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ENS Mathématiques 2 MP PC 2007

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Banque
X-ENS
Année
2007
Filière
MP/PC
Matière
Maths
X-ENS MP/PCX-ENS 2007MP/PC MathsMaths 2007
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Filière MP (groupes MP/MPI et groupe I)

Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

Filières MP PC (groupe I)Épreuve optionnelle commune aux ENS de Paris et Lyon

MATHÉMATIQUES MPI 2

Durée : 4 heures
L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.
Nous notons l'ensemble des fonctions continues de dans , et le sous-espace des fonctions fois continûment dérivables, pour un entier . L'espace est l'intersection de tous les espaces . Nous adoptons la notation pour une fonction .
On dira qu'une fonction est hölderienne d'exposant , si la quantité
est finie. Pour On note l'ensemble des fonctions hölderiennes d'exposant . Une fonction hölderienne d'exposant 1 est dite lipschitzienne. On note , et l'ensemble des fonctions lipschitziennes.
Dans tout le problème, on suppose donnée une fonction , 1-périodique, ainsi que deux nombres réels , avec
On cherche à étudier certaines propriétés de régularité de la fonction «de type Weierstrass » définie par
Dans la partie I, on se concentre sur des propriétés de régularité élémentaires des fonctions .
Les parties II, III et IV ont pour but de montrer que la fonction n'est dérivable en aucun point de , dans le cas particulier où est une fonction cosinus.
La partie V montre que dans un cas plus général, l'alternative suivante est vérifiée : ou bien est lipschitzienne, ou bien elle n'est dérivable en aucun point de .
Les différentes parties sont raisonnablement indépendantes entre elles, de sorte que chaque partie peut être abordée directement, en admettant, pour les parties III et IV, les résultats de la partie précédente.

I Généralités

  1. Montrer que la série de la formule (1) définit bien une fonction , qui de plus est continue et bornée.
  2. Dans cette question seulement, on suppose que est un entier naturel strictement plus grand que 1 . Montrer que est 1 -périodique.
  3. Pour une fonction , on définit la fonction par
La fonction étant fixée par l'énoncé, on considère alors l'équation
dont l'inconnue est la fonction .
3.a. Montrer que satisfait l'équation (2).
3.b. Montrer que est l'unique solution de l'équation (2) qui soit continue et bornée.
4. Dans cette question on suppose que .
4.a. Montrer que pour tout entier , et tout ,
4.b. En déduire que .
5. On suppose à présent que , et que est dans .
5.a. Montrer qu'il existe une constante telle que pour tout et tel que ,
5.b. En s'inspirant de la question 4., montrer qu'il existe une constante telle que pour tout et tel que ,

II Inversion de Fourier

Soit une fonction sommable sur . On définit une fonction , appelée transformée de Fourier de , par la formule
On note également, pour tout ,
Le but de cette partie est de montrer la formule dite d'inversion de Fourier (question 6.) pour des fonctions assez régulières, en utilisant des résultats connus sur les séries de Fourier.
Dans toute cette partie, on considère une fonction vérifiant
1.a. Montrer que pour tout , la série de terme général est sommable.
1.b. Montrer que l'on a la convergence
1.c. Montrer que l'on a la convergence
après avoir donné un sens au terme de gauche.
2. On définit pour ,
Montrer que cette série de fonctions converge uniformément sur tout intervalle compact de , et définit une fonction continue sur , et -périodique.
3. On note
le -ième coefficient de Fourier de dans la base de Fourier des fonctions -périodiques . Montrer soigneusement l'égalité
  1. On suppose de plus, et jusqu'à la fin de cette partie, que est une fonction continue vérifiant, comme pour ,
On note la -ième somme de Fourier de :
4.a. Montrer que la série trigonométrique ( ) converge uniformément sur lorsque .
4.b. Montrer que l'on a
4.c. En déduire que est somme ponctuelle de sa série de Fourier : pour tout ,
  1. Montrer que pour tout converge vers lorsque .
  2. Déduire des précédentes questions que l'on a la formule d'inversion

III Construction d'une ondelette

  1. Soit l'ensemble des fonctions telles que pour tout choix de , tend vers 0 lorsque , où l'on a noté la dérivée -ième de la fonction .
    1.a. Montrer que si alors sa transformée de Fourier est dans , et montrer que pour tout ,
1.b. Montrer que si alors .
2. Soit la fonction définie de dans par
2.a. Montrer que est continue sur .
2.b. Montrer que est dérivable sur et que sa dérivée d'ordre s'exprime sous la forme , où est une fraction rationnelle.
2.c. Montrer que est dans .
2.d. Soient deux réels. Construire une fonction de prenant des valeurs réelles, strictement positive sur et nulle ailleurs.
3. Soit un nombre réel. Montrer qu'il existe une fonction sommable ainsi que , telle que
et dont la transformée de Fourier est strictement positive sur et nulle ailleurs. On pourra utiliser la formule d'inversion de la question II.6.

IV Non-dérivabilité de dans le cas

Dans cette partie, on suppose que la fonction est donnée par pour tout . On se propose de montrer que la fonction associée n'est dérivable en aucun point.
  1. Soit une fonction continue, bornée, dérivable en un point . Montrer que l'on peut écrire pour tout ,
où est une fonction continue bornée sur , de limite nulle en 0 .
2. Dans cette question, on considère une fonction continue telle que construite en III.3. En particulier, est sommable ainsi que , et
Si est une fonction continue bornée de dans , et pour et , on pose
2.a. Montrer que la définition de a bien un sens.
2.b. Le réel étant fixé, montrer que si est dérivable en , alors quand .
3. On rappelle que pour un , et ,
3.a. Montrer que n'est pas dérivable en 0 .
3.b. Montrer que n'est dérivable en aucun point de .

V Une alternative pour

Dans cette partie, on se place à nouveau dans le cas général d'une fonction lipschitzienne 1 -périodique. On suppose par ailleurs que , et que est un nombre entier, de sorte que est 1 -périodique par I.2.
  1. On suppose qu'il existe trois réels avec , tels que
Montrer qu'alors,
On pourra utiliser le fait que vérifie l'équation (2).
2. On suppose que la quantité , éventuellement infinie, est strictement plus grande que .
2.a. Montrer qu'il existe et tels que
2.b. Les nombres étant fixés par la question précédente, montrer qu'il existe tel que pour tout intervalle de longueur , il existe un réel vérifiant , et
2.c. Soit un sous-intervalle de ouvert de longueur , et l'unique entier tel que
où est défini dans la question précédente. En considérant l'intervalle : , montrer que l'on peut trouver deux nombres distincts dans , tels que
2.d. En déduire qu'il existe une constante ne dépendant que de , telle que pour tout intervalle de longueur , on a
  1. Déduire des questions précédentes que l'on a l'alternative suivante pour :
    (i) ou bien est lipschitzienne avec
(ii) ou bien n'est nulle part dérivable.
4. Donner un exemple de fonction , non constante, où le premier point de l'alternative précédente est vérifié.
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