ENS Mathématiques 1 MP 2008

Dans tout ce problème, est un C -espace vectoriel hermitien, de dimension finie (sauf au 1.6 où est de dimension infinie), et dont on note le produit scalaire et la norme associée; le produit scalaire est semi-linéaire à gauche et linéaire à droite. On note Id l'identité sur .

Si est un endomorphisme de , alors on note son adjoint. On dit que :
(1) est normal si ;
(2) est unitaire si ;
(3) est hermitien si .

En particulier, les endomorphismes unitaires ainsi que les endomorphismes hermitiens sont normaux ; par ailleurs, les endomorphismes unitaires sont des isométries.

Si , on définit le Hausdorffien de par :

Attention au fait que l'on ne considère que les tels que (et pas ).
L'objet des parties 1 à 4 du problème est d'étudier diverses propriétés de . La partie 5 , qui est indépendante des parties 1,3 et 4 , ne concerne pas le Hausdorffien ; on y démontre une inégalité due à von Neumann sur les contractions.

1.1. Montrer que si est une valeur propre d'un endomorphisme de , alors .
1.2. Montrer que si et sont deux nombres complexes, alors:

On suppose que et on fixe une base orthonormée de .
1.3. Montrer que si , alors est le segment .
1.4. Montrer que si , alors est l'ensemble .
1.5. Montrer que si est de dimension finie et , alors est compact.
1.6. Soit l'ensemble des suites de nombres complexes telles que la série converge. On munit du produit scalaire . Soit défini par . Montrer que C, .

Dans cette partie, on démontre quelques résultats sur la réduction des endomorphismes de . On suppose que est de dimension finie et on se fixe .
2.1. Montrer que si est normal et si est un vecteur propre de de valeur propre , alors est un vecteur propre de de valeur propre (on pourra calculer ).
2.2. Montrer que si est normal et est un vecteur propre de , alors est stable par .
2.3. Montrer que si est normal, alors il existe une base orthonormée de dans laquelle la matrice de est diagonale, et donc que les endomorphismes normaux sont exactement ceux qui sont diagonalisables en base orthonormée. On note les valeurs propres de .
2.4. Montrer que si est normal, alors est hermitien si et seulement si pour tout et est unitaire si et seulement si on peut écrire avec pour tout .
2.5. On ne suppose plus normal. Montrer qu'il existe une base orthonormée de dans laquelle la matrice de est triangulaire supérieure. Montrer qu'alors est normal si et seulement si cette matrice est diagonale.

Dans toute cette partie, on suppose que et on se fixe . Un disque elliptique est l'ensemble des points de contenus à l'intérieur d'une ellipse (y compris l'ellipse elle-même). Une ellipse est dite dégénérée si elle est réduite à un segment. Un disque elliptique est donc l'image d'un disque fermé par une transformation affine du plan . Dans la suite, on identifie avec ce qui permet de parler de disques elliptiques contenus dans .
3.1. Montrer que si est normal, alors est un segment, dont on précisera les extrémités.
3.2. On suppose qu'il existe une base orthonormée de dans laquelle avec . Soit de norme 1 et de coordonnées dans cette base. En écrivant :

montrer que est un disque elliptique de centre 0 et dont les axes sont de longueurs .
3.3. On suppose que . Construire une base orthonormée de dans laquelle la matrice de est de la forme avec .

Indication : on pourra distinguer les cas suivants :
(1) les deux valeurs propres de sont égales;
(2) est normal ;
(3) il existe une base de telle que et sont de norme , et . On montrera que dans ce cas, il existe de norme 1 tel que si l'on pose , alors .
3.4. Montrer que si , alors est un disque elliptique, et que ce disque elliptique est dégénéré si et seulement si est normal. Dans quels cas est-il un vrai disque?
3.5. Montrer que si , alors les foyers de sont les valeurs propres de .

On dit qu'une partie d'un -espace vectoriel est convexe si pour tous et , on a . Si est une partie d'un espace vectoriel , son
enveloppe convexe est l'ensemble :

En d'autres termes, c'est l'ensemble des combinaisons convexes de points de .
Si est une partie du plan complexe identifié à , alors on dit que est un convexe polygonal s'il existe points tels que . On dit qu'un point est un sommet de 'il n'est pas combinaison convexe de deux points distincts de (on pourra faire un dessin; remarquer qu'un sommet de est nécessairement l'un ).
4.1. Soit un sous-espace vectoriel de ; c'est un espace hermitien pour le produit scalaire induit. On note la projection orthogonale sur , ce qui fait que si , alors . Montrer que .
4.2. Montrer que si , alors est convexe.

Indication : si et sont deux points de , considérer l'espace vectoriel engendré par et .
4.3. On suppose que est la somme directe orthogonale de deux sous-espaces et , que et et que est définie par si et . Montrer que .

En déduire que si est normal, alors est l'enveloppe convexe des valeurs propres de . Donner un exemple qui montre que cette propriété n'est pas vraie si n'est pas normal.
4.4. Montrer que si est un sommet d'un convexe polygonal , et que si est un disque elliptique tel que et , alors est nécessairement dégénéré (on utilisera le fait que par un point d'une ellipse non dégénérée, il ne passe qu'une seule droite tangente à l'ellipse).
4.5. Soit un endomorphisme tel que est un convexe polygonal et soit un sommet de avec de norme 1 .
(1) Soient un vecteur de de norme 1 et orthogonal à et . Montrer que est normal et que en est un vecteur propre ;
(2) Montrer que est un vecteur propre de , de valeur propre .
4.6. Montrer que si , et si dans une base orthonormée de on a :

alors est l'enveloppe convexe des valeurs propres de , mais n'est pas normal.
4.7. Montrer que si et si est tel que est l'enveloppe convexe des valeurs propres de , alors est normal.
4.8. Montrer que si vérifie , alors il existe une base orthonormée de dans laquelle la diagonale de est nulle.

Dans cette partie, on suppose que est de dimension finie. On se donne et on suppose que est une contraction, c'est-à-dire que pour tout . Le but de cette partie est de montrer l'inégalité de von Neumann qui dit que pour tout polynôme , on a :

5.1. Montrer que si est normal, alors est une contraction si et seulement si ses valeurs propres vérifient pour tout . En déduire l'inégalité de von Neumann pour normal.
5.2. Soit inversible. Montrer qu'il existe hermitien à valeurs propres (on dit que est positif) tel que . En déduire qu'il existe unitaire et hermitien positif tels que , et que et sont alors uniques.
5.3. Montrer que si n'est pas inversible, alors il existe toujours unitaire et hermitien positif tels que . Indication : on pourra considérer la décomposition de Id en et montrer que l'ensemble des endomorphismes unitaires est compact.
5.4. Dans les notations de la question 5.3, montrer que est une contraction si et seulement si les valeurs propres de vérifient pour tout .
5.5. Soit un polynôme à coefficients complexes. Montrer que quels que soient et , on a :

5.6. Soient des polynômes à coefficients complexes. Montrer que quels que soient et , on a :

En déduire que :

Montrer enfin que si les sont des polynômes en plusieurs variables, , alors :

5.7. On se donne désormais une base orthonormée de . Si et sont deux endomorphismes unitaires et si , soit où :

Montrer que si l'on fixe et unitaires, et , alors il existe des polynômes tels que :

En déduire que :

5.8. Terminer la démonstration de l'inégalité de von Neumann.