Avril 2022

Question 1 On applique la formule du binôme de Newton , on sort les termes pour et 1 et on écrit .
Seule la réponse B est vraie.
Question 2 Vu la réponse à la question précédente (et la suivante), il semble qu'il faille partir sur la réponse A.
La B est fausse en prenant .
La C après simplification en prenant donne puis

Classiquement, le terme de gauche tend vers e (oui, c'est l'objet de l'exercice...) et le terme de droite tend vers , donc l'inégalité est fausse à partir d'un certain rang. Donc C est fausse.
De même, la D après simplification en prenant donne puis

contredit avec le même argument. Donc D est fausse.
Reste à montrer que A est effectivement vraie.
On peut le faire par récurrence (finie) sur (à fixé).
Pour , l'inégalité se simplifie en soit ce qui est bien vrai.
Et si on se donne pour lequel l'inégalité est vraie, alors

Reste à voir que soit soit encore ce qui est bien vrai.
Question 3 On peut montrer la croissance de la suite ( ) (avec des parenthèse, n'est-ce pas!) directement par étude de la fonction (en dérivant puis en dérivant le facteur devant dans ) sur [ [ même si ce n'est pas ce qui est attendu ici.
La réponse aux deux questions précédentes permet d'obtenir (il manque un terme pour dans la somme pour passer de à )

et donc est croissante (pourquoi dans l'énoncé ?!?) : seule la réponse est vraie.

Question 4 Les cas invalident A et les croissances comparées invalident B : A et B sont fausses. (Cependant, on montre par récurrence que A est vraie à partir du rang ).
Le cas élimine D qui est fausse.
En remarquant que pour tout (il suffit de majorer chaque terme du produit par ), la question 1 nous donne .
Classiquement, l'inégalité de Taylor-Lagrange permet de montrer que (c'est une série entière...) et de conclure, mais ce n'est clairement pas ce qui est attendu ici.
Les réponses A et B nous mettent sur la voie : si (récurrence, donc), donc si ,

C est vraie.
Question 5 Bien sûr, si on connaît le résultat classique (via un équivalent - mais on ne compose pas les équivalent par exp, bien sûr! - ou un DL), on conclut directement que seule la réponse D est vraie.
Sinon, la suite (avec des parenthèse, toujours, n'est-ce pas?) est donc croissante et majorée, elle converge vers un réel vu l'encadrement précédent : A et B sont fausses.
Pour justifier que , on peut utiliser la majoration plus fine de la question précédente pour conclure que donc C est fausse.

Question 6 On remarque que .
L'expression de la question 1 en enlevant certains terme strictement positifs permet de conclure que la réponse C est vraie et la réponse B est fausse.
Dans la réponse A, il manque les factorielles au dénominateur. La réponse A est fausse pour .
Dans la réponse D, il manque les produits. La réponse D est fausse pour .
Question 7 En reconnaissant la série exponentielle, on sait déjà que seule la réponse B est vraie mais ce n'est pas ce qui est attendu ici (enfin, si vous le savez, peu importe, c'est un QCM).
La suite (avec parenthèse, toujours) état croissante (facile) et majorée (question 4) elle converge et on a donc les réponses A et C sont fausses.
A fixé, en faisant (tous les produits ont un nombre de termes indépendant de ), on obtient .
En faisant maintenant , on obtient .
On a donc finalement , la réponse B est vraie et le D est fausse.

Question 8 Le cours nous dit directement que les réponses B et D sont vraies et (donc) les réponses A et C sont fausses.
Question 9 Le cours nous dit que . Aucune réponse n'est vraie.
Question est une matrice de réflexion (et est diagonale) et matrice de rotation d'angle (si on ne le voit pas, on peut calculer les puissances directement).

Donc et est matrice de rotation d'angle .
Ainsi, et seule la réponse D est vraie.
Question n'appartenant ni à , ni à , les réponses A et B sont fausses.
Les produits des éléments de sont et donc la réponse C est vraie.
Les produits des éléments de sont et donc la réponse D est vraie.
Question et étant non colinéaires, seule la réponse B est vraie.
Question 13 Comme matrice de rotation d'angle donc .
Ainsi, .
Comme de plus, deux des trois matrices sont non colinéaires, et seule la réponse B est vraie.

Question est une partie de non vide (contient l'endomorphisme nul) et stable par combinaison linéaire. C'est donc un sous-espace vectoriel et donc aussi un sous-espace affine de .
Les réponses et sont vraies et les réponses et sont fausses.
Question 15 On a par définition et donc seule la réponse B est vraie.
Mais que viennent faire C et D ici ?!?
Question 16 Les réponses sont copiées-collées de la question précédente ?!?
On a et .
.
La réponse B semble correcte mais ne répond pas à la question « La matrice de dans la base ( ) est » donc aucune réponse n'est correcte.

Question 17 Dans la bae ( ) la matrice d'un élément de est de la forme avec .
La matrice caractérisant l'endomorphisme, on en déduit que et seule la réponse est vraie.
Question 18 Par un calcul direct, on trouve que le déterminant vaut .
Seule la réponse C est correcte.

Question 19 Soit l'évènement « le dé choisi est pipé » et l'évènement « le résultat est 6 ».
Par la formule de Bayes avec le système complet d'événement ( ), on obtient

Seule la réponse D est correcte.
Question 20 Soit l'évènement « le dé choisi est pipé » et l'évènement « on a obtenu 6 aux lancers ».
Par la formule de Bayes avec le système complet d'événement ( ), on obtient

Seule la réponse B est correcte.

Question 21 Hors-programme
Question 22 Hors-programme
Question 23 Hors-programme
Question 24 Hors-programme
Question 25 Hors-programme

Question 26 Si une fraction irréductible est racine de , alors donc divise et donc car .
De même, divise et donc .
Or 1 n'est pas racine.
Seule la réponse A est correcte.

Question 27 Comme , tout diviseur comme de et divise bien la réponse B est correcte.
On calcule , donc les diviseurs positifs communs à et sont 1 et 3 . Ainsi, les réponses A et D sont fausses.
On remarque ensuite qu'une récurrence sans difficulté permet de montrer que tous les termes de la suite sont impairs.
Ainsi, les diviseurs communs positifs non triviaux de et divisant 6 en étant impair, seul 3 est possible.
Finalement, la réponse C est correct.

Question 28 Vu la réponse précédente, la question A est fausse.
Vu et , les réponses C et D sont fausses.
Puis on remarque que et pour tout donc pour tout et la réponse B est correcte.

Question 29 Comme , aucune réponse n'est correcte.
Question 30 Comme divise si et seulement si divise 5 si et seulement si .
On pouvait aussi tester exhaustivement toutes les réponses!
Seule la réponse C est correcte.

Question est continue, strictement croissante sur et , par le théorème de la bijection, est une bijection de dans : la réponse est correcte et la réponse est fausse.
On a aussi et donc les réponses A et C sont fausses.

Question 32 Comme est impaire, les réponses A et B sont fausses.
Pour C et D , pas d'autre choix que de développer, mais la classe et l'imparité font qu'un DL à l'ordre 3 suffit (le terme en est nul).
Vu le en facteur et le dans l'exponentielle, il suffit de la développer exp à l'ordre 1 :

La réponse C est correcte, la réponse D est fausse.

Question étant aussi impaire, les réponses A et B sont fausses.
Comme ne s'annule pas sur , la caractérisation des -difféomorphismes (hors-programme mais qu'importe) nous dit que a la même classe que donc .
Donc on a bien un DL d'ordre 4 (par Taylor-Young) et par imparité et comme (imparité ou ) et (voir le DL de ou calculer ), ce DL s'écrit :

Comme , en composant les DL, le membre de gauche vaut

et le membre de droite s'écrit , donc, par unicité des cœefficients du DL , on tire .
Ainsi, la réponse C est fausse et la réponse D est correcte.

Question 34 On factorise donc la réponse A est correcte.
Puis, dans la B, par identité remarquable

donc la réponse est correcte et parce qu'il ne peut a voir qu'au plus deux réponses correctes, les réponses C et D sont fausses.

Question 35 Résultat classique si est un polynôme réel a à racines toutes simples, en appliquant le théorème de Rolle entre deux racines successives, on trouve pour autant de racines réelles distinctes que son degré : est scindé à racines toutes simples (et réelles).
Le terme «distinctes» doit-il être interprété ici comme «toutes simples »?
Si oui, la seule réponse correcte est la réponse A.
Question 36 On calcule : comme n'a pas de racine réelle , et comme et n'ont que des racines réelles, on en déduit que n'a pas de racine réelle et n'a pas de racine multiple. Seule la réponse B est correcte.