2 pages (recto-verso) d'instructions pour remplir le QCM,
1 page d'avertissements (recto),
15 pages de texte (recto-verso) numérotées de 1 à 15
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
A LIRE TRÈS ATTENTIVEMENT
L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple qui sera corrigé automatiquement par une machine à lecture optique.
ATTENTION, IL NE VOUS EST DÉLIVRÉ QU'UN SEUL QCM
Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette correspondant à l'épreuve que vous passez, c'est-à-dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci-dessous).
POSITIONNEMENT DES ÉTIQUETTES
Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, positionner celle-ci en position verticale avec les chiffres d'identification à gauche (le trait vertical devant traverser la totalité des barres de ce code).
EXEMPLES :
2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur NOIRE et ATTENTION vous devez noircir complètement la case en vue de la bonne lecture optique de votre QCM.
3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après vous être relu soigneusement.
4) Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des inscriptions superflues, sous peine d'être rejeté par la machine et de ne pas être corrigé.
5) Cette épreuve comporte 36 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont liées. La liste des questions liées est donnée au début du texte du sujet.
Chaque candidat devra choisir au plus 24 questions parmi les 36 proposées.
Il est inutile de répondre à plus de 24 questions : la machine à lecture optique lira les réponses en séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura détecté des réponses à 24 questions, quelle que soit la valeur de ces réponses.
Chaque question comporte au plus deux réponses exactes.
A chaque question numérotée entre 1 et 36 , correspond sur la feuille-réponses une ligne de cases qui porte le même numéro (les lignes de 37 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne comporte 5 cases A, B, C, D, E.
Pour chaque ligne numérotée de 1 à 36 , vous vous trouvez en face de 4 possibilités :
soit vous décidez de ne pas traiter cette question, la ligne correspondante doit rester vierge.
soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse, vous devez noircir l'une des cases .
soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes, vous devez noircir deux des cases et deux seulement.
soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées n'est bonne, vous devez alors noircir la case .
En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée.
7) EXEMPLES DE RÉPONSES
Question 1: vaut:
A) 3
B) 5
C) 4
D) -1
Question 2 : le produit (-1) (-3) vaut:
A) -3
B) -1
C) 4
D) 0
Question 3: Une racine de l'équation est:
A) 1
B) 0
C) -1
D) 2
Les lettres et désignent respectivement les ensembles des réels, des réels non nuls, des rationnels, des entiers naturels, des entiers naturels non nuls et des entiers relatifs. désigne l'ensemble des polynômes à coefficients dans en une indéterminée . étant une matrice carrée à coefficients réels, pour , on note la matrice élevée à la puissance (par convention, , matrice identité) et la matrice inverse de lorsqu'elle existe.
On rappelle que: où désigne le nombre complexe tel que .
Deux entiers relatifs et sont congrus modulo 8 si et seulement si ils ont même reste dans la division euclidienne par 8 . On écrit alors : .
L'ensemble est formé des 8 classes de congruence modulo 8 , notées munies de l'addition et de la multiplication induites par les opérations dans .
Soit un -espace vectoriel, et vecteurs de .
On note l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de la famille .
PARTIE I
Soit une matrice carrée d'ordre 3 à coefficients dans .
On note pour variant de 1 à et .
On considère l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels qui vérifient la propriété suivante : si et seulement si : .
On note la valeur commune de ces six sommes.
On note la matrice identité d'ordre 3 et la matrice d'ordre 3 définie par:
Question 1 : on démontre que :
A) Pour tout et pour tout avec .
B) Pour tout et pour tout avec .
C) Pour tout et pour tout avec .
D) Pour tout et pour tout avec .
Question 2 : soit deux nombres réels et et la matrice définie par .
A) Il existe un unique couple de réels tel que .
B) Il existe exactement deux couples de réels tels que .
C) Il existe une infinité de couples de réels tels que .
D) II n'existe pas de couples de réels tels que .
Question 3 : soit la matrice définie par avec .
A) est un sous espace vectoriel de dimension 5 de l'espace vectoriel composé par l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients dans .
B)
C)
D) est un sous espace vectoriel de dimension 4 de l'espace vectoriel composé par l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients dans .
Question 4: soit une matrice carrée d'ordre 3 :
A) .
B) .
C) .
D) .
Question 5 :
A) et .
B) et .
C) Soit une matrice inversible appartenant à et .
D) Soit une matrice inversible appartenant à n'appartient pas forcément à .
PARTIE II
On définit la suite : pour tout entier naturel nous avons : .
Question 6: on démontre que pour tout entier naturel :
A)
B)
C)
D)
Question 7 : on établit que *Axestedéfinexiexy
A) La suite est convergente car elle est croissante majorée.
B) La suite est convergente car elle est décroissante minorée.
C) La suite est convergente car la fonction est continue.
D) La suite est convergente car: .
Question 8 : on démontre que pour tout nombre réel strictement positif :
A)
B) car
C)
D)
Question 9 : on démontre par récurrence que :
A)
B)
C)
D)
Question 10 : on démontre que :
A)
B)
C)
D)
Question 11 : on démontre que :
A) et
B) et
C) et
D) et
Question 12 : nous en déduisons que:
A)
B)
C)
D)
PARTIE III
A
On dispose de deux pièces:
la pièce donne face avec la probabilité ; la pièce donne face avec la probabilité .
On choisit une des deux pièces au hasard. On la lance. Si l'on obtient face, on conserve la pièce que I'on vient de lancer, sinon on change de pièce. On effectue ainsi une suite de lancers.
On note la probabilité de jouer avec la pièce au n-ième lancer et l'événement «on obtient face au n-ième lancer ».
Question 13 :
A) On démontre que : .
B) On démontre que : .
C) On démontre que : .
D) On démontre que : .
Question 14 :
A) On démontre que : .
B) On démontre que : .
C) On démontre que : .
D) On démontre que : .
Question 15 :
A) On démontre que : .
B) On démontre que : .
C) On démontre que : .
D) On démontre que : .
B
Un magasin de sport proche de plusieurs équipes de football de Nationale 2 vend trois marques de crampons: K, A et N. Le gérant du magasin estime que :
Chaque joueur change de paire de crampons chaque année, une seule fois, est fidèle à ce magasin, et le remplaçant éventuel l'année suivante effectue le même choix de paire de crampons qu'aurait fait celui qu'il remplace;
Un joueur qui a acheté une paire de crampons de la marque au début de la saison choisira, l'année suivante, une paire de l'une des trois catégories avec équiprobabilité.
Un joueur qui a acheté une paire de crampons de la marque au début de la saison optera, l'année suivante, pour une paire de crampons de la marque avec la probabilité , pour une paire de crampons de la marque avec la probabilité , pour une paire de crampons de la marque avec la probabilité1/2.
Un joueur qui a acheté une paire de crampons de la marque au début de la saison optera, l'année suivante, pour une paire de crampons de la marque avec la probabilité , pour une paire de crampons de la marque avec la probabilité , pour une paire de crampons de la marque avec la probabilité1/4.
Le volume des ventes de ce commerçant est composé :
d'une part de paires de crampons de la marque ;
d'une part de paires de crampons de la marque A ;
et d'une part de paires de crampons de la marque N .
On désigne par les parts respectives des paires de crampons dans les ventes de ce magasin la -ième saison suivante.
Question 16 : on montre que pour tout ,
A)
В)
C)
D)
Question 17 : on a l'égalité :
A)
où
В)
où
C)
où
D) où
Question 18 : si l'attitude des joueurs reste constante, on démontre qu'à long terme, les trois catégories de crampons et représenteront dans la vente respectivement:
A) et
B) et
C) et
D) et
PARTIE IV
Un sous-ensemble d'une structure , munie des mêmes lois que par exemple l'ensemble des nombres réels ou des nombres complexes, est dit multiplicatif si le produit de deux éléments de appartient à . Pour tout entier , on note l'ensemble des éléments de qui peuvent s'écrire sous la forme avec dans .
Question 19 : on démontre que est un ensemble multiplicatif car:
A)
B)
C)
D)
Question 20 : on établit que:
A)
B)
C)
D)
Question 21 : Soient tels que : .
A) On ne peut pas établir la parité de .
B) Parmi les nombres , certains sont pairs et d'autres sont impairs.
C) sont forcément impairs.
D) sont forcément pairs.
Question 22 : On en déduit que :
A) Si alors et .
B) Si alors et .
C) Si alors et .
D) Si alors et .
Question 23 : on en déduit que :
A) est multiplicatif.
B) n'est pas multiplicatif.
C) n'est pas multiplicatif car l'est.
D) est multiplicatif car l'est.
PARTIE V
On considère un -espace vectoriel de dimension 3 , muni d'une base .
On considère les trois vecteurs suivants: .
On pose et .
Question 24 : la matrice de la famille dans la base est:
A)
B)
C)
D)
Question 25 : on démontre que est inversible:
A) Car et on a alors:
B) Car et on a alors:
C) Car et on a alors:
D) Car et on a alors:
Question 26 : on démontre que est une base de que l'on notera car:
A) est liée.
B) .
C) , composée de trois vecteurs, est génératrice.
D) est inversible.
Question 27 : On définit l'application linéaire par sa matrice dans la base et par la matrice .
A)
B)
C)
D)
Question 28 : on démontre que:
A) et .
B) et .
C) et .
D) et .
Question 29 : on note la matrice de dans la base et celle de dans la base .
On démontre que:
A) et .
B) et .
C) et .
D) et .
PARTIE VI
On note et .
Le plan est muni d'un repère orthonormé . On note la courbe représentative de .
Dans cette partie est un nombre réel strictement positif.
Question 30 : Soit un nombre réel non nul.
A) Pour , nous avons: .
B) Pour , nous avons: .
C) Pour , nous avons: .
D) Pour , nous avons : .
Question 31 : on établit que:
A) La fonction est définie, continue sur . sera obtenue en construisant le symétrique orthogonal par rapport à l'axe des ordonnées de la restriction de à l'intervalle suivi de la transformation du tout par les translations de vecteur .
B) La fonction est définie, continue sur . sera obtenue en construisant le symétrique orthogonal par rapport à l'axe des ordonnées de la restriction de à l'intervalle suivi de la transformation du tout par les translations de vecteur .
C) La fonction est définie, continue sur . sera obtenue en construisant le symétrique orthogonal par rapport à la droite d'équation de la restriction de à l'intervalle suivi de la transformation du tout par les translations de vecteur .
D) La fonction est définie, continue sur . sera obtenue en construisant le symétrique orthogonal par rapport à la droite d'équation de la restriction de à l'intervalle suivi de la transformation du tout par les translations de vecteur .
Question 32 : pour des valeurs de convenablement choisies, nous avons:
A) est dérivable et .
B) est dérivable et .
C) est dérivable et .
D) est dérivable et .
Question 33 : on montre que :
A) Si et si admet comme minimum sur et des tangentes horizontales en et .
B) Si et si admet comme maximum sur et des tangentes horizontales en et .
C) Si et si admet comme maximum sur et des tangentes horizontales en et .
D) Si et si admet comme minimum sur et des tangentes horizontales en et .
Question 34 : on montre que :
A) .
B) .
C) car la fonction est continue sur puisque la fonction l'est aussi.
D) car la fonction est continue sur puisque l'est aussi.
Question 35 : pour , on note ;
à l'aide du changement de variable , on trouve:
A)
B)
C)
D)
Question 36 : on déduit que :
A) et
B) et
C) et
D) et
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