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CONCOURS COMMUN 2007
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve de Mathématiques(toutes filières)Jeudi 10 mai 2007 de 14h00 à 18h00

Instructions générales :

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondant à l'épreuve commune de Mathématiques.

L'emploi d'une calculatrice est interdit

PREMIER PROBLÈME

Pour tout t ∈ ℝ_+^∗ on définit :
f(t) = exp(− 1/t) et g(t) = (f(t))/t.

Partie A - Généralités

  1. Prouver que f et g sont C^∞ sur ℝ_+^∗ et que pour tout t ∈ ℝ_+^∗, tf^′(t) = g(t).
  2. Montrer que g est prolongeable par continuité en 0 et que le prolongement (encore noté g ) est dérivable en 0 .
  3. Faire un tableau de variations de g sur ℝ_+, en faire un graphe sachant que e^(− 1) ≃ 0, 36 à 10^(− 2) près.
  4. Soit H la primitive sur ℝ_+^∗ de t ↦ g(1/t), s'annulant en 1 :
    4.a. Calculer H.
    4.b. En former un développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 1 .
  5. Soit n ≥ 3 un entier naturel. On introduit l'équation (E_n) : f(t) = t/n, d'inconnue t ∈ ℝ_+^∗.
    5.a. En utilisant la question 3, montrer que ( E_n ) a une unique solution dans ]0, 1[, que l'on notera α_n. On montrerait identiquement (mais ce n'est pas à faire) que ( E_n ) admet une unique solution dans ]1, + ∞[, que l'on notera β_n.
    5.b. Montrer que les suites (α_n)_(n ≥ 3) et (β_n)_(n ≥ 3) sont monotones.
    5.c. Est-il possible que l'une des deux suites converge vers une limite l > 0 ? En déduire leurs limites.
On étudie ici, dans un repère orthonormal d'origine O, la courbe paramétrée définie sur ℝ_+^∗ par le point M(t) de coordonnées {x(t) = f^′(t) = (exp(− 1/t))/(t^2); y(t) = g(t) = (exp(− 1/t))/t
6. Déterminer les valeurs de t pour lesquelles M(t) se situe sur la première bissectrice du plan d'équation cartésienne y = x.
7. Étudier la limite de la pente de la droite (OM(t)) lorsque t tend vers 0^+et + ∞.
8. En utilisant la question 3, faire un tableau de variation de x et y sur ℝ_+^∗ avec limites aux bornes 0^+et + ∞.
9. En utilisant les deux questions précédentes, tracer la courbe en repérant les tangentes verticales ou horizontales, on pourra utiliser que 4e^(− 2) ≃ 0, 54 à 10^(− 2) près.

Partie C —Fonctions définies par des intégrales

On prolonge maintenant f à ℝ_+en posant f(0) = 0.
10. Montrer que l'application f ainsi prolongée est de classe C^1 sur ℝ_+; préciser f^′(0) et montrer que l'égalité de la question 1 reste valable pour t = 0.
11. Soit x ∈ ℝ_+^∗, on note :
F(x) = ∫_0^x f(t)dt, G(x) = ∫_0^x g(t)dt
11.a. Justifier l'existence de ces intégrales que l'on ne cherchera surtout pas à calculer puis montrer que F(x) = xe^(− 1/x) − G(x).
11.b. En séparant l'intégrale G(x) en deux, montrer qu'il existe une constante C réelle telle que pour tout x ≥ 1,
0 ≤ G(x) ≤ C + ln(x)
11.c. En déduire que G(x) est négligeable devant x au voisinage de + ∞ ainsi qu'un équivalent de F(x) au voisinage de + ∞.
12. Résoudre sur ℝ_+^∗ l'équation différentielle (E) : x^2 y^′ + y = x^2, l'expression générale de la solution fera apparaitre la fonction F.

Partie D — Étude qualitative d'une équation différentielle

On considère maintenant une application y solution de (E) : x^2 y^′ + y = x^2 cette fois sur ℝ_+, de classe C^∞ sur ℝ_+. Nous allons, sans aucun calcul explicite de y, déterminer entièrement la suite des u_n = y^((n))(0) à partir de l'équation (E).
13. Que vaut u_0 = y(0) ?
14. En dérivant (E), calculer u_1 = y^′(0) et u_2 = y^(′′)(0).
15. Peut-on avoir y de la forme : x ↦ αx^2 + βx + γ avec (α, β, γ) ∈ ℝ^3 ?
16. Soit n un entier naturel.
16.a. On suppose ici n ≥ 3. Prouver à l'aide de la formule de Leibniz que pour tout x ∈ ℝ_+:
x^2 y^((n + 1))(x) + (1 + 2nx)y^((n))(x) + n(n − 1)y^((n − 1))(x) = 0.
En déduire une relation de récurrence entre u_n et u_(n − 1).
16.b. Donner une expression de u_n utilisant une factorielle, valable pour tout n ≥ 2; en déduire les développements limités (dont on justifiera l'existence) de y à tout ordre au voisinage de 0 .

DEUXIÈME PROBLÈME

Dans tout ce problème, on se place dans l'espace usuel dont on notera ℰ l'ensemble des points, E l'ensemble des vecteurs et 0→ le vecteur nul. ℰ est muni d'un repère orthonormal direct ℛ = (O, i⃗, j⃗, k⃗), toutes les équations de l'énoncé seront relatives aux éléments de ce repère. Si M ∈ ℰ et OM^(→−) = xi⃗ + yj⃗ + zk⃗ on pourra noter M = (x, y, z) et OM^(→−) = (x, y, z).
On considère les ensembles P et Q d'équations cartésiennes :
P : x + z = 0, Q : x + y + z − 3 = 0

Partie A - Étude d'un mouvement dans l'espace

Pour tout t ∈ ℝ, on introduit le point N(t) de ℰ caractérisé dans ℛ par les coordonnées {a(t) = (cos(t))/(√2); b(t) = sin(t); c(t) = (− cos(t))/(√2)
  1. Prouver que N(t) appartient au plan P.
  2. Donner une équation paramétrique de la droite D intersection de P et Q. Est-il possible que N(t) ∈ D ?
  3. Calculer a^2(t) + b^2(t) + c^2(t). En déduire que N(t) appartient à un cercle de P dont on précisera le centre et le rayon.
  4. Calculer la distance de N(t) à la droite D puis au plan Q, on pourra vérifier que leur rapport est constant.
  5. Prouver que pour tout t ∈ ℝ : exp(it) + exp(i(t + 2π/3)) + exp(i(t − 2π/3)) = 0.
  6. En déduire l'isobarycentre des points N(t), N(t + 2π/3), N(t − 2π/3).

Partie B — Construction d'un polynôme

On fixe maintenant t ∈ ℝ et on note {s(t) = a(t) + b(t) + c(t); d(t) = a(t)b(t) + a(t)c(t) + b(t)c(t); p(t) = a(t)b(t)c(t).
7. Simplifier s(t).
8. Linéariser le produit de fonctions trigonométriques p(t).
9. Calculer d(t) de deux manières différentes - on pourra utiliser un résultat de la question 3.
10. On considère maintenant le polynôme R(X) = (X − a(t))(X − b(t))(X − c(t)), dont les racines sont donc a(t), b(t) et c(t) :
10.a. Dans cette question seulement t = π/2. Montrer sans calculer R(X) ni R^′(X) que R^′(0) = 0.
10.b. Exprimer maintenant R(X) en fonction de s(t), d(t), p(t), puis en fonction des résultats des questions précédentes.

Partie C — Endomorphismes à noyau imposé

  1. Montrer que P définit un plan vectoriel de E.
  2. Est-ce le cas pour Q ? Préciser, sans preuve, la structure algébrique de Q.
  3. On introduit les vecteurs:
i⃗^′ = 1/(√2)(i⃗ − k⃗), j⃗^′ = j⃗, k⃗^′ = 1/(√2)(i⃗ + k⃗).
Montrer que ( i⃗^′, j⃗^′ ) est une base orthonormale de P et que k⃗^′ en est un vecteur normal. En déduire que B^′ = (i⃗^′, j⃗^′, k⃗^′) est une base orthonormale de l'espace.
14. On désigne par a⃗ ⋅ b⃗ le produit scalaire de deux vecteurs a⃗ et b⃗. Soit e⃗ ∈ E. Prouver, autrement que par «c'est du cours », que ses coordonnées dans la base B^′ sont données par :
e⃗ = (e⃗ ⋅ i⃗^′)i⃗^′ + (e⃗ ⋅ j⃗^′)j⃗^′ + (e⃗ ⋅ k⃗^′)k⃗^′
  1. On considère ici une application linéaire u : E → E telle que P ⊂ ker(u).
    15.a. Prouver qu'il existe z⃗ ∈ E tel que u(e⃗) = (e⃗ ⋅ k⃗^′)z⃗ pour tout e⃗ ∈ E.
    15.b. Réciproquement, montrer qu'une application u donnée par la formule précédente est un endomorphisme de E tel que P ⊂ ker(u).
    15.c. Donner une condition nécessaire et suffisante sur z⃗ pour que P = ker(u). Donner dans ce cas le rang et l'image de u.

Partie D — Matrices de projecteur

On note ici p : E → E le projecteur orthogonal sur le plan P, B la base (i⃗, j⃗, k⃗) et B^′ = (i⃗^′, j⃗^′, k⃗^′) la base introduite à la question 13. On introduit les matrices:
M^′ = (1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 0), I = (1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1)
  1. Justifier très rapidement que M^′ est la matrice de p dans la base B^′.
  2. Donner la matrice de passage P de la base B à la base B^′ ainsi que son inverse - on détaillera le raisonnement pour cette dernière.
  3. Soit M la matrice de p dans la base B :
    18.a. Justifier sans calcul que M^2 = M.
    18.b. En déduire que pour tout n ∈ ℕ,
(M + I)^n = I + (2^n − 1)M
18.c. Exprimer M en fonction de P, P^(− 1) et M^′. Ensuite, calculer explicitement M.
19. On peut traiter cette partie sans avoir trouvé explicitement M. On introduit l'ensemble ℳ des matrices du type M_(a, b) = aM + bI, où a et b sont réels :
19.a. Montrer que l'ensemble ℳ muni des lois usuelles sur les matrices a une structure de ℝ-espace vectoriel dont on donnera une base et la dimension.
19.b. Les réels a et b étant donnés, exprimer M_(a, b) en fonction de P, P^(− 1), I et M^′. En déduire une forme factorisée du déterminant de M_(a, b) ainsi qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'elle soit inversible.
19.c. Déterminer les réels e et f tels que M_(a, b) × M_(c, d) = M_(e, f).
19.d. Lorsque M_(a, b) est inversible, exprimer son inverse sous la forme d'un élément de ℳ.

FIN DE L'ÉPREUVE

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