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CONCOURS DE RECRUTEMENT D'ÉLEVES PILOTE DE LIGNE

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée : 2 Heures
Coefficient : 1
Ce sujet comporte (dans l'énoncé d'origine, pas dans cette version) :
  • 1 page de garde
  • 2 pages (recto-verso) d'instructions pour remplir le QCM
  • 1 page d'avertissement
  • 9 pages de texte numérotées de 1 à 9 .

CALCULATRICE AUTORISÉE

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

À LIRE TRÈS ATTENTIVEMENT

L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple qui sera corrigé automatiquement par une machine à lecture optique.

ATTENTION, IL NE VOUS EST DÉLIVRÉ QU'UN SEUL QCM

  1. Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette correspondant à l'épreuve que vous passez, c'est-à-dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci-dessous).

POSITIONNEMENT DES ÉTIQUETTES

Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical matérialisant l'axe de lecture du code à barres (en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce code.

EXEMPLES :


2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur NOIRE.
3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après vous être relu soigneusement.
4) Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des inscriptions superflues, sous peine d'être rejeté par la machine et de ne pas être corrigé.
5) Cette épreuve comporte 36 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont liées. La liste des questions liées est donnée au début du texte du sujet.

Chaque candidat devra choisir au 24 questions parmi les 36 proposées.

Il est inutile de répondre à plus de 24 questions : la machine à lecture optique lira les réponses en séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura détecté des réponses à 24 questions, quelle que soit la valeur de ces réponses.

Chaque question comporte au plus deux réponses exactes.

  1. À chaque question numérotée entre 1 et 36 , correspond sur la feuille-réponses une ligne de cases qui porte le même numéro (les lignes de 37 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne comporte 5 cases A, B, C, D, E.
    Pour chaque ligne numérotée de 01 à 36 , vous vous trouvez en face de 4 possibilités :
  • soit vous décidez de ne pas traiter cette question, la ligne correspondante doit rester vierge.
  • soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse, vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D.
  • soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes, vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement.
  • soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne, vous devez alors noircir la case E.

En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée.

7) EXEMPLES DE RÉPONSES

Question 1: 1^2 + 2^2 vaut:
A) 3
B) 5
C) 4
D) -1
Question 2: le produit (− 1)(− 3) vaut :
A) -3
B) -1
C) 4
D) 0
Question 3 : Une racine de l'équation x^2 − 1 = 0 est :
A) 1
B) 0
C) -1
D) 2
Vous marquerez sur la feuille réponse :
1 A B C^– D E
◻
◻ ◻ ◻
2
◻ ◻ ◻ ◻ ◻
3 A B
D E

QUESTIONS LIÉES

1 à 45 à 910 à 2122 à 3233 à 36PARTIE I

On désigne par j le nombre complexe e^(2iπ/3). On considère le système (E)
x + y + z = a; x + jy + j^2 z = b; x + j^2 y + jz = c
où a, b, c désignent trois nombres complexes donnés.
Question 1 : Le nombre complexe j vérifie
A) j^2 = 1
B) j^3 − 1 = 0
C) 1 + j + j^2 = 0
D) 1 − j − j^2 = 0
Question 2 : Les nombres complexes x, y, z vérifiant le système ( E ) sont tels que
A) 3y + (x + z)(1 + j + j^2) = a + bj^2 + cj
B) 3y + (x + z)(1 + j + j^2) = a + b + c
C) 3y + (x + z)(1 + j + j^2) = a + bj + cj^2
D) 3x + (y + z)(1 + j + j^2) = a + bj^2 + cj
Question 3 : Le système ( E )
A) n'admet pas de solution
B) admet au moins deux solutions
C) admet une solution unique x = (a + b + c)/3, y = (a + bj^2 + cj)/3, z = (a + bj + cj^2)/3
D) admet une solution unique x = (a + b + c)/3, y = (a + bj + cj^2)/3, z = (a + bj^2 + cj)/3
Question 4 : Une condition nécessaire et suffisante pour x, y, z vérifiant le système ( E ) soient des nombres réels est
A) a, b, c réels
B) a, b, c complexes non réels
C) a réel et b = c = 0
D) a réel et b et c complexes conjugués car j^2 et (− j) sont complexes conjugués

PARTIE II

n étant un entier naturel et a un nombre réel non nul, on pose :
u_n = ∫_0^π e^(ax)cosnx dx et v_n = ∫_0^π e^(ax)sinnx dx
Question 5 : u_n vérifie, pour tout n entier naturel
A) u_n = (1/an)[e^(ax)sinnx]_0^π pour n entier strictement positif et u_0 = (e^(aπ) − 1)/a
B) u_n = (1/a)[e^(ax)(cosnx − (n/a)sinax)]_0^π + (n^2/a^2)u_n
C) u_n = (1/(n^2 + a^2))[e^(ax)(acosnx + nsinnx)]_0^π
D) u_n = (1/(n^2 − a^2))((− 1)^n e^(aπ)a − a)
Question 6 : v_n satisfait, pour tout n entier naturle non nul
A) v_n = (1/an)[ − e^(ax)cosnx]_0^π
B) v_n = (1/a)[e^(ax)(sinnx − (n/a)cosnx)]_0^π − (n^2/a^2)v_n
C) v_n = (1/(n^2 − a^2))[e^(ax)(ncosnx − asinnx)]_0^π
D) v_n = (1/(n^2 + a^2))((− 1)^(n + 1)ne^(aπ) + n)
Question 7 : La valeur absolue de u_n est, pour tout n entier naturel, majorée par
A) |a|/(n^2 + a^2)
B) |a|(1 + e^(aπ))/|n^2 − a^2|
et celle de v_n est majorée par
C) n(1 − e^(aπ))/(n^2 + a^2)
D) (1 + e^(aπ))/(an)
Question 8 : La suite (v_(2k)), k entier strictement positif, est équivalente à la suite de terme général
A) (1 − e^(aπ))/(2k)
B) (1 + e^(aπ))/k
C) 1/(2k)
D) 1/k
Question 9 : A) les suites ( u_n ) et ( v_n ) ne peuvent être convergentes car elles ne sont pas de signe constant
B) les suites ( u_n ) et ( v_n ) convergent car toute suite majorée est convergente
C) la suite ( u_n ) converge vers 0
D) la suite ( u_n ) diverge car la suite de terme général cosnx n'admet pas de limite

PARTIE III

On considère les fonctions φ_1 qui à u élément du segment I = [0, π/2] associe φ_1(u) = 1/(x^2(cosu)^2 + (sinu)^2) et φ_2 qui à u élément du segment I associe φ_2(u) = (sinu)/(x^2(cosu)^2 + (sinu)^2), x étant un paramètre réel.
Question 10 : La fonction φ_1
A) est définie sur I pour tout x réel
B) est définie sur I pour tout x réel positif ou nul
C) est définie et continue sur I pour tout x réel strictement positif
D) est continue sur I uniquement pour x réel strictement positif

Question 11 : La fonction φ_2

A) est dérivable sur I pour tout x réel non nul
B) est dérivable sur I pour tout x réel
C) est dérivable sur ]0, π/2] pour tout x réel et a pour dérivée
φ_2^′(u) = (x^2(cosu)^3 + 2(x^2 − 1/2)(cosu)(sinu)^2)/(x^2 cosu)^2 + (sinu)^2)^2
D) a pour dérivée pour tout u appartenant à I et pour tout réel x strictement positif
φ_2^′(u) = (cosu)/(1 − x^2)(sin2u)
Question 12 : Les intégrales ∫_0^(π/2)φ_1(u)du et ∫_0^(π/2)φ_2(u)du
A) sont définies pour tout x réel car toute fonction continue sur un segment est intégrable sur ce segment
B) sont définies pour tout x réel non nul car toute fonction définie sur un segment est intégrable sur ce segment
C) sont définies pour x réel strictement positif car toute fonction continue sur un segment est intégrable sur ce segment
D) sont définies pour tout x réel non nul car toute fonction continue sur un segment est intégrable sur ce segment
Question 13 : La fonction F définie par F(X) = ∫_0^X(1/(1 + t^2))dt
A) n'est pas définie sur ℝ_+
B) est définie et continue sur ℝ_+
C) a pour limite π/2 lorsque X tend vers − ∞
D) a pour limite + ∞ lorsque X tend vers + ∞
Question 14 : On pose J(x) = ∫_0^(π/2)φ_1(u)du et K(x) = ∫_0^(π/2)φ_2(u)du, x appartenant à ]0, 1[.
On obtient en utilisant les changements de variable t = (tanu)/x et v = cosu
A) J(x) = ∫_0^(π/2)x(1 + x^2 t^2)/((1 + x^2 t^2)(1 + t^2)x^2)dt
B) J(x) = ∫_0^(+ ∞)(1/(1 + t^2))dt = π/2
C) K(x) = ∫_0^1(1/(x^2 v^2 + 1 − v^2))dv
D) K(x) = ∫_0^1(1/(1 − (1 − x^2)v^2))dv = (1/(2(1 − x^2)^(1/2)))ln((1 + (1 − x^2)^(1/2))/(1 − (1 − x^2)^(1/2)))
Question 15 : La fonction K(x) est équivalente au voisinage de 0 à la fonction
A) lnx
B) − lnx
C) 1/x
D) − 2lnx
On considère l'application f définie sur ]0, + ∞[parf(x) = x∫_0^(π/2)uφ_1(u)du
Question 16 : La fonction f vérifie
A) f(1) = 0
B) f(1) = π^2/8
C) f(x) + f(1/x) = xπ^2/4 pour tout x appartenant à l'intervalle ]0, + ∞[
D) f(x) + f(1/x) = π^2/4 pour tout x appartenant à l'intervalle ]0, + ∞[
Question 17 : La fonction h définie sur ℝ par h(u) = u − (πsinu)/2 vérifie
A) h est indéfiniment dérivable sur ℝ
B) h est dérivable mais n'est pas 2 fois dérivable sur ℝ
C) h est positive sur [0, π/2] car h^′ est strictement positive sur ce segment
D) h est négative ou nulle sur [0, π/2] car h est décroissante puis croissante sur ce segment
Question 18 : On a pour tout x appartenant à l'intervalle ]0, 1[
A) xK(x)π/2 ⩽ f(x)
B) 0 ⩽ f(x) ⩽ xK(x)π/2
C) lim_(x → 0)f(x) = 0 car K(x) est équivalent à − 2lnx en 0
D) π/2 ⩽ lim_(x → 0)f(x)
Question 19 : Lorsque x tend vers + ∞, f(x) a pour limite, si elle existe,
A) + ∞
B) − ∞
C) π^2/4
D) (π^2/4) − (π/2)
Soit g la fonction définie sur ]0, + ∞[parg(x) = ∫_0^(π/2)(u/(x(cosu)^2 + (sinu)^2))du
Question 20 : x désignant un réel strictement positif et k un réel tel que 0 < |k| < x/2, on pose, pour tout u appartenant au segment I
P = x(cosu)^2 + (sinu)^2 et Q = k(cosu)^2. On a
A) 1/(P + Q) = (1/P) − (Q/P^2) + (Q^2/(P^2(P + Q)))
B) 1/(P + Q) = (1/P) + (Q/P^2) − (Q^2/(P^2(P + Q)))
C) |((g(x + k) − g(x))/k) + ∫_0^(π/2)u(cosu)^2/(x(cosu)^2 + (sinu)^2)^2 du| ⩽ |k|∫_0^(π/2)u(cosu)^4/((x/2)(cosu)^2 + (sinu)^2)^2 du
D) g est dérivable sur ]0, + ∞[ et a pour dérivée g^′(x) = ∫_0^(π/2)u(cosu)^2/(x(cosu)^2 + (sinu)^2)^2 du
Question 21 : On a
A) f(x) = xg(x) pour tout x appartenant à l'intervalle ]0, + ∞[
B) f(x) = xg(x^2) pour tout x appartenant à l'intervalle ]0, + ∞[
C) f est dérivable sur ]0, + ∞[ et a pour dérivée
f^′(x) = g(x^2) + 2x^2 g^′(x^2) = ∫_0^(π/2)u(3x^2(cosu)^2 + (sinu)^2)/(x^2(cosu)^2 + (sinu)^2)^2 du
D) f n'est pas dérivable sur ]0, + ∞[

PARTIE IV

Dans l'espace vectoriel F des fonctions réelles définies et indéfiniment dérivables sur ℝ, on considère l'ensemble E des fonctions de la forme P(x)chx + Q(x)shx où P et Q sont deux fonctions polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2 .
On désigne par f_1, f_2, f_3, f_4, f_5, f_6 les fonctions définies sur ℝ par
f_1(x) = chx, f_2(x) = shx, f_3(x) = xchx, f_4(x) = xshx, f_5(x) = x^2 chx, f_6(x) = x^2 shx.
Question 22 : L'ensemble E
A) est un anneau
B) est un sous-espace vectoriel de F
C) n'est pas un sous-espace vectoriel de F
D) groupe pour la loi de multiplication des fonctions
Question 23 : On pose f(x) = (λ_1 + λ_2 x + λ_3 x^2)chx + (μ_1 + μ_2 x + μ_3 x^2)e^x
A) la fonction f(x)e^(− x) tend vers 0 lorsque x tend vers + ∞ quelque soit les réels λ_1, λ_2, λ_3, μ_1, μ_2, μ_3
B) la fonction f(x)e^(− x) tend vers 0 lorsque x tend vers + ∞ si et seulement si λ_1 + μ_1 = λ_2 + μ_2 = λ_3 + μ_3 = 0
C) la fonction f(x)e^x tend vers 0 lorsque x tend vers − ∞ quelque soit les réels λ_1, λ_2, λ_3, μ_1, μ_2, μ_3
D) la fonction f(x)e^x tend vers 0 lorsque x tend vers + ∞ si et seulement si λ_1 − μ_1 = λ_2 − μ_2 = λ_3 − μ_3 = 0
Question 24 : La famille des six fonctions f_1, f_2, f_3, f_4, f_5, f_6
A) est une famille génératrice et liée de E
B) est libre mais n'est pas une base de E
C) est une base de E
D) n'est ni libre ni génératrice de E
Question 25 : On note D l'application de F dans F qui à une fonction f associe sa dérivée f^′
A) D est une application linéaire de E dans F mais n'est pas un endomorphisme de E
B) D n'est pas un endomorphisme de F
C) D est un endomorphisme de E
D) D n'est pas une application linéaire
Question 26 : La matrice de D dans une base de E constituée à l'aide des fonctions f_1, f_2, f_3, f_4, f_5, f_6 est
A) une matrice carrée d'ordre 5
B) une matrice carrée d'ordre 6 symétrique réelle
C) une matrice carrée d'ordre 6 antisymétrique réelle
D) une matrice à 5 lignes et 6 colonnes
Question 27 : L'application D
A) réalise une bijection de E sur lui-même
B) ne réalise pas une bijection de E sur lui-même car elle n'est pas injective
C) ne réalise pas une bijection de F sur lui-même car D(f + k) = D(f) avec k est une fonction constante donnée
D) réalise une bijection de F sur lui-même
Question 28 : On note id l'application identique de F dans lui-même
A) l'image de E par l'application ( D^2 − id ) est l'espace vectoriel de dimension 4 engendré par la famille (f_1, f_2, f_3, f_4)
B) l'image de E par l'application ( D^2 − id ) est un espace vectoriel de dimension 3
C) l'image de E par l'application (D^2 − id)^2 est un espace vectoriel de dimension 3
D) l'image de E par l'application (D^2 − id)^p, pour p entier supérieur ou égal à 3 , est l'espace réduit au vecteur nul
Question 29 : Le noyau de l'application (D^2 − id)
A) est réduit à l'application nulle car ( D^2 − id ) est une application linéaire injective
B) est l'espace des solutions de l'équation différentielle f^(′′) − f = 0
C) est l'espace des solutions de l'équation différentielle (f^′)^2 − f = 0
D) est l'espace de dimension 2 engendré par la famille ( f_1, f_2 )
Question 30 : Le noyau de l'application (D^2 − id)^2
A) est réduit à l'application nulle car ( D^2 − id ) est une application linéaire injective
B) est l'espace des solutions de l'équation différentielle f^(′′) − f = 0
C) est l'espace de dimension 2 des solutions de l'équation différentielle f^(′′) − f = λchx + μshx où λ et μ sont des constantes réelles
D) est l'espace de dimension 4 engendré par la famille ( f_1, f_2, f_3, f_4 )
Question 31 : Le noyau de l'application (D^2 − id)^3
A) est l'espace des solutions de l'équation différentielle f^(′′) − f = 0
B) est l'espace de dimension 2 des solutions de l'équation différentielle f^(′′) − f = λ_1 chx + μ_1 shx + λ_2 xchx + μ_2 xshx où λ_1, λ_2, μ_1, μ_2 sont des constantes réelles
C) est l'espace de dimension 4 engendré par la famille ( f_1, f_2, f_3, f_4 )
D) est réduit à l'application nulle car ( D^2 − id ) est une application linéaire injective
Question 32 : L'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire
y^((6)) − 3y^((4)) + 3y^(′′) − y = 0
A) est égal à Ker((D^2 − id)^3)
B) est égal à Ker((D^2 − id)^4)
C) est l'espace vectoriel de dimension 6E
D) est égal à Im((D^3 − id)^2)

PARTIE V

Soit n un entier positif ou nul, on note E_n l'espace vectoriel des polynômes à une indéterminée X à coefficients réels de degré au plus égal à n.
Il existe, pour tout n entier naturel, un et un seul polynôme P_n appartenant à E_n qui vérifie cos(nx) = P_n(cosx) pour tout x réel
Question 33 : On a pour tout n entier strictement positif
A) P_(n + 1) + P_(n − 1) = XP_n
B) P_(n + 1) − P_(n − 1) = 2XP_n
C) P_n = ∑_(0 ⩽ 2p ⩽ n)(− 1)^p(n/p)X^(n − 2p)(1 − X^2)^p
D) P_n = ∑_(0 ⩽ 2p ⩽ n)(n/(2p))X^(n − 2p)(X^2 − 1)^p
Question 34 : Ces polynômes vérifient pour tout n, P_n^′ désignant le polynôme dérivé de P_n,
A) P_n(0) = 1 et P_n est pair si n est pair
B) P_n(− 1) = 0 et P_n est impair si n est impair
C) P_(2n)(0) = (− 1)^n et P_(2n − 1)^′(0) = (− 1)^n(2n + 1)
D) P_n(− 1) = (− 1)^n et P_n^′(− 1) = 0
Question 35 : Pour n > 0, lorsque x tend vers + ∞, la fonction polynôme P_n(x) est équivalente à
A) 2^n x^n
B) 2^(n − 1)x^n
C) (n − 1)!x^n
D) n!x^n
Question 36 : Les polynômes P_3 et P_4 sont
A) P_3 = 4X^3 − 3X et P_4 = 8X^4 + 8X^2 + 1
B) P_3 = 4X^3 + 3X et P_4 = 8X^4 − 8X^2 + 1
C) P_3 = 3X^3 − 4X et P_4 = 12X^4 + 8X^2 + 1
D) P_3 = 6X^3 − 4X et P_4 = 12X^4 − 8X^2 + 1

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