Durée : 4 heures

L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

Toutes les fonctions considérées dans ce sujet vont de vers .
Une fonction continue de vers est dite "à support compact" si est nulle en dehors d'un intervalle borné. En particulier si est une fonction continue à support compact, et convergent.

Si est une fonction continue telle que converge, on définit sa transformée de Fourier par

La transformée de Fourier est alors une fonction de vers .
On définit de même

qui est une fonction de vers .
Si est une fonction de vers on note

et

ces quantités étant infinies respectivement si n'est pas bornée ou si n'est pas intégrable sur .

On admettra les deux résultats suivants que l'on pourra utiliser en particulier aux questions 1.6 et 2.6: pour toute fonction continue telle que et convergent on a

et

pour tout .

1.1) Soit la fonction définie par si et si . Montrer que pour et est de la forme où et sont deux polynômes. En déduire que est une fonction sur .
1.2) Vérifier que est une fonction sur , nulle en dehors de . Montrer que pour tout intervalle il existe une fonction de classe , strictement positive sur et nulle en dehors de .
1.3.a) Soit une fonction strictement positive sur , nulle en dehors de cet intervalle. Montrer que pour tout ,

ne comporte qu'au plus deux termes non nuls. Soit défini par

si et par sinon. Montrer

pour .
1.3.b) Montrer qu'il existe deux fonctions sur (paire et nulle en dehors de l'intervalle ) et (nulle en dehors de l'intervalle [ ]) telles que

1.3.c) Montrer que est minoré par une constante strictement positive sur .
1.4) Soit une fonction continue à support compact. On définit pour

et

Vérifier que et définissent des fonctions sur .
1.5) Soit . Montrer que peut se mettre sous la forme

où

1.6) Vérifier que est une fonction sur . Montrer que et sont bornées sur . Montrer que

(on pourra utiliser (2)), et montrer que est indépendant de .
1.7) Montrer que peut se mettre sous la forme

où est une fonction sur . Vérifier que et sont bornées sur .
1.8) Montrer qu'il existe une constante (ne dépendant pas de ) telle que pour tout on ait

et

(le ' désignant la dérivée en ).

Pour on définit l'espace de Hölder comme étant l'ensemble des fonctions continues telles que

2.1) Montrer que est une norme sur . Montrer que muni de la norme est complet.
2.2) Montrer que si et alors et

pour une certaine constante indépendante de et de .
2.3) Est ce que (ensemble des fonctions continûment dérivables sur ) est l'ensemble des fonctions continues sur telles que

2.4) Soit . Montrer que

est l'ensemble des fonctions constantes.
2.5) Soit . Soit . Montrer que les formules (3) et (4) définissent bien des fonctions bornées , et que

Indication: montrer que pour peut s'écrire sous la forme

2.6) Soit . Soit une fonction continue à support compact. On suppose que

Soit . Posons et .
2.6.1) Montrer que est bien définie et est une fonction continue et bornée.
2.6.2) Montrer que tend vers 0 quand tend vers l'infini (on pourra utiliser (1) et (2)). En déduire que

c'est-à-dire .
2.6.3) Montrer qu'il existe une constante telle que pour tout ,

2.6.4) Montrer qu'il existe une constante telle que pour tout ,

2.6.5) Vérifier

2.6.6) Montrer que en choisissant astucieusement .

On note l'ensemble des fonctions continues et à support compact sur telles que .
3.1) Soit . Montrer que

En déduire qu'il existe une constante telle que

pour tous et .
3.2) Enoncer et démontrer une réciproque de la question précédente.
3.3) Montrer que si alors il existe une constante telle que pour tous et tels que on ait

3.4) Comparer et (pour les fonctions à support compact).