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CONCOURS COMMUN SUP 2000 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve de Mathématiques
(toutes filières)
Lundi 22 mai 2000 de 14 h 00 à 18 h 00

Instructions générales :

Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.

ANALYSE

Partie I : Étude de la fonction réciproque de la fonction tanh.
On notera respectivement cosh, sinh et tanh les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique définies par :
∀x ∈ ℝ, cosh(x) = (e^x + e^(− x))/2, sinh(x) = (e^x − e^(− x))/2 et tanh(x) = (sinh(x))/(cosh(x)) = (e^x − e^(− x))/(e^x + e^(− x))
    • Montrer, en étudiant ses variations, que tanh est une bijection de ℝ sur un intervalle I de ℝ à préciser. On note artanh («argument tangente hyperbolique») sa réciproque.
    • Exprimer la dérivée de tanh en fonction de tanh.
    • Démontrer que artanh est impaire.
    • Démontrer que artanh est dérivable sur I et calculer sa dérivée.
    • Exprimer artanh à l'aide de fonctions usuelles.
    • Déterminer un développement limité à l'ordre 5 de artanh en 0 .

Partie II : Étude d'une équation différentielle

Soit l'équation différentielle (E) : xy^′ + 3y = 1/(1 − x^2).
7. - Résoudre ( E ) sur l'intervalle J = ]0, 1[.

Partie III : Étude d'une équation fonctionnelle

Le but de cette partie est de résoudre le problème suivant :
déterminer les fonctions f définies sur ℝ, à valeurs réelles et dérivables en 0 qui vérifient :
∀x ∈ ℝ, f(2x) = (2f(x))/(1 + (f(x))^2)
    • Déterminer les fonctions constantes solutions du problème posé.
    • Déterminer les valeurs possibles de f(0) si f est solution.
    • Montrer que, si f est solution, on a ∀x ∈ ℝ, − 1 ≤ f(x) ≤ 1. (on pourra exprimer f(x) en fonction de f(x/2).)
    • Montrer que si f est solution, − f est aussi solution.
    • Montrer que tanh est solution du problème posé.
Dans les questions 13. à 17., on suppose que f est une solution du problème posé, que f(0) = 1 et que f n'est pas constante.
On considère x_0 ∈ ℝ, tel que f(x_0) ≠ f(0) et l'on définit la suite (u_n) par: ∀n ∈ ℕ, u_n = f((x_0)/(2^n)).
13. - Montrer que la suite (u_n) est convergente et préciser sa limite.
14. - Établir une relation entre u_n et u_(n + 1); en déduire que la suite ( u_n ) garde un signe constant, puis étudier sa monotonie suivant le signe de u_0.
15. - En utilisant les résultats des questions 13. et 14., aboutir à une contradiction.
16. - Que peut-on dire si l'hypothèse « f(0) = 1 » est remplacée par l'hypothèse « f(0) = − 1 »?
17. - Conclusion?
Dans les questions 18. à 22., on suppose que f est une solution du problème posé et que f(0) = 0.
18. - En raisonnant par l'absurde et en considérant une suite du même type que celle des questions 13. à 17., montrer que: ∀x ∈ ℝ, f(x) ≠ − 1 et f(x) ≠ − 1.
On définit alors la fonction g par : ∀x ∈ ℝ, g(x) = artanh(f(x)).
19. - Montrer que: ∀x ∈ ℝ, g(2x) = 2g(x).
20. - Montrer que g est dérivable en zéro.
21. - Soit x ∈ ℝ^⋆; on définit la suite ( v_n ) par: ∀n ∈ ℕ, v_n = (f(x/(2^n)))/(x/(2^n)).
Montrer que ( v_n ) est convergente et déterminer sa limite.
22. - En déduire que g est linéaire.
23. - Déterminer toutes les fonctions solutions du problème posé.

ALGÈBRE

Les parties I, II et III sont, dans une large mesure, indépendantes.
Soit n un entier naturel non nul.

Partie I :

On pose : A = (X + 1)^(2n) − 1, polynôme de ℝ[X].
    • Montrer que l'on peut écrire A = X × B où B est un polynôme de ℝ[X] dont on précisera le degré, le coefficient dominant et le terme constant noté b_0.
    • Déterminer les racines de A dans ℂ. On posera z_0 = 0 et les autres racines z_1, z_2, …, z_(2n − 1) seront mises sous forme trigonométrique.
      On pose P_n = ∏_(k = 1)^(n − 1)sin(kπ)/(2n).
    • Montrer, à l'aide d'un changement d'indice, que P_n = ∏_(k = n + 1)^(2n − 1)sin(kπ)/(2n).
En déduire que, si Q_n = ∏_(k = 1)^(2n − 1)sin(kπ)/(2n), alors P_n = √(Q_n).
4. - Calculer de deux façons : ∏_(k = 1)^(2n − 1)z_k. Puis, en déduire Q_n et enfin, P_n.
5. - On pose F = 1/A. Déterminer la décomposition de F en éléments simples sur ℂ.

Partie II :

On travaille dans un ℂ-espace vectoriel E supposé non réduit au vecteur nul. L(E) désigne l'ensemble des endomorphismes de E, I_E est l'application identité de E et θ désigne l'application nulle.
Par convention : ∀f ∈ L(E), f^0 = I_E.
On étudie sur quelques cas particuliers, l'équation : (f + I_E)^(2n) − I_E = θ où f ∈ L(E) est l'inconnue.
6. - Déterminer les homothéties vectorielles qui sont solutions de l'équation proposée.
7. - En développant (1 + 1)^(2n) et (1 − 1)^(2n) déterminer les sommes S = ∑_(k = 0)^n((2n)/(2k)) et S^′ = ∑_(k = 0)^(n − 1)((2n)/(2k + 1)). (la notation (n/k) désigne le coefficient binomial : (n!)/(k!(n − k)!).)
8. - Si s est une symétrie de E, exprimer (s + I_E)^(2n) − I_E en fonction de s et I_E. En déduire les symétries de E solutions de l'équation proposée.

Partie III :

On travaille dans M_3(ℂ) ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients dans ℂ.
I désigne la matrice identité et O la matrice nulle.
On pose G = {M_(a, b) ∈ M_3(ℂ)|(a, b) ∈ ℂ^2} où M_(a, b) désigne la matrice (a, b, b; b, a, b; b, b, a).
9. - Montrer que G est un sous-espace vectoriel de M_3(ℂ) dont on précisera la dimension et une base ; vérifier que G est stable pour le produit matriciel.
On cherche à résoudre l'équation matricielle (∗)(M + I)^(2n) − I = O, avec M, matrice inconnue, dans G.
On note E le ℂ-espace vectoriel ℂ^3 et B = (e_1, e_2, e_3) la base canonique de E.
Soient M = M_(a, b) un élément de G tel que b ≠ 0, u l'endomorphisme de E canoniquement associé à M et I_E, l'application identité de E.
10. - Déterminer une base (e_1^′) de E_1 = Ker(u − (a + 2b).I_E).
11. - Déterminer une base (e_2^′, e_3^′) de E_2 = Ker(u − (a − b).I_E).
12. - Montrer que (e_1^′, e_2^′, e_3^′) est une base de E; on la note B^′.
13. - Déterminer la matrice D de u dans la base B^′.
14. - On note P la matrice de passage de B à B^′. Écrire P et déterminer P^(− 1) en précisant la méthode utilisée et en détaillant les calculs.
15. - Exprimer M en fonction de P, D et P^(− 1).
16. - Montrer que : M est solution de l'équation () si et seulement si D est solution de l'équation ().
17. - Déterminer toutes les matrices D solutions de l'équation ().
18. - En déduire toutes les solutions de l'équation () dans G.

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