e_1^(→−), e_2^(→−) et e_3^(→−), alors l'image de φ est le ℝ-espace vectoriel engendré par les vecteurs φ(e_1^(→−)), φ(e_2^(→−)) et φ(e_3^(→−)).

B - 5) Déterminer une base de l'image de f.
B-6) Montrer que B^′ = (f(f(i⃗)), f(i⃗), i⃗) est une base de E.
Obtenir ensuite la matrice A^′ de f dans B^′.
B-7) Sachant que la matrice de passage P de la base B^′ à la base B = (i⃗, j⃗, k⃗) est l'une des deux matrices suivantes :

préciser, en argumentant votre choix, laquelle est P.
Donner le lien matriciel reliant A = M_B(f) à A^′ = M_(B^′)(f).

Dans cette partie C, on prend u⃗ = v⃗ = i⃗ + j⃗ + k⃗, α = − 3, β = 5 et δ = 0.
On admet qu' alors M = (2, − 3, − 3; − 3, 2, − 3; − 3, − 3, 2) est la matrice de f dans la base B = (i⃗, j⃗, k⃗).
On rappelle que, par convention, on note M^0 = (1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1) = I_3.
C-1) Prouver, par récurrence sur n, que pour tout entier naturel n, on peut trouver deux réels (qu'on notera a_n et b_n ) tels que

On obtiendra ainsi les relations définissant a_(n + 1) et b_(n + 1) en fonction de a_n et de b_n.
C-2) En utilisant les relations précédemment trouvées, vérifier que ∀n ∈ ℕ, b_(n + 2) − b_(n + 1) − 20b_n = 0.
C - 3) En déduire la valeur de b_n puis celle de a_n en fonction de n.

C-4) Vérifier que M^2 est combinaison linéaire de M et de la matrice I_3.
En déduire que M est inversible et expliciter les coefficients de la matrice M^(− 1).

Dans cette partie D, on prend β = δ = 0. On renomme alors g l'application f de l'introduction, soit

où u⃗ et v⃗ sont deux vecteurs non nuls fixés de E et où α est un réel non nul.
D - 1) Vérifier que si α(u⃗ ⋅ v⃗) = 1, alors g est un projecteur.
Démontrer ensuite que si g est un projecteur, alors α(u⃗ ⋅ v⃗) = 1.
D - 2) On suppose que α(u⃗ ⋅ v⃗) = 1. On note F_1 = {X⃗ ∈ E/u⃗ ⋅ X⃗ = 0} et F_2 = {λv⃗/λ ∈ ℝ}. Vérifier que F_1 et F_2 sont supplémentaires dans E (l'écriture x⃗ = (x⃗ − g(x⃗)) + g(x⃗) pourra être utile).
Sur quel espace vectoriel parallèlement à quel autre g est-elle alors la projection ?
D - 3) A l'aide des deux questions précédentes, trouver la matrice Π_B dans la base B = (i⃗, j⃗, k⃗) de la projection p sur P = {X⃗ = (x, y, z) ∈ E/x + y + z = 0} parallèlement à la droite D engendrée par j⃗ + k⃗ − 5i⃗.

A - Etude de la fonction f telle que f(x) = 0 si x = 0 et f(x) = x/(ln(x)) sinon
A - 1) Obtenir l'ensemble de définition D de f.
A - 2) f est-elle dérivable en 0 ?
A - 3) Justifier que f est de classe C^1 sur [0; 1[.
A - 4) Dresser le tableau de variations de f.
On y fera apparaître les différentes limites et la valeur de f(e).
B_– - Etude de la suite v telle que v_0 = 3 et ∀n ∈ ℕ, v_(n + 1) = (v_n)/(ln(v_n))
B-1) Montrer que ∀n ∈ ℕ, v_n ≥ e.
B-2) Justifier que la suite v converge et déterminer sa limite.
B - 3) Montrer que ∀x ≥ e, 0 ≤ f^′(x) ≤ 1/4.
B-4) Enoncer l'inégalité des accroissements finis.
B - 5) Montrer que ∀n ∈ ℕ, |v_n − e| ≤ 1/(4^n).
B-6) Sachant que 4^5 > 1000, déterminer un entier n_1 à partir duquel v_n est une valeur approchée de e à 10^(− 12) près.
C - Etude de la fonction g telle que g(x) = (x^2 − 1)/(xln(x))_–
C-1) On admet que, sur D∖{0}, g^′(x) = (1 + x^2)/(x^2 ln^2(x))h(x) avec h(x) = ln(x) + (1 − x^2)/(1 + x^2). Etudier les variations de g.

C-2) Déterminer la limite de g en 1 .
C - 3) Déterminer la position relative de la courbe représentative de g par rapport à celle de f. Déterminer l'aire du domaine plan délimité par les courbes représentatives de f et de g ainsi que par les droites d'équation x = 2 et x = e.

On considère (Γ) la courbe donnée par le paramétrage {x(t) = f(t); y(t) = g(t) pour t décrivant D∖{0}.
D-1) Déterminer les asymptotes de ( Γ ) ainsi que la position relative de ( Γ ) par rapport à celles-ci.
D - 2) Tracer la courbe ( Γ ) en précisant la tangente au point de paramètre t = e.

On note (E_1) l'équation différentielle − x^2 z^′(x) + xz^–(x) = z^2(x).
On recherche les fonctions z solutions de (E_1) sur K = ]1; + ∞[ et qui ne s'annulent pas sur K.
E - 1) On pose y = 1/z. Vérifier que y est solution sur K d'une équation différentielle linéaire du premier ordre ( E_2 ) .
E - 2) Résoudre ( E_2 ) sur K. On vérifiera ensuite que ces solutions sont de la forme g_a : x ⟼ (ln(ax))/x. Vérifier que, pour a > 1, g_a ne s'annule pas sur K. On a donc ainsi z(x) = x/(ln(ax)).
E - 3) Pour a > 0, on note (C_a) la courbe représentative de la fonction f_a : x ⟼ x/(ln(ax)).
Montrer que ( C_a ) est l'image de ( C_1 ) par une homothétie de centre 0 dont on précisera le rapport.

On pose H(x) = 1/x∫_0^x f(t)dt.
F - 1) Déterminer l'ensemble de définition J de H.
F-2) Etudier la limite de H en 0.
F - 3) Justifier qu'il existe un réel a dans ]0; 1] tel que

En déduire la limite de H à gauche en 1 .