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ENS Mathématiques 1 MP 2005

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Algèbre généraleAlgèbre linéaireCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesPolynômes et fractionsRéduction
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X-ENS
Année
2005
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2005MP MathsMaths 2005
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SESSION 2005

Filière MP

MATHÉMATIQUES MPI 1

Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan
Durée : 6 heures
L'usage de calculatrice est interdit
Soit un entier. Soit l'algèbre des polynômes en variables à coefficients réels, c'est-à-dire l'algèbre des fonctions polynomiales sur . Pour tout entier on note le sous-espace vectoriel des polynômes homogènes de degré . Une base de ce sous-espace vectoriel est formée des monômes , où sont des entiers positifs de somme . Lorsque , on pose et alors .
On note ( ) la base canonique de .
Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction. Il est possible d'utiliser les résultats de questions antérieures, même lorsque celles-ci n'ont pas été traitées.
Les parties I, II et III sont indépendantes, sauf mention explicite du contraire.

Partie I

Cette partie étudie un opérateur qui déforme la dérivation des fonctions d'une variable réelle.
On fixe .
Pour de classe , on note la fonction définie par
  1. a) Démontrer que se prolonge par continuité en 0 et déterminer .
    b) Calculer pour entier.
    c) Démontrer que est une application linéaire et que pour tout .
    d) Démontrer qu'il existe une unique application linéaire vérifiant les conditions suivantes :
  • pour tout ;
  • pour tout , on a ;
  • .
  1. Soit l'ensemble des réels pour lesquels il existe un polynôme non constant tel que (on rappelle que l'application dépend de ).
    a) Démontrer que est un isomorphisme si et seulement si .
    b) Déterminer et démontrer que .

Partie II

Dans cette partie, on introduit des déformations des opérateurs différentiels en variables construites à l'aide du groupe symétrique. On prouve que ces opérateurs commutent entre eux.
On fixe dans la suite un entier . On note le groupe symétrique des permutations de . La transposition qui échange et est notée . Un élément définit un automorphisme de l'algèbre des fonctions de dans donné par pour et .
On note l'espace des fonctions de classe de dans . Soit . Pour , on définit la fonction par . Pour , on définit la fonction par
où est le fermé de formé des tels que et est l'ouvert complémentaire.
On fixe . On définit .
  1. a) Démontrer que si , alors est continue. Démontrer que si et , alors et sont dans .
    b) Démontrer les égalités suivantes entre endomorphismes de l'espace vectoriel :
pour et .
2. Pour et deux éléments de l'anneau des endomorphismes de l'espace vectoriel , on pose .
Démontrer les égalités suivantes entre endomorphismes de l'espace vectoriel :
a) .
b) pour entier, .
c) et pour tous (on pourra commencer par le cas ).

Partie III

Dans cette partie, on compare différentes normes sur les polynômes homogènes.
On munit de la norme euclidienne . On note l'ensemble des éléments de de norme 1.
Pour , on définit sur la norme
Pour , on définit deux autres normes sur :
où est la dérivée partielle dans la direction comme dans la partie II.
  1. Soit un polynôme non nul en deux variables avec .
    a) Démontrer que la fonction admet au plus zéros.
    b) Démontrer que si pour tout , alors (on pourra introduire tel que et appliquer la question précédente à ).
    c) En déduire que pour tout , on a
d) En déduire que .
2. Soit .
a) Soit . Démontrer que .
b) Démontrer que pour tout , on a .
c) Démontrer que pour tout , on a (on pourra utiliser II.1.a).

Partie IV

Le but de cette partie est d'étudier le noyau commun des .
  1. Soit , vu comme endomorphisme de , et soit . Pour , on note l'ensemble des valeurs propres de vu comme endomorphisme de . Soit .
    a) Démontrer que pour tout .
    b) Démontrer que les éléments de sont rationnels et contenus dans , pour tout (on pourra étudier la trace de sur un sous-espace propre).
    c) Démontrer que est une famille libre d'endomorphismes de et que l'espace vectoriel qu'elle engendre est une sous-algèbre de l'algèbre des endomorphismes de .
    d) Démontrer que le cardinal de est inférieur ou égal à !.
  2. Soit l'ensemble des réels tels qu'il existe un polynôme non constant vérifiant pour tout (on rappelle que a été défini à la partie II et qu'il dépend de ).
Soit un réel. Pour entier, on définit l'endomorphisme .
a) Déduire de III.2.a que pour tous et .
b) En déduire que .
3. Soient réel et entier.
a) Démontrer que est inversible.
b) Démontrer qu'il existe une unique famille de réels telle que .
c) Démontrer que pour tous et , on a
d) Démontrer que .
e) Démontrer que pour tout .

Partie V

On construit un endomorphisme de l'espace des polynômes qui entrelace et et on étudie sa norme.
  1. Soit un réel.
    a) Soit . Soient tels que pour tous . Démontrer qu'il existe un unique tel que pour tout , on ait .
    b) En déduire qu'il existe un unique endomorphisme d'espace vectoriel de tel que pour tout et pour tout .
    c) Démontrer que est un isomorphisme si et seulement si (cf IV. 2 pour la définition de ).
  2. On suppose dans cette question et on reprend les notations de la partie III. On pose . Pour , on définit une norme sur :
a) Démontrer que pour tout avec , on a (utiliser IV.3.c).
b) Démontrer que pour tout avec , on a .
c) En déduire que pour tout avec , on a .

Partie VI

Cette partie est consacrée à l'étude des fonctions propres des .
On note la boule unité fermée de et son intérieur.
  1. Soit une suite de polynômes avec . On suppose que la série est convergente.
    a) Démontrer que converge uniformément et absolument sur vers une fonction qui est continue sur et sur .
    b) Démontrer que si sur , alors pour tout .
  2. Soit l'ensemble des fonctions de la forme où et la série est convergente. On pose .
    a) Démontrer que est une sous-algèbre de l'algèbre des fonctions et que c'est une algèbre normée unitaire complète.
    b) Soit . Démontrer que s'étend en un endomorphisme continu de par pour .
  3. Soit . Soit . On considère le système d'équations
d'inconnue (on a étendu les définitions de la partie II aux fonctions de classe de dans ).
a) Démontrer que est l'unique solution du système (1).
b) Démontrer que s'étend en une fonction de classe sur telle que pour tout .
4. Relier les résultats de la partie I à ceux de la suite du problème.
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