ENAC Mathématiques Sup 2005Sujet

1 page de garde,
2 pages (recto-verso) d'instructions pour remplir le QCM,
1 page de consignes
7 pages de texte, numérotées de 1 à 7 . (dans la version originale, pas celle-ci)

CALCULATRICE AUTORISEE

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

ATTENTION, IL NE VOUS EST DÉLIVRÉ QU'UN SEUL QCM

Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette correspondant à l'épreuve que vous passez, c'est-à-dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci-dessous).

POSITIONNEMENT DES ÉTIQUETTES

Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical matérialisant l'axe de lecture du code à barres (en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce code.

EXEMPLES :

2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur NOIRE.
3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après vous être relu soigneusement.
4) Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des inscriptions superflues, sous peine d'être rejeté par la machine et de ne pas être corrigé.
5) Cette épreuve comporte 30 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont liées. La liste des questions liées est donnée au début du texte du sujet.
Chaque candidat devra choisir au plus 20 questions parmi les 30 proposées.
Il est inutile de répondre à plus de 20 questions : la machine à lecture optique lira les réponse en séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura détecté des réponses à 20 questions, quelle que soit la valeur de ces réponses.

Chaque question comporte au plus deux réponses exactes.

A chaque question numérotée entre 1 et 30 , correspond sur la feuille-réponses une ligne de cases qui porte le même numéro (les lignes de 31 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne comporte 5 cases A, B, C, D, E. Pour chaque ligne numérotée de 1 à 30 , vous vous trouvez en face de 4 possibilités :

soit vous décidez de ne pas traiter cette question , la ligne correspondante doit rester vierge.
soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse vous devez noircir l'une des cases $A, B, C, D$ .
soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes, vous devez noircir deux des cases $A, B, C, D$ et deux seulement.
soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées $A, B, C, D$ n'est bonne, vous devez alors noircir la case $E$ .

En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée.

EXEMPLES DE RÉPONSES

Question 1:

1^2 + 2^2

vaut:
A) 3
B) 5
C) 4
D) -1

Question 2 : le produit

(- 1)(- 3)

vaut :
A) -3
B) -1
C) 4
D) 0

Question 3 : Une racine de l'équation

x^2 - 1 = 0

est :
A) 1
B) 0
C) -1
D) 2

Vous marquerez sur la feuille réponse :

QUESTIONS LIEES

1 à 1314 à 1718 à 2627 à 30

PARTIE I

On désigne par

a

un réel strictement positif, et par

f_a

la fonction définie sur

[0, + \infty[

par :

f_a(x) = ae^(- x)

On considère la suite

(u_n)_(n \in ℕ), ℕ

désignant l'ensemble des entiers naturels, définie par :

u_0 \in [0, + \infty[ et \foralln \in ℕ u_(n + 1) = f_a(u_n).

On suppose qu'il existe un et un seul

x \in [0, + \infty[

qui vérifie l'équation

x = f_a(x)

: on note

ℓ_a

cette solution.

Le réel $ℓ_a$ vérifie :
a) $\foralla \in ]0, + \infty[ ℓ_a/(1 - ℓ_a + (ℓ_a^2/2)) < a < ℓ_a/(1 - ℓ_a)$
b) $\foralla \in ]0, + \infty[ ℓ_a < a < ℓ_a + (ℓ_a^2/2)$
c) La fonction qui à $a$ associe $ℓ_a$ est croissante sur $[0, + \infty[$
d) $ℓ_a \sim ln(a)$ lorsque $a$ tend vers $+ \infty$
Si, pour un réel strictement positif $a$ et un réel positif ou nul $u_0$ , la suite ( $u_n$ ) tend vers $ℓ_a$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ , alors :
a) $u_(n + 1) - u_n \sim ℓ_a(u_n - u_(n - 1))$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$
b) $|u_(n + 1) - ℓ_a| \sim ℓ_a|u_n - ℓ_a|$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$
c) Il existe un entier $k$ tel que $|u_(n + 1) - u_n| = ℓ_a^(n - k)|u_(k + 1) - u_k|$ pour $n > k$
d) $ℓ_a ⩽ 1$ ou bien $u_0 = ℓ_a$
Soit $x, y$ deux réels vérifiant $0 ⩽ x < y ⩽ a$
a) $0 < f_a(x) - f_a(y) < f_a(x)(y - x)$
b) $0 < f_a(x) - f_a(y) < (y - x)(a/e)$
c) $|f_a(x) - ℓ_a| < |f_a(y) - ℓ_a|$
d) $|f_a(x) - ℓ_a| < a|x - ℓ_a|$
Dans le cas où $a < 1$ , pour tout $u_0$ strictement positif
a) La suite ( $u_n$ ) est convergente
b) $\foralln \in ℕ u_n ⩽ a^n$ , donc la suite ( $u_n$ ) converge vers 0
c) Il existe un entier $k$ tel que la suite $(u_n)_(n > k)$ soit monotone et $\foralln > k u_n \in [0, a]$
d) $\foralln \in ℕ |u_(n + 1) - ℓ_a| ⩽ a^(n + 1)$

On note

F_a

la fonction composée

f_a \circ f_a

lorsqu'elle est définie.
5. La fonction

g

qui au couple

(x, y)

de réels associe le réel

ye^(- x)

a) n'est définie que sur

[0, + \infty[^2

b) est définie et continue sur

ℝ^2

c) a pour dérivée partielle, par rapport à

x, D_1 g(x, y) = e^(- x) - ye^(- x)

en tout point

(x, y)

ℝ^2

d) est de classe

C^1

sur

ℝ^2

car les fonctions dérivées partielles

D_1 g

D_2 g

, par rapport à

x

y

respectivement, définies par

D_1 g(x, y) = - ye^(- x)

D_2 g(x, y) = e^(- x)

sont continues sur

ℝ^2

6. La fonction

F_a

a) est définie sur

ℝ

pour tout

a > 0

, puisque la fonction

g

est définie sur

ℝ^2

b) est définie sur

ℝ^*

pour tout

a < 1

c) n'est définie et continue que sur

[a, + \infty[

, pour tout

a > 0

d) n'est définie que pour

a < 1

7. La fonction

F_a

est
a) croissante pour tout

a > 0

b) décroissante pour tout

a > 0

c) dérivable sur

[0, + \infty[

et on a

F_a^'(x) = - (f_a(x))^2 \forall(x, a) \in [0, + \infty[^2

d) dérivable sur

]0, + \infty[

et on a

F_a^'(ℓ_a) = ℓ_a^2

pour tout

a > 0

8. Pour tout

a > 0

, on a pour tout

x \in [0, a]

:
a)

a ⩽ x + f_a(x)

1 + ln(a) ⩽ x + f_a(x)

F_a^'(x) ⩽ a/e

F_a^'(x) ⩽ a^2 e^(- a)

9. Pour tout

a

appartenant à l'intervalle

[1, e[

et pour tout

u_0 \in [0, + \infty[

, on a :
a)

\foralln \in ℕ |u_n - ℓ_a| ⩽ |u_0|(a^2 e^(- a))^n

terme général d'une suite qui converge vers 0
b)

|u_(2n + 1) - u_(2n)| ⩽ (a/e)^n|u_1 - u_0|

terme général d'une suite convergeant vers 0 , donc la suite

(u_n)

est convergente
c)

\foralln \in ℕ |u_(2n + 1) - ℓ_a| ⩽ |u_1 - ℓ_a|(a/e)^n

terme général d'une suite convergeant vers 0
d) La suite extraite (

u_(2n)

) est croissante et majorée, donc convergente
10. On suppose dans la suite de cette partie I que

a = e

. On a alors:
a)

\forallx \in [0, + \infty[ x ⩽ F_a(x)

F_a(1) = F_a^'(1) = 1

\forallx \in [0, + \infty[ F_a(x) ⩽ x

F_a^'(x) ⩽ 1

\forallx \in [0, 1[ \cup ]1, + \infty[(F_a(x) - x)(x - 1) > 0

\forallx \in [0, 1[ \cup ]1, + \infty[ (F_a(x) - x)(x - 1) < 0

11. On considère la suite

(v_n)

définie par:

v_0 = u_0 et \foralln \in ℕ v_(n + 1) = F_a(v_n)

La suite

(v_n)

est :
a) croissante et ne tend vers 1 que si

u_0 ⩽ 1

b) monotone et converge vers 1 pour tout

u_0

c) décroissante et ne tend pas vers 1 si

u_0 < 1

d) décroissante pour

n > 1

, et converge vers 1 pour tout

u_0

12. La suite (

u_n

)
a) ne tend vers 1 que si

u_0 ⩽ 1

b) est décroissante et ne tend pas vers 1 si

u_0 < 1

c) est croissante et ne tend pas vers 1 si

u_0 < 1

d) converge vers 1 pour tout

u_0

13. On considère la suite

(w_n)_(n \in ℕ)

, définie par :

\foralln \in ℕ w_n = (1/(u_n - 1)) + (1/(u_(n + 1) - 1))

. Cette suite (

w_n

) a pour limite lorsque

n

tend vers

+ \infty

, si elle existe :
a) 1
b) -1
c)

+ \infty

- \infty

PARTIE II

On désigne par

ω

un réel tel que

0 < ω ⩽ 5

et par

S(ω)

l'ensemble des fonctions

y

de classe

C^2

sur

[0, + \infty[

à valeurs complexes vérifiant :

y(0) = y(2π) et \forallx \in [0, + \infty[ y^('')(x) + 6y^'(x) + (9 + ω^2)y(x) = e^(5ix)

On a :
a) Toutes les fonctions $y$ de $S(ω)$ tendent vers 0 lorsque $x$ tend vers $+ \infty$
b) Pour $ω = 4$ , il existe au moins une fonction $y$ de $S(4)$ qui n'est pas bornée sur $[0, + \infty[$
c) Il existe une fonction $Y$ de $S(ω)$ telle que pour tout $y \in S(ω)$ , la fonction $y(x) - Y(x)$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+ \infty$
d) Il existe au moins une fonction $y$ de $S(ω)$ qui est périodique
On note $S_0(ω)$ l'ensemble des fonctions $y$ de $S(ω)$ telles que $y(0) = 0$ . L'ensemble $S_0(ω)$
a) contient un élément et un seul pour tout $ω$
b) contient au moins deux éléments pour un nombre fini de valeurs de $ω$
c) est vide pour certaines valeurs de $ω$
d) contient un élément et un seul sauf pour un nombre fini de valeurs de $ω$
On appelle $Y$ l'élément de $S(4)$ tel que $2Y^'(0) + 1 = 0$ . On note, pour tout $x$ positif ou nul, $Y_1(x)$ la partie réelle de $Y(x)$ . La fonction $Y_1$ , ainsi définie, est telle que :
a) $\foralln \in ℕ Y_1(nπ) = 0$
b) $\foralln \in ℕ Y_1(nπ/2) = Y_1(0)e^(- 3nπ)$
c) Les points $x_n = (2n + 1)π/2, n \in ℕ^*$ , sont des extrema de $Y_1$
d) Les points $x_n = (4n + 1)π/4, n \in ℕ$ , sont des extrema de $Y_1$
On revient au cas général où $ω \in ]0, 5]$ . On constate que pour tout $y \in S(ω)$ , la fonction $|y(x)|$ a une limite $L(y)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ . On a alors
a) $L(y)$ est une fonction, non constante, de $y^'(0)$
b) La fonction qui à $x$ associe $L(y)e^(5ix)$ appartient à $S(ω)$
c) $L(y) < 1/6$ pour tout $y \in S(ω)$ et tout $ω \in ]0, 5]$
d) $L(y) = 1/|ω^2 - 16 + 6i|$ pour tout $y \in S(ω)$

PARTIE III

Les racines cubiques de 1 sont
a) $- 1; (1 - i\sqrt3)/2; (- 1 - i\sqrt3)/2$
b) $1; (1 - i\sqrt3)/2 = z_1$ et $z_2$ conjugué de $z_1$
c) $- 1; (1 + i\sqrt3)/2; (- 1 + i\sqrt3)/2$
d) $1; (1 + i\sqrt3)/2; (- 1 - i\sqrt3)/2$

On désigne par

j

une des racines cubiques non réelles de 1 et on pose

x = 1 + 2^(1/3) + 4^(1/3); y = 1 + j2^(1/3) + j^2 4^(1/3); z = 1 + j^2 2^(1/3) + j4^(1/3)

Les complexes $y$ et $z$ vérifient :
a) $z = y^2$ et $yz = 2^(1/3) - 1$
b) $z = y$ et $yz = 1 - 2^(1/3)$
c) $|y| = \sqrt(2^(1/3)) - 1$ et $|z| = |y^2| = 2^(1/3) - 1$
d) $|z|$ et $|y|$ sont supérieurs à 1
Le nombre $x^n$ , pour tout $n$ entier strictement positif, peut s'écrire sous la forme $x^n = a_n + b_n 2^(1/3) + c_n 4^(1/3)$ où $(a_n), (b_n), (c_n)$ sont des suites de réels telles que:
a) $(a_n), (b_n), (c_n)$ sont des suites d'entiers strictement positifs
b) au moins une des suites contient des nombres réels non rationnels
c) $a_(n + 1) = a_n + 2b_n + 2c_n; b_(n + 1) = a_n + b_n + 2^(1/2)c_n; c_(n + 1) = a_n + b_n + c_n \foralln \in ℕ^*$
d) $a_(n + 1) = a_n + 2b_n + 2c_n; b_(n + 1) = a_n + b_n + 2c_n; c_(n + 1) = 2a_n + 2b_n + c_n \foralln \in ℕ^*$
Pour tout $n$ entier strictement positif, si l'on désigne par $X_n$ la matrice unicolonne $(a_n; b_n; c_n)$ , où $(a_n)$ , $(b_n), (c_n)$ sont les suites définies dans la question III.20, on a la relation matricielle $X_(n + 1) = AX_n$ avec :
a) $A = (1, 2, 2; 1, 1, 2^(1/2); 1, 1, 1)$
b) $A = (1, 1, 1; 2, 1, 1; 2, 2, 1)$
c) $A = (1, 2, 2; 1, 1, 2; 1, 1, 1)$
d) $A = (1, 2, 2; 1, 1, 2; 2, 2, 1)$
La matrice $A$ , définie dans la question III.21, est :
a) inversible car $detA = 3$
b) inversible car $detA = - 1$
c) inversible car son déterminant est à valeurs non entières
d) non inversible car son déterminant est non nul
La matrice $A$ , définie dans la question III.21, est :
a) symétrique car elle est inversible
b) de rang 3 donc symétrique
c) de rang au moins égal à 2 car les deux premières colonnes sont indépendantes
d) de inférieur ou égal à 2 car $A$ n'est pas inversible
Pour tout $λ$ réel, le déterminant $P(λ)$ de la matrice ( $A - λI$ ), où $I$ désigne la matrice unité dans l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels et $A$ la matrice définie dans la question III.21, s'écrit :
a) $P(λ) = - λ^3 + 3λ^2 + 3λ - 1$
b) $P(λ) = - λ^3 + 3λ^2 + (1 + 2^(1/2))λ + 1 - 2^(1/2)$
c) $P(λ) = - λ^3 + 3λ^2 + 7λ + 3$
d) $P(λ) = - λ^3 + 3λ^2 + 3λ + 1$
Le polynôme $P$ , défini dans la question III. 24
a) admet trois racines réelles car tout polynôme de degré $n$ à coefficients réels admet $n$ racines réelles
b) n'admet aucune racine réelle
c) admet au moins une racine réelle car tout polynôme de degré impair à coefficients réels admet au moins une racine réelle
d) admet une racine réelle et deux racines complexes conjuguées
Les racines $λ_1, λ_2, λ_3$ du polynôme $P$ , défini dans la question III.24, vérifient, si l'on note $S_1 = λ_1 + λ_2 + λ_3; S_2 = λ_1 λ_2 + λ_1 λ_3 + λ_2 λ_3; S_3 = λ_1 λ_2 λ_3$
a) $S_1 = 3; S_2 = - 3; S_3 = detA = - 1$
b) $S_1 = 3; S_2 = - (1 + \sqrt2); S_3 = detA$
c) $S_1 = 3; S_2 = - 7; S_3 = 3$
d) $S_1 = 3; S_2 = 3; S_3 = 1$

PARTIE IV

Soit

f

la fonction qui à

x \in [0, 1[

associe le réel

p + ((2x^(p + 1) - x)/(1 - x))

pour

p

entier strictement positif tel que

x \in [1/(2^(1/p)), 1/(2^(1/(p + 1)))[

27. La fonction

f

a) est dérivable sur

[0, 1[

puisque continue sur cet intervalle
b) est dérivable sur

]0, 1[

c) est dérivable en

1/(2^(1/(p + 1)))

, pour

p

entier positif mais de dérivée discontinue en ces points
d) n'est pas dérivable en

1/(2^(1/(p + 1)))

, pour

p

entier positif
28. Soit

f^'

la dérivée de la fonction

f

, si elle existe, on a
a)

f^'

est du signe de

2px^p(1 - x) + 2x^p - 1

sur

]1/(2^(1/p)), 1/(2^(1/(p + 1)))[

f^'

est négative sur

]1/(2^(1/p)), 1/(2^(1/(p + 1)))[

f

est décroissante sur

[0, 1[

car

f

est continue en

1/(2^(1/p))

, pour tout

p

entier strictement positif
d)

f

est une bijection de

[0, 1[

dans

ℝ_+

29. La fonction

f

vérifie, pour tout

p

entier strictement positif
a)

p ⩽ f(x) < p + 1 \forallx \in [1 + (2^(1/p)), 1/(2^(1/(p + 1)))[

p - 1 ⩽ f(x) < p \forallx \in [1 + (2^(1/p)), 1/(2^(1/(p + 1)))[

(p + 1)((1/(2^(1/(p + 1)))) - (1/(2^(1/p)))) ⩽ \int_(1/(2^(1/(p + 1))))^(1/(2^(1/p)))f(x)dx ⩽ p((1/(2^(1/(p + 1)))) - (1/(2^(1/p))))

(p - 1)((1/(2^(1/(p + 1)))) - (1/(2^(1/p)))) ⩽ \int_(1/(2^(1/p)))^(1/(2^(1/(p + 1))))f(x)dx < p((1/(2^(1/(p + 1)))) - (1/(2^(1/p))))

30. L'intégrale

\int_(1/(2^(1/p)))^(1/(2^(1/(p + 1))))f(x)dx

a pour équivalent lorsque

p

tend vers

+ \infty

(p - 1)((1/(2^(1/(p + 1)))) - (1/(2^(1/p))))

p((1/(2^(1/p))) - (1/(2^(1/(p + 1)))))

p(e^((ln2)/(p(p + 1))) - 1)

- (ln2)/p

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